2012年高考理科数学(全国卷)含答案及解析

1、2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II）-8-/9一、 选择题（1）、复数-1 + 3/1 + ZA. 2 + iB. 2 Z【考点】复数的计算 【难度】容易【答案】cC. 1 + 2ZD. 1-2/【解析】-1 + 3/ (-1 + 3/)(1-0 2 + 4/【点评】本题考查复数的汁算。在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章复数中有详细讲解，其 中第02行中有完全相同类型题目的计算。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总 结讲解,（2）、已知集合从=13 后, B = 1,U=A，则J=A. 0 或 B. 0 或 3 C. 1 或 J5 D. 1

2、或 3【考点】集合【难度】容易【答案】B【解析】A/2 D. 1【考点】立体几何【难度】容易【答案】C【解析】因为底面的边长为2,高为20且连接ACBD得到了交点为。.连接EO.EOAC则点a到平而 8OE的距离等于C到平面的距离，过。作CH_LOE.则：CH即为所求在三角形。CE中，利用等而枳 法，可得CH=&.【点评】本题考查立体几何中直线与平面间距离问题。在高一数学强化提高班下学期课程讲座1,第一章 立体几何有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对立体几何相关知识的总结讲解，其 中第11讲中的例4与此题几乎一致。（5）已知等差数列“）的前项和为Sn, %=5,8=15,则数列一

3、的前100项和为andii + 1100A.一【考点】【难度】【答案】101 数列 中等 A 99B.10199C.100101D.100【解析】因为已知等差数列 G中，%=5, S,=15=1 /.d=l =n =ancin 1 n(n +1) n ( + 1)100)=1=100 101101 101【点评】本题考查数列的前项和求解方法。在高一数学强化提高班F学期课程讲座2,第二章数列 有详细讲解，其中第04讲中，例6属于完全相同类型的题目,在高考精品班数学（理）强化提高班中有对 数列相关知识的总结讲解。(6) ABC中,AB边的高为CD,若 cg=u,CA=B,ci.B = 0, a =

4、1, b = 2 则 A =1- c 2T 2；_ 3-* 3丁-4 47A.一bB. abC.abD.ab33335555【考点】向量【难度】容易【答案】D【解析】因为Z坂=0 NAC8=9（r:.ab=Bcd=挈：.BD=LaD= ：.AD:BD=4:55 1 _. 4 4 4 4 - 4 -CD = -CA + -CB：.AD = CD-CA = CA + -CB = b + -a 555555【点评】本题考查向量的计算问题。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1,第六章平而向量有详 细讲解，其中第01讲，有向量计算问题的专题讲解.在高考精品班数学（理）强化提高班中有对向量相 关知识的总结

5、讲解，在百日冲刺班有向量与三角函数综合类型题目的讲解。（7）已知 a 为第：象限角，sina+sinP=* ,则 cos2a=AC芭D.正3993【考点】三角函数【难度】容易【答案】A Tsin。+cosa =立.两边平方，得到 l+sin24Z =1 332sin2zz= -:. a 是第二象限角，因此 sin a 0, cos a 0 3- sin a +cos a = - J(-sin a + cos a) ，、, cos2a =（- sinc（ +cos/?)2+(2力242_32x2/2x4/2 - I【点评】本题考查在双曲线中利用余弦定理求解三角形问题。在高一数学强化提高班下学期课

6、程讲座2, 第三章圆锥曲线与方程有详细讲解，其中第06讲中例4有相同类型题目的讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班、百日冲刺班中均有对圆锥曲线、解三角形相关知识的总结讲解。（9）已知户hm, .V=logs2, z=e，则A. xyz B. zxy C. zyx D. yz1 .log5 =-一r , I% 2, log?z= f - = = ：*- 2 * y 0,（13）若x, y满足约束条件|x+y-3W0,则z = 3x l的最小值为.x + 3y-3 0,【考点】线性规划【难度】容易【答案】-1【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点（0,1）时最小

7、为一 1。【点评】本题考查线性规划求最值。在高一数学强化提高班下学期课程讲座1,第五章不等式有详细 讲解，其中第06讲，是线性规划的专题讲解，有完全相似的题目讲解。在高考精品班数学（理）强化提 高班中有对线性规划相关知识的总结讲解。（14）当函数y = sinx-JJcosx（0KxV2/r）取得最大值时，a-.【考点】三角函数【难度】容易5冗【答案】6【解析】因为 y = sinx/5cosx = 2sin（x-2）rc c 、TC r 、冗、/xe052DJ , J,当X9 = 1,即x = ，32o函数值最大为2.【点评】本题考查三角函数变换。在高一数学强化提直班上学期课程讲座1.第五章

8、三角函数有详细 讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对三角函数相关知识的总结讲解。（15）若 + !）的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中L的系数为.x厂【考点】二项式定理【难度】中等【答案】56【解析】C：=C. =8.* +4）8展开式的通项公式为：X小=C；产令8-2/=-2,得到二5.=56即为所求.【点评】本题考二项式定理的公式。在高一数学强化提逊上学期课程讲座1,第九章排列、组合、二 项式定理有详细讲解，K中第03讲，例2,属于完全相似的题目。在高考精品班数学（理）强化提高班 中有对二项式定理、排列、组合相关知识的总结讲解。（16）三菱柱ABC-ASG中，底

9、面边长和侧棱长都相等，ZBA4,=ZCAA,=5O,则异而直线A&与8G所 成角的余弦值为.【考点】异而直线之间的夹角【难度】较难 【答案】噜【解析】首先根据已知条件，做a”垂直于底而交8。的而线于a然后可得到侧梭。底为立，设出侧棱 3长为”,然后利用建立空间直角坐标系，表示异而直线所成的角，以H为原点，建立坐标系，这样可以得到A （我,0,0）印-叵，二巫）,8（叵：,0）C（叵=巫），结合向量的夹角公式可以得到余弦值 33336 26 2 3【点评】本题考查异而直线之间夹角的计算方法。在高一数学强化提高班自学期课程讲座1，第五章空 间中的夹角和距离有详细讲解，其中例4有完全相似的题目。在高

10、考精品班数学（理）强化提高班中有 对立体几何相关知识的总结讲解，包括空间中的垂直、平行、夹角典型例题的讲解。三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（注意：在试卷上作答无效） （17）（本小题满分10分） ABC 的内角 A、B、C的对边分别为 “、b、c,已知 cos（A-C）+cosB=l, a=2c,求 c.【考点】解三角形综合题【难度】容易【点评】本题考查解三角形及三角函数综合题。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2,第一章解三 角形应用问题有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对解三角形相关知识的总结讲解。（18）（本小题满分12分）如

11、图，四棱锥P-ABCD中，底面ABC。为菱形，出L底面ABC。，AC=2A/2 , PA=2, E是PC上的一点，PE=2EC.（I ）证明：尸C_L平面BED：（II）设二而角A一尸B-C为90。，求与平而尸8C所成角的大小.【考点】立体几何综合题【难度】中等【点评】本题考查立体几何中垂直关系的证明及直线与平面所成角的求解。在高一数学强化提高班下学期 课程讲座2,第四章立体几何，高二数学（理）强化提高班上学期，第七章空间向量与立体几何 有详细讲解，有完全相似的题目剖析。在高考精品班数学（理）强化提高班、寒假特训班中有对立体几何 相关知识的总结讲解。（19）.（本小题满分12分）乒乓球比赛规则

12、规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2 次，依次轮换。每次发球，胜方得1分，负方得。分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的 概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球.（I ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（ID g表示开始第4次发球时乙的得分，求力的期望.【考点】概率计算综合题【难度】中等【点评】本题考查概率的计算。在高二数学（理）强化提高班下学期，第六章概率有详细讲解，其中 第04讲主要讲解“高考中的概率题”，有完全相似题目的讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班中 有对概率相关知识的总结讲解。（20

13、）（本小题满分12分）设函数/（x） = ov + cosx , x0, tt.（I）讨论/（x）的单调性：（II ）设/（x）4 1 + sinx ,求的取值范围.【考点】函数性质及导数综合【难度】中等【点评】本题考查利用导数判断函数的相关性质及函数与不等式的综合问题。在高二数学（理）强化提高 班下学期，第一章导数有详细讲解，在高一数学强化提高班卜学期课程讲座2,第五章不等式有 不等式详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数、导数及不等式综合知识的总结讲解。（21）.（本小题满分12分）已知抛物线。： =* + 1）2与圆河：3，= （x-1）2+（，-；）2=/（/0）有一个公共点，且在A处两曲线的 切线为同一直线/.（I ）求；（H）设?、/?是异于/且与。及M都相切的两条直线，人/?的交点为。，求。到/的距离。【考点】抛物线【难度】中等【点评】本题考查抛物线、直线的综合知识。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2,第三章圆锥曲 线与方程有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班、百日冲刺班中均有对椭圆、双曲线、抛物 线相关知识的总结讲解，同时高清课程平而解析几何专题也有对抛物线的专题讲解。（22）（本小题满分12分）函数/（x） = V2x 3,定义数列伉如下：_=2,%是过两点尸（4,5）