(2015-2017)三年高考真题专家解读精编解析一专题19-抛物线

1、专题19抛物线直线li与c交于1.12017课标1,理10】已知F为抛物线C: y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线 11, 12,A、B两点，直线12与C交于D、E两点，则|AB|+| DE|的最小值为A. 16B. 14C. 12D. 10【解析】试题分析：设A(x1, vi), B (x2, y2), D (x3, y3), E (x* y4),直线11方程为y 冗 1)联立方程y2 4x一,2 2得k1x_2,22k1x 4x <y k(x 1)0. ” x22k； 4 2k 4k2同理直线i2与抛物线的交点满足乂3x422k2 4由抛物线定义可知| ab |I DEIx1

2、x2x3x4222k124 2k2416k：k；k：k2k；k；8 16当且仅当k1 k21 (或1)时，取得等号【考点】抛物线的简单性质【名师点晴】对于抛物线弦长问题？要重点抓住抛物线定义？到定点的距离要想到转化到准线上，另外,直线与抛物线联立求学快式、韦达定理是逋法，需要重点掌握一考查到最值问题时要前想到用函数方法进行解决和基本不等式.此题还可以利用弦长的倾斜角表示,设直线的倾斜甬为a,则切=辞£,则叫 -P=4( 1二 4(cos acos" cl + sin" ct) = 4(2 +5；-cosawirT a2 一一 、2.【2016年高考四川理数】设 O

3、为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 y 2px(p 0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF卜则直线OM的斜率的最大值为()(A) (B) 2 (C) (D) 1332【答案】C【解析】试题分析：设P_2 一2pt ,2pt,M x,y（不妨设tunr0),则 FP2pt2 9，2pt .由已知uuur 得FM1 uuuFP 3P22pt32P/ P 3t 3,2pt 3 ,koM2t2t2 11t 12tkoMmaxC.考点：抛物线的简单的几何性质,基本不等式的应用.【名师点暗】本麴考查抛物线的性质，结合题意要荥，利用抛物线的参翻方程表示出抛物线上点尸的坐标, 利用向量法求出

4、点W的坐标，是我fi球盆坐标的常用方法，由于要求最大。因此我们把k斜率用变数才表 示出后j可根据表达式形式选用图数，或不等式的知识求出最值，本题大用基本不等式立出最值.2PMp 0）上任意23.【2016年高考四川理数】设 O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 y一点，M是线段PF上的点,且PM=2 MF ,则直线OM的斜率的最大值为(A)(C)(D) 1【解析】试题分析：设2pt2,2Pt,Mx, y（不妨设tuuu0),则 FP22pt2P -.,2pt .由已知2uuuu 得FM1 uuu FP3P22pt323Pt2Pt2 32pt3 ,kOM2t2t2 11t 12tkOMmax返故

5、选2C.考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用.【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上 点P的坐标，利用向量法求出点 M的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把k斜率用参数t表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本 题采用基本不等式求出最值.4.12016高考新课标1卷】以抛物线 C的顶点为圆心的圆交 C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知| AB|= 4典,| DE|= 2平，则C的焦点到准线的距离为(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B【解析】试题分析：如氢设地胡H方程为丁 = 2声,q

6、QE交港行C尸点厕二2或即川点就坐标为2点:则/点横坐标为3,即。=巨，由勾股定理知注工+成：二口二户：40工+比：二&:,即 PP(+ (-)*=(3历了 +(-)2解得夕=4即C的焦点到准线的距离为4双选B2P考点：抛物线的性质。，所以【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算，注意解析几何问题中最容易出现运算错误解题时一定要注意运算的准确性与技巧性，基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要 原因.2 A5.12015高考四川，理10】设直线l与抛物线y 4x相交于A, B两点，与圆222X 5 y r r 0相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取

7、值范围是()(A) 1,3 (B) 1,4 (C) 2,3 (D) 2,4【答案】D【解析】显然当直线l的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线l的斜率存在时，设斜率为k.设y2 4X1/曰A(X1, y)B(X2,y2), X1 X2, M (x°, y°),则 2,，相减得(y1y2)(y1y)4(X1X2).V2 4X2由于X1 X2，所以正当一2 2,即ky0 2.圆心为C(5, 0),由CM AB得2X1 x2ky-01,ky05x0，所以2 5X0X03,即点M必在直线x3上.将x3代入X0 5'y|BF| 1BF1'. B. 2|af| 1

8、|af| 1【答案】A.4x得y212,2於y0 23 .因为点m在圆x5 2 y2 r2 r 0上，所以222222(x05) V。r ,r y04 12 4 16.又 y044 (由于斜率不存在，故 y0 0, ，2所以不取等号)，所以4 V0 4 16, 2 r 4.选d.【考点定位】直线与图锥曲线，不等式一【名师点睛】首先应结合图形进行分析结合图形易知,只要圆的半径小于5那么必有两条直线（即与工 轴垂直的两条切线）满足题设，因此只需直线的斜率存在时，再有两条直当ft；箭足题谩即可一接T来要解决的 问题是当直线的斜率存在时，圆的半咨的范围是什么一涉及直线与圆链曲线的交点及弦的卬点的问题，

9、常常 果用点差法”-在本题中利用点差法可得，中点必在直线其二3上，由此可确定中息的纵坐标外的范围，利用这个范围即可得到 r的取值范围。6.12015高考浙江，理5】如图，设抛物线 y24x的焦点为F ,不经过焦点的直线上有三个不同的点A , B , C ,其中点A , B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是（）2|BF| 1BF 1C.D. 2AF 1AF 1【解析】S BCFS ACF强也区故选AAC xA AF 1【考点定位】抛物线的标准方程及其性质【名师点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，属于中档题，解题时，需结合平面 几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性

10、质，结合抛物线的性质：抛物线上的点到准线的 距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质，是高考 中小题的热点，在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习7.【2017课标II,理16】已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。若M为FN的中点，则FN【答案】6【解析】试题分析：如图所示？不妨设点M位于第一冢限：设抛物线的港线与无轴交于点F,做MB _/与点B，工4与点A,由抛物线的解析式可得准线方程为寓=V则且忆=1FF1 = -4,4V+FF'在直角拂形乂AAF中了卬位线= 3 ,由抛物线的定义有：MF二=3,结合题意，有九

11、田二褊F二3, 线段FN的长度：|四二|&f|十|M/|二3十3二68【考点】抛物线的定义；梯形中位线在解析几何中的应用。【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离（抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化。如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题。因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题， 可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化。28.12016高考天津理数】设抛物线x 2pt , «为参数，p>0）的焦点为F,准线为1.过抛物y 2pt线上一点 一一

12、一 一、, 、一 7> 一 .、一一，_ 一一、,LA作1的垂线，垂足为B.设C 7 p,0）,AF与BC相交于点E.若|CF|二2| AF|，且ACE的面积为32 , 2则p的值为.【答案】6【解析】试题分析：抛物线的普通方程为 y 23则AF 3 p ,由抛物线的定义得22 Px ， F(,0) , CF23 .AB 3 p ,所以 Xa22附2师.P，则 |yAl J2P,由 CFAB 得EF CF,即EFEA AB EACFAF2 ,所以S CEF2s CEA 6、'2 , S ACFS AEC S CFE972,所以1 3p后9H p而.考点：抛物线定义【名师点睛】1.

13、凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理.2,若P(x0, y0)为抛物线y2=2px(p>0)上一点，由定义易得|PF|=xo+p；若过焦点的弦 AB的端点坐标为A(xi, yi), B(x2, y2),则弦长为| AB| = xi + x2+p, xi + x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.9.12016高考浙江理数】若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是【答案】9【解析】试题分析：Xm 1 10 Xm 9考点：抛物线的定义.【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦

14、点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离.解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到y轴的距离.7.【技巧点拨】解决或言与园的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法即几何问题代数 化3把它?列匕为代数问题。另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形r并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何去能使问题校为简捷地得到解决.10.12017北京，理18】已知抛物线C: y2=2px过点P (1,1).过点(0,工)作直线l与抛物2线C交于不同的两点 M, N,过点M作x轴的垂线分别与直线 OP, ON交于点A, B,其中。为原点.(I

15、)求抛物线 C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(II)求证：A为线段BM的中点.11【答案】(I)万程为y2 x,抛物线C的焦点坐标为(一，0),准线万程为X . (n)详44见解析.【解析】试题分析：（I）代入点 P求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（n）设直1线l的万程为y kx 1 （ k 0）,与抛物线方程联立， 得到根与系数的关系，直线 ON的方程为 2y 2-x,联立求得点B的坐标（xjy2y1）,证明yi 2Xi 0.X2X2X21试题解析：解：（I）由抛物线C： y2 2 Px过点P （1, 1）,得p -.2所以抛物线C的方程为y2 x.抛物线C的焦点坐标为

16、（1,0）,准线方程为x -. 44CIO由规意，设直线的方程为值与抛物线c的交点为必0Mh班2.1 1 丁 = -bf嘈由Y 2,得4匕丁十（心-4）k中"工贝i音+此,卑匕三rtcJJT因为点P的坐标为门3D,所以直送0P的方程为丁#,点X的坐标为区小）.直线QT的方程为1 =2.点5的坐标为（孙结）.因为y1y2y12x1V1V2 丫2%2.八 1、 八 1、 c(kx1)x2 (kx2)x1 2x1x222x2x2(2k 2)x1 x22(x2 xj(2k 2)11 k224k22k20x2所以 y1y2y12x1.x2故A为线段BM的中点.【考点】1.抛物线方程；2.直线与

17、抛物线的位置关系【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出 现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系, 找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及 时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量 .11.12016高考江苏卷】(本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知直线l:x y 2 0,抛物线c ： y2 2Px(p 0)(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线 C的方程；(2)已知抛物线 C上存在关于直线l对称的相异两点 P和Q.求证：线段

18、PQ的中点坐标为(2 p, p).;求p的取值范围【答案】 y2 8x (2)详见解析，(0 1)，3【解析】试题分析；(1)先确定抛物焦点,再将点代入直数方程(2)利用抛物疑点之间关系进f济七简？结合中 点坐标公式羽证，利用直M与抛物线位搐关系碉定批量关系：A = 4-4(4j7：-4p)>0,解出p的取值范围。试题解析！肉 抛物。：,”*3>。)的焦点为忌口)由点(*0)在宜线上工一厂2=0上，得彳-0-2=相即7=4一所以抛物线C的方程为尸=心.设 P(X1, y) Q(X2, y 2),线段 PQ 的中点 M (x 0 ,y 0)因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平

19、分线段PQ,于是直线PQ的斜率为 1 ,则可设其方程为y x b.由 y 2 Px 消去 x 得 y2 2py 2pb 0(*) y x b因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以 y1 y2,从而(2 p)2 4( 2pb) 0 ,化简得 p 2b 0.方程(*)的两根为y2p*,p22pb ,从而y0*y2p.2因为M (x 0, y 0)在直线l上，所以x0 2 p.因此，线段PQ的中点坐标为(2 p, p).因为M(2 p, p).在直线y x b上所以 p (2 p) b ,即 b 2 2P.4由知p 2b 0,于是p 2(2 2p) 0,所以p _.3因此p勺取值范围为(0,4).

20、3考点：直线与抛物线位置关系【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑;(D利用判别式来构造不等关系F从而翻定多数的取值范围亍12.12017浙江，21(本题满分15分)如图，已知抛物线 X2 y,点人(I2)，B(3 -), 242413抛物线上的点P(x, y)( - x 士).过点B作直线AP的垂线，垂足为 Q. 22(I )求直线 AP斜率的取值范围;(n)求| PA| | PQ |的最大值.【答案】(I)( 1,1)； (n) 2716【解析】试题分析：(I)由两点求斜率公式可得AP的斜率为x 1,由)22值范围；(n)联立直线 AP与BQ的方程，得 Q的横坐标，进而

21、表达x Q ,得AP斜率的取2| PA |与| PQ |的长度，通过函数f(k) (k 1)( k 1)3求解|PA| | PQ |的最大值.试题解析：21x(I)设直线AP的斜率为k,则k 41x 2131 x 3 , .直线AP斜率的取值2 2范围是(1,1).(n)联立直线 AP与BQ的方程kx y1k2x ky9k414320,0,解得点Q的横坐标是Xq2k 4k 32(k2 1)因为 ipa=vtu(x;)=i k2(k i)2|PQ|=1 k2% x)(k 1)(k 1)，所以 |pa|pq= (k i)(k i)3 k2 11令 f (k) (k 1)(k1)3 ,因为 f &#

22、39;(k)(4k2)(k 1)2 ，所以f(k)在区间(1，)上单调递，2| PA | |PQ |取得最大值 巴161 1 一，增，(1,1)上单调递减，因此当 k=1时,22考点】直线与图推曲法的位箔关系【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等捻出知识，同时考查解析几何的基本思 想方法和运算求解百功，通过表达I F川与I PQ的长度,通过函数优)=-a-1乂+1尸求蚓利4|的最大值。13.12016高考新课标3理数】已知抛物线C : y2 2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1,l2 分别交C于A,B两点，交C的准线于P, Q两点.(I)若F在线段AB上，R是PQ的中点

23、，证明ARPFQ;(II )若PQF的面积是 ABF的面积的两倍，求 AB中点的轨迹方程.【答案】(I)见解析；(n) y2 x 1 . 【解析】试题分析：(I)设出与x轴垂直的两条直线，然后得出A, B,P,Q, R的坐标，然后通过证明直线AR与直线FQ的斜率相等即可证明结果了；(n)设直线l与x轴的交点坐标D(x1,0),利用面积可求得Xi ,设出AB的中点E(x,y),根据AB与x轴是否垂直分两种情况结合 kAB kDE 求解.试题解析：由题设 f(,0).设l1 : y a,12 : y b，则ab 0 ,且 2 22a b 1-11 a bA(2,0),B(2,b),P( 2,a),

24、Q( 2,b),R( 2, 2 ).记过A,B两点的直线为l ,则l的方程为2x (a b)y ab 03 分(i)由于F在线段AB上，故1 ab 0.a b a b1ab记AR的斜率为k1 , FQ的斜率为k2,则k1 2 二 b k2,1 aa ab aa所以ARP FQ5 分a x1(n)设l与x轴的交点为D(x1,0),则 S ABF，“ r 1由题设可得1b a|x1Xi(舍去)，Xi1.设满足条件的 AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,kAB kDE可得y (x x 11).而a_q y ,所以y221(x 1).当AB与x轴垂直时,E与D重合，所以,所求轨迹方程为x

25、112分3、轨迹求法.考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系;【方法归内1 (1)解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率*弹或转化为利用向量证明：求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法(相关点法)？声代入法求解时必须找准主动点与从动点。214.12015高考新课标1,理20在直角坐标系 xoy中，曲线 C： y='与直线y kx a(a> 40)交与M,N两点，(I)当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(n) y轴上是否存在点 巳 使彳导当k变动时，总有/ OPM=/OPN?说明理由.【答案】(I) jax y a 0或v'ax y a 0 (n)存在【解析】试题分析：(I)先求出 M,N的坐标，再利用导数求出M,N. (n)先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a代入曲线C的方程整理成关于 x的一元二次方程，设出M,N的坐标和