线性代数的学习和在实际中的应用

1、线性代数的学习和在实际中的应用药科大学 工商管理学院 78 期 晔 摘要：通过对线性代数的容概念理论的学习，更好的把数学知识 应用于实际中。线性代数( Linear Algebra )是数学的一个分支，线性代数包括： 行列式、矩阵、线性方程组等基础知识。它的研究对象是向量，向量 空间(或称线性空间) ，线性变换和有限维的线性方程组。线性代数 被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中； 通过解析几何， 线性代数得 以被具体表示。线性代数主要研究有限维线性空间中的线性关系和线 性映射，具有代数学的实用性和抽象性特点。 线性空间与线性变换是 线性代数的核心容， 而矩阵的秩是与这门课程的几乎所有的容都有联

2、系的一个重要的概念， 利用矩阵的初等行变换是解决这门课程绝大部 分计算问题的主要方法。 在学习过程中挖掘知识产生的背景和形成过 程，抓住矩阵的秩与相关概念之间的关系， 融会贯通地掌握该课程的 主要容，培养熟练的运算能力及严密的逻辑推理能力。 下面通过实例 对线性代数的应用加以说明。问题 1 生产总值问题一个城市有三个重要的企业 : 一个煤矿，一个发电厂和一条地方铁 路。开采一元钱的煤，煤矿必须支付 025 元的运输费。而生产一元钱的电力， 发电厂需支付 065 元 的煤作燃料，自己亦需支付 0 05 元的电费来驱动辅助设备和支付 0 05 元的运输费。而提供一元钱的运输费，铁路需支付 0 55

3、 元 的煤作燃料， 0 10 元的电费驱动它的辅助设备。某个星期，煤矿 从外面接到 50 000 元煤的定货，发电厂从外面接到 25 000 元电力的 定货，外界对地方铁路没有要求。 问这三个企业在那一个星期生产总 值达到多少时才能精确地满足它们本身的要求和外界的要求 ? 解对于一个星期的周期， x1 表示煤矿的总产值， x2 表示电厂的总产值， x3 表示铁路的总产值。根 据题意 :x1 ( 0 65x2 + 0 55x3) = 50 000x2 ( 0 25x1 + 0 05x2 + 0 1x3) = 25 000x3 ( 0 25x1 + 0 05x2) = 25 000写成矩阵形式，得

4、00.65 (). 551(5(】 00( 0.25 0.05 0.1()x2=25 000U'l J呱25 0.05 0 丿W丿即矶一小"旗中：-舟詁500.65 0.节 >5 25 0.050因为系畸刃式IJ-CI "62875 M X = 5 - 心p() )()0/=25 000山丿10,25 0,05 0.10-0.25 -0.05-0.25 0,95- (1.100.65 -O.55Y VMK'25 (WU)制据克U默法毗此方翱有唯-龜邸为7和二血087 56 163 28 330）一所以求得煤矿总产值为102元，发电厂总产值为56 163

5、元，铁路总产值为28 330元。般地，如果问题所涉及的数据是以表格形式出现的或者问题可以转化为线性方程组进行求解的，这些提供的数据常常可以用上述简化的矩形式表来表示，由此引入矩阵的概念。另外， 在习题中可以安排一些简单的应用题开阔视野和培养应用代数知识 解决实际问题的能力问题2:成本问题某些产品在生产过程中能获得另外几种产品或副产品， 但是对每种产 品的单位成本难以确定，这类问题可以通过几次测试，列出方程组求 解。例如：在一次投料生产中能获得四种产品，每次测试的总成本如表1所示，试求每种产品的单位成本。批次A产品（公斤）D总成木（元）HC第一批生产200100100502900'第二批

6、生产5002502001007050'第三批生产1004040201360i第四批生产400180160605500'解：设A、B、C D四种产品的单位成本分别为x1、x2、x3、x4，可列出方程组200旺 +100七 + 100x3 + 50斗=2900500“ 4- 250厂 + 200x3 +100屯=7050I 100 斗 +40心 + 40 心 + 20x4 = 1360I 400“ + 180x： + 160心十 60心二 5500将方程组化简如下r 4“ + 2x2 + 2x3 + x4 - 58| 10巧+5勺+4形 + 2花=1415“ + 2a + x4 二

7、 68J 20“ +9a +8xj +3x4 二 275运用行列式解得：x1 = 10，x2=5, x3=3，x4=2所以A、B C、D四种 产品的单位成本分别为10元/公斤，5元/公斤，3元/公斤，2元 /公斤问题3:利润问题:种商企业经营几类商品，由于有些费用难以划分，因此不能确定每品的利润率，这种情况可以通过不同时期（或不同门市部）的总利润,列出方程组求解。例如：某商店经营四类商品，四个月的销售额及利润额如表2所示，试求每类商品的利润率。品类销售额（千元利润月次ABCD（千兀）1250200300600802200100500800853160300400750904300250500&

8、#39;50095解设ABC、D四类商品的利润率分别为x1、x2、x3、x4,可列出方程组250右 + 200孔 +300心 + 600小=80200xt + 100a + 500心 + 800x4 二 85'160“ + 3002 + 400x3 + 750x4 - 90| 300A-j + 250心十 500x3 + 500a4 二 95将方程组组简化如下25 + 20x2 十 30a 3 + 60“斗二 840x1 + 20a + 100x, + 160x4 =1716眄 +30x2 + 40心 + 75x4 9.60X + 5O.v. + 100x3 + 100x4 二 19解

9、得 x1=0.10, x2=0.08，x3=0.05, x4=0.04。所以 A、B CD 四类 商品的利润率分别为10% 8% 5% 4%以上实例只是运用了线性代数中线性方程组和行列式的方法，可以想象，更多精深的数学方法应用在经济研究领域中将会对经济发展起到 多么大的推动作用。问题4:在医药领域应用在医药领域也有着很重要的作用。例如：通过中成药药方配制问题， 达到理解向量组的线性相关性、最大线性无关组向量的线性表示以及 向量空间等线性代数的知识问题：某中药厂用9种中草药（A-I ），根据不同的比例配制成了 7种特 效药，各用量成分见表1 （单位：克）1号成药e号成药3号咸药4号成药a号成药6

10、号成葯号成葯A10214122038100B120122535603"? 1311 |05140D79255154735E012255336F5355355550g425239|25Jpic161010 13510d 121202620 J解：把每一种特效药看成一个九维列向量，分析7个列向量构成向量组的线性相关性。若向量组线性无关，则无法配制脱销的特效药；若 向量组线性相关，并且能找到不含u3,u6的一个最大线性无关组，则 可以配制3号和6号药品。在Matlab窗口输入u1二10;12;5;7;0;25;9;6;8;u2二2;0;3;9;1;5;4;5;2;u3=14;12;11;2

11、5;2;35;17;16;12;u4=12;25;0;5;25;5;25;10;0;u5=20;35;5;15;5;35;2;10;0;u6=38;60;14;47;33;55;39;35;6;u7=100;55;0;35;6;50;25;10;20;U=u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7UO,r=rref(U)计算结果为U0=1 0 1 0 0 0 00 1 2 0 0 3 00 0 0 1 0 1 00 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 1四个零行r= 1 2 4 5 7从最简行阶梯型U(中可以看出，R( U) =5,向量组线性相关，一个最大无关组为u1 ，u2，u4，u5，u7， u3=u1+2u2u6=3u2+u4+u5故可以配制新药2)三种新药v1 ,v2,v3表示，问 题化为v1 ,v2,v3能否由u1-u7 线性表示，若能表示，则可配制；否则，不能配制。令 列可以看出结果计算结果r