线性相位FIR数字滤波器的特性

1、广州大学物理与电子工程学院广州大学物理与电子工程学院第五章 FIR数字滤波器的设计5.1 5.1 线性相位线性相位FIRFIR数字滤波器的特性数字滤波器的特性主要内容主要内容重点与难点重点与难点 重点重点1、2、 难点难点1、LTI系统：系统：iiNijjMjzazbzH101)(kMkkkMkzkhzbzH)(00M阶阶(长度长度M+1) FIR数字滤波器的系统函数为：数字滤波器的系统函数为：其他0, 1 , 0MkbkhkW W p:通带截止频率通带截止频率W W s:阻带截止频率阻带截止频率d dp:通带波动通带波动d d s:阻带波动阻带波动)1lg(20ppdA通带衰减通带衰减(dB

2、)ss20lgAd 阻带衰减阻带衰减(dB)(1) 容易设计成线性相位。容易设计成线性相位。(2) hk在有限范围内非零，系统总是稳定的。在有限范围内非零，系统总是稳定的。(3) 非因果非因果FIR系统都能经过延时变成因果系统都能经过延时变成因果FIR系统。系统。 (4) 可利用可利用FFT实现。实现。 (1)能在较低的阶数下获得较好的幅度响应。能在较低的阶数下获得较好的幅度响应。 (2)相位响应无法设计成线性特性。相位响应无法设计成线性特性。 (3)系统不一定稳定（因为有反馈）。系统不一定稳定（因为有反馈）。 线性相位系统的线性相位系统的)(jjje)e()e(WWWHH若若 (W W )=

3、 a W, a W, 则称则称系统系统H(z)是严格线性相位的。是严格线性相位的。)( jje)()e(WaWW AH其中，其中，A (W W )是是W W 的实函数，的实函数，称为幅度函数。称为幅度函数。0123401234hk偶对称，偶对称，M为偶数为偶数M=4hk偶对称，偶对称，M为奇数为奇数M=3hk奇对称，奇对称，M为偶数为偶数M=4hk奇对称，奇对称，M为奇数为奇数M=3jj0.5(e)( )eMHAWWW其中其中 L=M/2WWWkkakkLhLhALkLkcoscos2)(01012340.51j0.50e2 cos(0.5)0.5MMkh kMkhMWW0.51jj()j0.

4、50 (ee)0.5eMkMkMkh khM W WW/2 1jj/2j0/2 1 e/2e eMMkMkkk Mh kh Mh k W W W频域特性证明频域特性证明kMkkhkhHWWj0je DTFT)e (0.5j0.51e 0.52 0.5cosMMkhMhMkkWW利用对称性利用对称性hk=hM k利用欧拉公式利用欧拉公式改写改写jj()j0.5j(0.5)j(0.5)eee(ee)kMkMMkMk W WW W0.50.5 cos(0.5)0.5cos=nMkkMnh kMkhMnnWW令例例1：h k=1,2, 1, M=2je( 12 0cos)hh WW2/cos4e2jW

5、Wp p2p ppp40A(W W) 2p p)2(WA)(WA)(WA)(WAA (W W)关于关于0和和p p 点偶对称点偶对称)2(WA)(WAA(W W)0.5jj0.51(e )e 0.52 0.5cosMMkHhMhMkkWWWA (W W)的周期的周期= 2p pjj0.5(e)( )eMHAWWW0 cos(0.5) Lkb kkW)5 . 0cos(2)(0WWkkLhALk其中其中: L=(M 1)/2j/2ecos(/2) WW例例2：h k=0.5,0.5, M=10 012p2pA (W W)A (W)的周期的周期= 4pA (W W)A (p )=0A(W W)关于

6、关于W W =p p 点奇对称点奇对称)(WA)(WA)2(WA)(WA(1)/2jj0.50(e )e2 (1)/2cos(0.5) MMkHh MkkWWWj/2e2 0cos(0.5) h WWjj(0.50.5)(e)()eMHAWWW其中其中 L=M/21()2 sin()LkAh LkkW W01234jjsin()e WW例例3: h k=0.5,0, 0.5, M=20A (W W)12 2p pp pA (W W)的周期的周期= 2p pA (0 0 )= A (p p ) =0A(W W )关于关于W W =0,p p 点奇对称点奇对称)(WA)(WA)2(WA)(WA0.

7、5jj(0.50.5)1(e )e2 0.5sin()MMkHhMkkWWW1j(0.5)1e2 1sin()khkk WWjj(0.50.5)(e)( )eMHAWWW其中其中 L=(M 1)/20()2 sin(0.5)LkAh LkkW Wj0.5jsin(0.5 )eWW例例4：h k=0.5, 0.5, M=10 0A (W W )12p2p2p2pA (W)的周期的周期= 4pA (0 ) =0A(W W )关于关于W W =0点奇对称，点奇对称，关于关于W W =p点偶对称点偶对称)(WA)(WA)2(WA)(WAjj(0.50.5)0(e )e2 sin(1/2) )LkHh

8、LkkWWWA (W W)(e)e ()5 . 0j(jWWWAHM类型类型IIIIIIIV阶数阶数M偶偶奇奇偶偶奇奇hk的对称性的对称性偶对称偶对称偶对称偶对称奇对称奇对称奇对称奇对称A(W W)关于关于W0 W0 的对称性的对称性偶对称偶对称偶对称偶对称奇对称奇对称奇对称奇对称A(W W)关于关于WW p p 的对称性的对称性偶对称偶对称奇对称奇对称奇对称奇对称偶对称偶对称A(W W)的周期的周期2p p4p p2p p4p p 000.5p p0.5p pA (0 0)任意任意任意任意00A(p p )任意任意00任意任意可适用的滤波器类型可适用的滤波器类型LP,HP,BP,BSLP,

9、BP微分器微分器, ,Hilbert变换器变换器微分器微分器, ,Hilbert变换器，变换器，HP通用公式：通用公式：kMhkh)()(1zHzzHM1、z=0不可能是系统的零点；不可能是系统的零点；2、zk是系统的零点，则是系统的零点，则zk 1也是系统的零点。也是系统的零点。若若hk是是实序列实序列，则，则H(z)的零点有：的零点有：,ejkkkrz,ej*kkkrz,ej11kkkrzkkkrzj11e)*(偶多项式偶多项式奇多项式奇多项式1( )()MH zzH z1( )()MH zzH z 和和型型和和型型由以上可由以上可以看出：以看出：432111)( zazbzazzHRe(

10、z)Im(z)kkkrzjeRe(z)Im(z)2121)( zazzHkkkrzjeRe(z)Im(z)2131)( zazzHkkkrzjeRe(z)Im(z)14( )1Hzz kkkrzje14( )1Hzz (1) I 型型FIR滤波器滤波器(H(z)为为偶对称偶对称，M为偶为偶数数) 在在zk=1和和zk= 1无零点或者有偶数个零点无零点或者有偶数个零点。(2) II 型型FIR滤波器滤波器(H(z)为为偶对称偶对称，M为奇为奇数数) 在在zk=1无零点或有偶数个零点，无零点或有偶数个零点，zk= 1有奇数个零点有奇数个零点。(3) III 型型FIR滤波器滤波器(H(z)为奇为奇

11、对称对称，M为偶为偶数数) 在在zk=1和和zk= 1有奇数个零点。有奇数个零点。(4) IV 型型FIR滤波器滤波器(H(z)为奇为奇对称对称，M为奇为奇数数) 在在zk=1有奇数个零点，有奇数个零点，zk= 1无零点或有偶数个零点无零点或有偶数个零点。已知已知8阶阶III型线性相位型线性相位FIR滤波器的部分零点为：滤波器的部分零点为：z1= 0.2，z2=j0.8 (1)试确定该滤波器的其他零点。试确定该滤波器的其他零点。 (2)设设h0=1, 求出该滤波器的系统函数求出该滤波器的系统函数H(z)。(1) z3=1/ z1= 5; z4=1/ z2= j1.25，z5=z2*= j0.8，z6=z4*= j1.25； z7= 1; z8= 1;(2) 811( )(1)kkH zz z=1 z 85.25.2(z 1 z 7)+ 2.2025 (z 2 z 6) 6.253 (z 3 z 5) 1 5.2 2.20256.253 0 6.2532.202