四川省德阳市2020届高三下学期质量检测考试(三)数学(理)试题Word版含解析

1、阳市高中2017级质量检测考试(三)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1.已知集合/1 = 3/-2工=0,集合3 = 1,2,3,则下列结论正确的是()A. 2n(Ac8)B. 2w(Ac8)C. AcB = eD.Au B = B【答案】B【解析】【分析】求出集合A，集合3,从而Ac8 = 2, AuB = O,l,2,3.由此能求出结果.【详解】解：集合4 = xlf -2x = 0=0,2,集合 8 = 1,2,3,所以4cB = 2, -8 = 0,1,2,3:.2e(AyB)故A、C、D均错误，B正确.故选：

2、B.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力， 属于基础题.2,设向量2 = (1,T)出=(2,力,若"几 则-=()A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】D【解析】【分析】根据向量履B的坐标以及7/石即可得出x + 2 = 0,解出x即可.【详解】解： Z = (1,-1),B = (2,x),且"族)>2 = 0,解得x = 2.故选：D.【点睛】本题考查了平行向量的坐标关系，向量平行的定义，考查了计算能力，属于基础题.3 .已知随机变量§服从正态分布N（2,，），尸©W4） = 0.84,则尸（J

3、WO）=（）A. 0.16B. 0.32C. 0.68D. 0.84【答案】A【解析】由 正 态 分 布 的 特 征 得 。6。=K 4） = 1 0.84 = 0.1,选 A.4 .若a,beR,则“ /十从工。”是“不全为零，（）A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件D.充分不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件定义，即可求得答案.【详解】由“ +¥（），可以推出“。功不全为零”.即“+¥（）”是力不全为零”充分条件.不全为零”可以推出“/+，（）” .即ZJ+z/wo，是泊不全为零”必要条件.综上所述，”,尸+工0”是力不全为零”充

4、要条件.故选:A.【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、方程与不等式，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题.5 .设“a, 夕，是两个不同的平面，/，*?是两条不同的直线，且*«机 u/7（）A.若/_L,则a _LB.若2 _L,则/ ± ?«.C.若,则若则【答案】A【解析】试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两而垂直,可得/_1_尸，lc:a可得c_L/7考点：空间线面平行垂直的判定与性质6 .已知乂丁为正实数，则一丁 十二的最小值为（）x + 3y x510A. B.33C. -D. 32【答案】D【解析】【详解】试题分

5、析： 告一+上=3-+上山一1之2 匚三三一1 = 3,当且仅当x + 3y x x + 3yxy x + 3y x苫一 =七包时取等号，故选D.x + 3yx考点：基本不等式.【方法点晴】本题主要考查基本不等式，属于中档题.但是本题比较容易犯错，使用该公式 时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构 定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双勾函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这 方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.7.设复数1=二（2是虚数单位），则C°2（/ +PoF+CKo/+ C第"""

6、=<）1-/A. 1 + ZB. TC. iD. 0【答案】D【解析】【分析】 先化简1 + X,再根据所求式子为(l + x)2020 -1，从而求得结果.【详解】解:复数工=三(，是虚数单位)， 1-7而 c短9 + c'V + +c黑产20=a+x 产> 一,1-l-i + 2i l + i (1+i)2.而心=下1汨丁,故 C。/ + &</ + C；" + +嗡产=(i+%严 _ 1=产 _ 1 = 1 _ 1=0,故选：D.【点睛】本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题.8.设x = e,当函数/*)=411工-2(:

7、。$工取得最大值，则Sin<9=()A.-更B.2C.D,在5555【答案】D【解析】【分析】利用和差公式、三角函数的单调性即可得出.【详解】解：函数 f (x) = sin x - 2cosx = >/5(-sin x -cosx) = a/5 sin(A- - (p),其中55_2小5当x-夕=2七r + f伙eZ)时，取的最大值.夕=P+泰乃+ 仅62)时，取得最大值，贝 ij sin 6 = sin(7 + 2k tt + ) = cos(p = , 45故选：D.【点睛】本题考查了三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题.9 .现有16张不同的卡

8、片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任去3张，要求这3张卡片各是一种颜色，且红色卡片至多1张，则不同的取法的种数为()A. 472B. 256C. 232D. 484【答案】B【解析】【分析】根据题意，按取出的卡片中有没有红色分2种情况讨论，求出每种情况的取法数目，由加法 原理计算可得答案.【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：取出的3张卡片中没有红色，则其他三种颜色各取一张，有4x4x4 = 64种取法，取出的3张卡片有1张红色，需要在其他三种颜色任选2中，有C；x4x4x4 = 192种取法，则有64+192 = 256种不同取法：故选：B.【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及

9、分类、分步计数原理的应用，属于基础题.10 .已知腰长为2的等腰直角三角形中，必为斜边相的中点，点尸为该平面内一动点，若|定| = 2,则定.丽的最小值为()A. 8-472B. 8 + 4 点C. 4-272D. 4 + 2 点【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示平面向量，求出平面向量的数量积，再根据三角函数的 性质求出平而向量数量积的最小值.【详解】解：根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示；则C(O,O), 3(2,0), A(O,2),由I定1=2知，点P的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，设点尸(2cos8,2sin。)，6w0, 2乃)；贝 lJPC'

10、= (-2cos6.-2sin6),PM =(l-2cos6.1-2sin6),.二 PCPM = (-2cos)(1 - 2cos0) + (-2sin )(1 - 2sin 0)= 4-2cos6-2sine= 4-2x/2sin( + -)4，= 时，pc:pa/取得最小值为 4一2".4 24故选：C.【点睛】本题考查了平而向量的数量积与应用问题，也考查了圆的方程与最值问题，属于中 档题.11 .已知.¥)是定义在(0,二)内的函数，满足/(x)v/'(x)tanx恒成立，则()2A.小心< 心B.后(£)>&7(£)

11、6343C.叵心>心D. /(l)<2/()sinl646【答案】A【解析】【分析】根据条件构造函数g(x) = "D,求函数的导数，利用函数的单调性即得到结论. sinx【详解】解：因为xe(O,g),所以sinx>0，cosx>0.由 f(x) < r(x) tanX ,得/(x)cosx < /'(x)sin x ,即 /'(X)sinx-f(x)cosx > 0 .令g=xe(0与，则小)JC)cos”.sin x2surx-1-所以函数g（x）在X£（0,3）上为增函数，2<gVg。,畸 /(4) .

12、心sin sin sinI sin 643.2/()<V2/()<<A/(£),64 sin 1 V3 3一 -() < /() » 6/(7)彳),V2/() </() 2y sinl </(l) 963436416 J故A正确，B, C,。错误故选：A.【点睛】本题考查了导数的运算法则，考查了利用函数导函数的符号判断函数的单调性，考 查了函数构造法，属中档题.2212.设乃是双曲线C：二-匚=13。力。）的右焦点，。为坐标原点，过心的直线交双曲线 a" d的右支于点R A；直线尸。交双曲线。于另一点M若周=才尸用，且NMEN

13、 = 60°,则双曲线C的离心率为（）B. 2百C. 4囱D.【答案】D【解析】【分析】一般双曲线中，由双曲线的定义可得与一个焦点有关的线段都转化为到另一个焦点的线段, 过原点的直线由对称性可得4为平行四边形，可得线段之间的等量关系及平行关系，再由三角形的余弦定理可得。，C之间的关系，进而求出离心率.【详解】解：设双曲线的左焦点月，由双曲线的对称性可得"吊尸"为平行四边形，所以IMFJTPFJ, MFJ/PN , NF】PF2=60。552设IPEI=i,则所以，-？ = £？，即"1=%, . 3-33I PF21= 3a , IPA*=2z

14、7+l"l=2a + 3a = 5a,在A”PF2中，由余弦定理可得：(2c)2=(%)2+(5a)2-2345a«8s60。，整理可得：4c2=19/,可得离心率e=巫，2故选：D.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)x>l13.已知实数不、丁满足线性约束条件1 ，则目标函数z = 2x + y的最大值是.x + y <4【答案】9【解析】【分析】在直角坐标系内画出不等式组的表示的平面区域，平移直线¥ = -2工，在平面区域内找到一点使得直线在纵轴上的截距最大，把点的坐标代入目标函数

15、中即可求出目标函数的最大值.【详解】在直角坐标系内，不等式组所表示的平面区域如下图所示：平移直线y = -2x当直线经过点B时,直线在纵轴上的截距最大.点B的坐标是方程组x+y=4x=5,.8(5, 1),所以目标函数？ = 2工+丫的最大值是5乂2 1 = 9.y = -1 y = -1故答案为9【点睛】本题考查了求线性目标函数最大值问题，正确画出不等式组所表示的平而区域是解题 的关键.log3 X, x > 014 .已知函数/(x)=3 , 八，贝2)=.(-X)+l,x<0【答案】2【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得/(-2)的值，进而计算可得答案.【详解】解：根

16、据题意,fM = <则/(-2) = 23+1 = 9,则/(/(-2) = 9) = 1%9 = 2；故答案为：2【点睛】本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题.15 .张丘建算经是中国古代的著名数学著作，该书表明：至迟于公元5世纪，中国已经 系统掌握等差数列的相关理论，该书上卷22题又“女工善织问题”：“今有女善织，日益功 疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？ ”，大概意思是：有一个女工人善于织布，每天织布的尺数越来越多且成等差数列，第一天知5尺，30天共织九匹三丈，问每天 增加的织布数目是多少寸？答案是寸.（注：当时一匹为四丈，一丈为十尺，一尺为十寸，结

17、果四舍五入精确到寸）【答案】6【解析】【分析】根据题意，设每天织布的量组成了等差数列%，设公差为d （尺），由等差数列的前项和 公式计算可得4的值，换算单位即可得答案.【详解】解：根据题意，每天的织布量组成了等差数列%，设公差为d （尺）， 又由第一天织5尺，30天共织九匹三丈，即 =5 （尺），S30 =9x40 + 30 = 390 （尺），即凡,=30%+”网= 390,解可得尺土 6寸；故答案为:6.【点睛】本题考查等差数列的应用，涉及等差数列的通项公式以及前项和公式，属于基础题.16 .在四面体 43CQ中，AB=AD = 2, ZBAD = 60°,ZBCD = 90&#

18、176;,二而角 A 3QC 的大小为150。，则四面体A8CO外接球的半径为. 2 c/-* . J2 1【答案】=【解析】【详解】【分析】画出图象如下图所示，K中E为等边三角形3。边的中点，。|为等边三角形的中心（等边三角形四心合一）；球心。在E点的正上方，也在点的正上方.依题意知ZOEO = 60 ,O,E =正,QA =亚，在 RtAOO.E 中 OOX =tan6。= 1,所以外接圆33半径 r = OA = 00+0 = +| =咛.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答

19、.A 1 b17.已知MBC的内角的对边分别为若cos? = 十 一 2 2 2c(1)求角C(2) 80平分NCB4交月。于点M 且8W = l,c = 6,求cosNCAB.【答案】(1) C = 90°： (2) 业 8【解析】【分析】(1)由已知结合余弦定理进行化筒即可求解C：(2)由已知结合正弦定理可求cosZ/RM,然后结合诱导公式及二倍角公式即可求解.A h【详解】解：(1)因为cos? = + ， 2 2 2c所以匕誓=+?.将余弦定理代入得1+匕士=1+匕 22 2c2bc c:.a2+b2=c2 所以 C = 90，(2)记 ZA8W=a,则 中，ZBM4 = 9

20、(r + c, NC45 = 90°-2c,在A483中使用正弦定理得 ,；、二 .二？、' sm ZBMA sin ZCABsin(90° + a) sin(90°- 2a)即一 = , 整理得 12cos2 2 -cos。-6 = 0 , cos a cos 2a因为。为锐角，所以 cosa =，/. sin a = 71-cos2 a =,44a/y 从而 cos ZC4B = cos（90° - 2a） = 2 sin acosa =；.8【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数的基本关系在求解三角形中的 应用，属于中档题.

21、18.在四棱锥PA3co中，AD8cA8 = 8C = 8 = 1aO,G是心的中点，34。是2等边三角形，平而平面A3CO.（1）求证：CD_L平面G4C：（2）求6与平面APG所成角的余弦值.【答案】（1）见解析：（2） 叵10【解析】【分析】（1）取AO的中点为。，连结。尸，0C, 0B,设AC交。8于，连结G”.只需证明CD1AC. CDLGH,即可证明CQ上而AGC （2）建立空间直角坐标系坐标系。-冷z,设3。= 2,求得平面PAG的一个法向量即可求解；【详解】解：证明：取血的中点为0，连结砒03 0B,设月。交仍于乂连结成V AO8cA8 = 8C = CD =，A。，.四边形A

22、8C0与四边形03CQ均为菱形，2.OB】ACQB"CD.：. CD VAC. v为等边三角形，。为四中点，,P01AD.平而PAZ）_L平而A8C。，平面尸AOA平面48。=人。,夕。匚平而月切，POLAD.P01平面A8CQ, .<?£><=平而ABC。，.PO，C£）, ”,G分别为。民。3的中:.GHMPO, ：.GHHCD, 丁 GcAC = ",AC,G" u 而 GAC,（2）取6。的中点为巴以。为空间坐标原点，建立如图所示的空间直角坐坐标系。一肛Z,不妨设BC = 2,则A(O,-2,O),P(O,O,20),

23、B(/,-l,O),C(g,l.O),G(五,-L&) 22平而PAG的一个法向量n =（K 丁, Z）,nAP = 0tvAG = 02），+ 2 屈=0芋吗+底=0y = ->/3z- r设所求的角为,则sin”倒二唱CPAn所以cos0 = -sin2 0 =更三，10令z = i,=(i,-V5,D，因为 x = z即所求6与平而川知所成角的余弦值为巫.10【点睛】本题考查了空间线面垂直的判定，利用空间向量法求线而角的求解，属于中档题.19.已知函数 /'（X）= （a一 In x 1（七 R）（1）求/。）的极值：（2）若玉0,使得/*）Kinx成立，求实数。的

24、取值范同【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）【解析】分析】(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求单调性，进而可求极值；(2)由玉>0,使得/(x)W阮t成立可分离参数后，构造函数，结合导数可转化为求解相应 函数的最值.【详解】解：(1)由/(x) = or-lnx-l, xe(0,+oo),则/*)= 4一_1 = _L ,X X当“40时，则/'(x)W。，故"X)在(0,+s)上单调递减，函数/(X)没有极值；当>0时，令/'*) = 0, .x = La所以f(x)在上单调递减，在L+s上单调递增，从而/(X)有极小值.fd) = l

25、n“， a)a )a没有极大值.综上所述：当“40时，没有极值；当。>0时，f(x)有极小值/(b = lna,没有极大值 a2 In x +15 /、 21nx+ 1(2)定义域(0, +8),在定义域内,设8(工)=,XX因为3r>0,使得f(x)Minx成立,只需a«g(x)1nM ,因为g'(x)= 一 ，易知在(0,J7),函数g(x)递增，在(J7,+oo)，函数g(x)递减， 厂212 c所以g(X)max =g(J)= T ,从而实数3的范围是- 8,”( e _【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的极值及利用参数法求解不等式的存在性问题， 体现

26、了转化思想及分类讨论思想的应用.20.已知椭圆丁：二+二=13>/，>0)经过点人(4,0),离心率6 =走. a b2(1)求椭圆了的方程；(2)设点6为椭圆与)'轴的交点，点。为线段儿5的中点，点尸是椭圆了上的动点(异于椭 圆顶点)且直线川，期分别交直线%于M N两点，问10Ml|ON|是否为定值？若是，求出 定值；若不是，请说明理由.22【答案】（I）:+ 2_ = 1： （2）是，定值为1216 8【解析】【分析】（1）根据题意列出关于。，b,。的方程组，解出“，b, c的值，即可求出椭圆方程；（2）易知直线。的方程为工一= 0,设P（Xo，No）,M （、历弘,弘

27、）,"（&丫2，）2），由夕，4 yo2J2x.7,A, M三点共线得力=,同理力=7 '再把莅+ 2 .垢=16代入V2y0+4-x0Xo+4-岳。化简即可.4 = 4【详解】解：由已知得£ = £ ,解之得“ =4/=2&，所以椭圆的方程为 a 2a2 =b2 +c216 8 （2）由已知点。的坐标为（2, JI）,得直线人的方程为= 0 ,设P（x°, y°），M （&X, X）, N 陋y?,y?），因RAM三点共线，故丁'= 一三,整理得一2， x0-4V2y0 + 4-x0同理由P,民N三点共

28、线，得.耳?立= 02-25/2,2y/2x( t ,整理得力=1，因点尸在%- x0+4-V2y0椭圆上，故4+ 2只=16,从而v V, = 4yo .200=8 A1,''2 0为+4-. 与+4-点% 16-（V2y0-x0）2_8国九_ 416 -（2y； + 片 一 2"%y）所以QmHoM = |6乃卜|百力卜3y1% = 12为定值.【点睛】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题.21. 2019年，中国的国内生产总值（G，尸）己经达到100亿元人民币，位居世界第二，这其中 实体经济的贡献功不可没，实体经济组织一般按照市场化原则运

29、行，某生产企业一种产品的 成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本）'（元）与生产该产品的数量X（千 件）有关，经统计得到如下数据：根据以上数据绘制了如下的散点图alll依83?$男”&g)0，现考虑用反比例函数模型y = " + 和指数函数模型），= c/x分别对两个变量关系进行拟合， X为此变换如下：令 =1,则y = a即y与也满足线性关系，令p = lny,则xv = nc+dx,即Rx也满足线线关系，这样就可以使用最小二乘法求得非线性回归方程，已求得用指数函数模型拟合的回归方程为），= 96.5"d/与x的相关系数4 =一094,其他参

30、考I 数据如下（其中% =，匕='凹） x* 1-1U一夕 W14 st%: fl0.61x6185.5e'2Ii>96.54V183.40.340.1J51.5336022385.561.40.1354.63.7（1）求指数函数模型和反比例函数模型中）'关于X的回归方程：（2）试计算与的相关系数4,并用相关系数判断：选择反比例函数和指数函数两个模型中哪一个拟合效果更好（精确到0.01） ?（3）根据（2）小题的选择结果，该企业采用订单生产模式（即根据订单数量进行生产，产品全部售出），根据市场调研数据，该产品定价为100元时得到签到订单的情况如下表：订单数（千12

31、34L 067891011件）概率1 丫°(2)(1丫<2)r 1Y2)©f if <2)©8(1Y<2；£2(1 y° Jj已知每件产品的原来成本为10元，试估算企业的利润是多少？（精确到1千元）参考公式：对于一组数据（内,匕）,32，州）产，（），其回归直线丫 =止+例的斜率和截距的£% -nnv最小二乘估计分别是：P =与-,a = v-/3 u相关系数:滔/-I100【答案】（1）指数模型回归方程 y = 96.54e42A，反比例函数回归方程为y = 11 + 1；（2）反比例函数；（3） 612 （千元）

32、【解析】【分析】（1）对 § = 96.54小两边取对数，可得/，少= /96-54 + x, RP v = 4.6 + dx,再把S = 3.7,i = 4.5代入，可求得"=-0.2,然后令 = L,则>结合参考公式即可求得”，B，从X而求得回归方程：（2）利用参考公式求出相关系数为，再与（1）中 彳相比较，即可得解：（3）设该企业的订单期望为S （千件），先利用错位相减法求出S的值，再算出企业的利润.【详解】解：（1）因为$ = 96.54/八，所以lny = ln96.54 + ,江，.y = 4.6 + dr,将5 = 3.7, = 4.5 代入上式，得4

33、= -0.2,所以），=96.54/02、.令=1,则 > =匕+。，因为 = 汹 =45,所以x8_一&，v _ 83.4-8x0.34x4 =«“一工、£1.53-8x0.115Z :-8则 a =)1 bu = 45 100 x 0.34 = 11,100所以y = 11 + 100,，所以y关于X的回归方程为y = U + 1.100综上，指数模型回归方程为），=96.5"侬，反比例函数回归方程为）' = " + "7；（2） y与"的相关系数为t "厂丽亍_61= _61_。0994=18&#

34、39;87061x6185561.4因为卜|卜,所以用反比例函数模型拟合效果更好.（3）设该企业的订单期望为S （千件），则 S = lx d +2x（：） +3拈）+1呢）T = lxp2x +3咽 + + 10端 9=阳'+2咽 +3x() + +10X&)©_ ,*f1+C-5化简得r=9 + (；),所以S=9+(；) X12 = 9+急q （3 ）,100所以该企业的利润约为：9 +而卜100-19 +通卜10+11+7-V 256 J【点睛】本题考查线性回归方程及其应用、相关性检验、利用错位相减法求数列前项和，考查学生综合运用知识的能力和运算能力，属于中档题22.在直角坐