复变函数 柯西公式

1、 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数学习要点学习要点熟练掌握高阶导数公式熟练掌握高阶导数公式 熟练掌握柯西积分公式熟练掌握柯西积分公式第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分3.2 柯西公式柯西公式 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数一、柯西积分公式一、柯西积分公式1. 问题的提出问题的提出000( ):|(0)( )f zCzzrrf zC 设设在在以以圆圆为为边边界界的的闭闭圆圆盘盘上上解解析析，沿沿 的的积积分分为为零零。考考虑虑积积分分0( )Cf zIdzzz 0( )2)0;f zIzz 在在上上述述闭闭圆圆盘盘上上不不解解析析， 的的值值不不一一定定为为

2、 1) 被积函数在被积函数在C上连续，积分上连续，积分I必然存在；必然存在； 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数因此，因此，I的值只与的值只与f(z)在在z0点附近的值有关。点附近的值有关。根据闭路变形原理知根据闭路变形原理知, 得得( )12.f zIi 例例如如：时时，00( )( )CCf zf zdzdzzzzz 00 , : ,zCzz 作作以以为为中中心心 半半径径为为很很小小的的 的的正正向向圆圆周周现在考虑现在考虑f(z)为一般解析函数的情况。为一般解析函数的情况。 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数 ( ) ,f z由由的的连连续续性性0 ( ) ,

3、Cf zz 在在上上函函数数的的值值将将随随着着 的的缩缩小小而而逐逐渐渐接接近近于于它它在在圆圆心心处处的的值值000()( )d d .()CCf zf zzzzzzz 将将接接近近于于缩缩小小00()dCf zzzz 0001()d2().Cf zzif zzz 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数2. 柯西公式柯西公式( )DCf zDCDDz设设 是是以以有有限限条条简简单单闭闭曲曲线线 为为边边界界的的有有界界区区域域, , 设设在在 及及 所所组组成成的的闭闭区区域域 上上解解析析，那那么么在在 内内任任一一点点 ，有有1( )( )2Cff zdiz 定理定理1 (柯

4、西公式柯西公式) C是是D的正向边界，我们称它为的正向边界，我们称它为柯西公式。柯西公式。 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数DC( ),( ),fzDFzDz 设设显显然然函函数数在在满满足足的的点点 处处解解析析。.rrDCD在在 上上，挖挖去去以以为为边边界界的的圆圆盘盘，余余下下的的点点集集是是一一个个闭闭区区域域证明：证明：,rzDrC以以 为为心心，作作一一个个包包含含在在 内内的的圆圆盘盘，设设其其半半径径为为 ，边边界界为为圆圆方方向向为为逆逆时时针针。zrC( ) rfDz 在在上上，解解析析，所所以以有有 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数( )(

5、)rCCffddzz ( )2rCff zdif zz rrCCfff zf zddzz ( )rrCCff zf zddzz ( )1rrCCff zdf zdzz 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数 ( ) ,fz 因因为为在在 连连续续0,( )0, ,( )( )zff z 所所以以当当时时 有有成成立立. . rCffz 故故在在圆圆周周上上，亦亦有有 22rrCCff zff zddzzrr 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数 0lim0rrCff zdz 于于是是有有 2rCfdif zz 从从而而得得到到 1 2Cfdf zzDiz 即即证毕证毕 哈尔滨

6、工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数2、公式给出了解析函数的一个积分表达式、公式给出了解析函数的一个积分表达式.3、公式提供了计算某些复变函数沿闭路积分、公式提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法的一种方法注解注解(这是解析函数的又一特征这是解析函数的又一特征)1、对于有界闭区域上的解析函数，它在区域、对于有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来。示出来。1( )( )2Cff zdiz 001( )()2Cf zf zdzizz 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数412)d .123zzzzz 21

7、213) d .(1)z izz z 例例1 求下列积分求下列积分41sin1)d2zzziz 2sin4 d , :1111) 1; 2) 1; 3) 2.22CzzCzzzz 计计算算积积分分其其中中例例2 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数41sin1)d ;2zzziz ( )sin , f zz 因因为为在在复复平平面面内内解解析析0 4 ,zz位位于于内内例例1 求下列积分求下列积分解解041sin1d2sin22zzzzizizi 0; 由柯西积分公式由柯西积分公式 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数412)d .123zzzzz 441dd123zzzz

8、zzz1 32122 2ii 7.2i 21213) d .(1)z izz z 21(1)z z 1()()z zizi1()z zizi )(zf 0,zi 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数1 ( ) , 2f zzi 因因为为在在内内解解析析2112211()dd(1)z iz iz zizzz zzi 12()z iiz zi 2122ii . i 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数解解2112sin41)d1zzzz 112sin41d1zzzzz 1sin421zziz 2;2i 2sin4 d , :1111) 1; 2) 1; 3) 2.22CzzCz

9、zzz 计计算算积积分分其其中中例例2 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数2111122sin4sin142)dd11zzzzzzzzz 1sin421zziz 2;2i 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数22sin43)d1zzzz 由闭路复合定理由闭路复合定理, 得得22sin4d1zzzz 2112sin4d1zzzz 2112sin4d1zzzz 2222ii 2. i 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数( )( )( )f zDDCf zCf zD设设在在闭闭区区域域 内内解解析析， 的的边边界界 是是由由光光滑滑或或分分段段光光滑滑曲曲线线所所组

10、组成成若若在在上上恒恒为为常常数数，证证明明在在 上上恒恒为为常常数数. .( )( ),( )( )( )( )f zg zDCDDf zg zCf zg zC 设设与与在在区区域域 内内解解析析， 为为 内内的的任任意意一一条条简简单单闭闭曲曲线线，它它的的内内部部全全含含于于如如果果在在 上上所所有有点点成成立立，试试证证在在 内内所所有有点点处处成成立立。例例3 例例4 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数232. d .(1)zzezz z 练习练习计算下列积分计算下列积分2-2 1cos1. d .4zzzz 1(2)i ee 2cos2i 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学

11、复变函数复变函数定理定理2 ( ) , .Cf zDzD其其中中为为在在函函数数的的解解析析区区域域内内围围绕绕的的任任何何一一条条正正向向简简单单闭闭曲曲线线 而而且且它它的的内内部部全全含含于于二、高阶导数公式二、高阶导数公式 ( ) , f z解解析析函函数数的的导导数数仍仍为为解解析析函函数数 :n它它的的阶阶导导数数为为( )1( )( )d(1,2,)2(!)nnCffzinnz 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数根据导数的定义根据导数的定义,要证明要证明从柯西积分公式得从柯西积分公式得1( )( )d ,2Cff ziz 1( )()d ,2Cff zzizz 证明：

12、证明： , zD设设 为为内内任任一一点点 1 ,n 先先证证的的情情况况 201lim2zCf zzf zfdziz 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数 12Cffdizzzzz 22Cfzdizzz 212Cf zzf zfdziz ?0 ( ) , 0, ( ),f zCMf zM 故故在在上上有有界界 于于是是使使得得 ( ) ,f zCC因因为为在在上上解解析析 所所以以在在上上连连续续 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数 ,dzC设设为为从从 到到曲曲线线上上各各点点的的最最短短距距离离zDCd1 , ,2zzd 并并取取适适当当地地小小 满满足足11 ,z

13、dzd 则则zzzz ,2d 12,zzd 232CfzMLdzidzzz 0(0)z .LC这这里里为为的的长长度度 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数21( )( )d ,2()Cffzziz 于于是是再利用以上方法求极限再利用以上方法求极限0()( )limzfzzfzz 32!( ) ( )d .2()Cffziz 可可得得( )1!( )( )d .2()nnCnffzziz 证毕证毕至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数解析函数.依次类推依次类推, 利用数学归纳法可证利用数学归纳法可证 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数

14、复变函数1d .( )znzeznz 求求积积分分为为整整数数522, : 1. cos1)d ;2)d .(1)(1)zCCCzrzezzzz 计计算算下下列列积积分分 其其中中为为正正向向圆圆周周例例5例例6高阶导数公式提供了计算某些复变函数高阶导数公式提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法沿闭路积分的一种方法.( )1( )( )d2()!nnCffzzizn 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数解解5cos1) 1 , (1)zCzz 函函数数在在内内处处不不解解析析cos ,zC 但但在在内内处处处处解解析析 根根据据高高阶阶导导数数公公式式522, : 1. cos1

15、)d ;2)d .(1)(1)zCCCzrzezzzz 计计算算下下列列积积分分 其其中中为为正正向向圆圆周周例例55cosd(1)Czzz 1)4()(cos)!15(2 zzi5;12i 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数222) , (1)zeCziz 函函数数在在内内的的处处不不解解析析1C2Cxyo iCi 1 ,CiC在在内内以以为为中中心心作作一一个个正正向向圆圆周周2 ,iC 以以为为中中心心作作一一个个正正向向圆圆周周1222 ,(1), zeC C Cz 则则函函数数在在由由围围成成的的区区域域内内解解析析根据复合闭路定理根据复合闭路定理12222222ddd(

16、1)(1)(1)zzzCCCeeezzzzzz 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数122d(1)zCezz 122()d()zCezizzi 22(21)! ()zz iiezi (1),2ii e 1C2Cxyo iCi 212222()dd(1)()zzCCeezizzzzi (1),2ii e 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数22 (1)(1) d(1)22ziiCei ei ezz 于于是是(1)()2iii eie 2(1) (cos1sin1)2i 2sin 1.4i 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数解解(1)0,n 1 , znezz 在在

17、上上解解析析由柯西定理得由柯西定理得1d0;znzezz (2)1,n 由柯西积分公式得由柯西积分公式得1dznzezz 02()zzie 2; i 1d .( )znzeznz 求求积积分分为为整整数数例例6 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数(3)1,n ( )010!( ) ()d2()nnCnf zfzzizz 根根据据公公式式1dznzezz (1)02()(1)!znzien 2.(1)!in 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数 00|( )max( )z zf zzCzCMf z 若若函函数数在在以以 为为圆圆心心， 为为半半径径的的圆圆周周上上及及其其内

18、内部部解解析析，如如果果对对，有有，则则 0( ) 1,2,3,!nnfzMnn 三、一些结论三、一些结论1. 柯西不等式柯西不等式柯西不等式柯西不等式注注：解析函数的导数模的估计与区域的大小：解析函数的导数模的估计与区域的大小 有关；有关； 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数( ),( )0( ).Cf zDDCf z dzf zD 若若在在区区域域 内内连连续续，且且对对于于 内内的的任任一一条条简简单单闭闭合合曲曲线线有有那那么么在在 内内解解析析2. 刘维尔定理刘维尔定理 有界整函数一定恒为常数有界整函数一定恒为常数.3. 莫勒拉定理莫勒拉定理整函数：整函数：在整个复平面解析的函数在整个复平面解析的函数 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数2. 刘维尔定理刘维尔定理 有界整函数一定恒为常数有界整函数一定恒为常数.证明：证明：( )(0,),C,|( )|.f zMzf zM 是是有有界界整整函函数数，即即使使得得00( ) |-|C,(0,),f zzz zz 在在上上解解析析，这这里里，由柯西不等式由柯西不等式| ( )|Mfz 0 0