四川省木里县中学高三数学总复习平面向量整理资料人教A新版

1、平面向量一向量有关概念：1 向量的概念 ：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段 （向量可以平移） 。例：已知 A（1,2 ）， B（4,2 ），把向量 AB 按向量 a （ 1,3 ）平移得到的向量是_2 零向量 ：长度为0 的向量叫零向量，记作：0 ，注意 零向量的方向是任意的；3 单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量( 与 AB 共线的单位向量是4 相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量a 、 b 叫做平行向量，记作：定零向量和任何向量平行

2、。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线直线平行不包含两条直线重合；AB )；| AB|a b ，规, 但两条 平行向量无传递性！（因为有0) ；三点 A、 B、 C 共线AB、AC 共线；6 相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是 a 。例： 下列命题：（ 1）若 ab ，则 ab 。（ 2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（ 3）若 ABDC，则 ABCD是平行四边形。（ 4）若 ABCD是平行四边形， 则 ABDC 。 （5）若 a b,bc ，则 a c

3、。（ 6）若 a/ b,b / c ，则 a / c 。其中正确的是 _二向量的表示方法：1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ， b ， c 等；3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i ， j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为 axiy jx, y ，称 x, y 为向量 a 的坐标， a x, y 叫做向量 a 的坐标表示。如果 向量的起点在原点 ，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三平面向量的基本定理：如果 e1和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么

4、对该平面内的任一向量 a，有且只有一对实数1 、2 ，使 a=121 e 2 e 。例（ 1）若 a(1,1),b (1, 1),c( 1,2) ，则 c_（ 2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. e1(0,0), e2(1, 2)B.e1( 1,2), e2(5,7)C.e1(3,5), e2(6,10)D.e1(2,3),e213( ,)24（3）已知 AD, BE分别是ABC 的边 BC , AC 上的中线 , 且 ADa, BE b , 则 BC 可用向量a,b 表示为 _（4） ABC ，点 D 在 BC 边上，CD2DB ，CDr ABs AC ，则 rs 的值 _四

5、实数与向量的积：实数与向量 a 的积是一个向量，记作a ，它的长度和方向规定如下： （ 1）aa ；（ 2）当> 0时，a 的方向与 a 的方向相同；当< 0时，a 的方向与 a 的方向相反；1 / 6当 0时，a 0 。注意 ：a 0。五平面向量的数量积 ：1 两个向量的夹角 ：对于非零向量a ， b ，作 OAa, OBb ，AOB0称为向量 a ， b 的夹角。注： 当 0 时， a ， b 同向；当时， a ， b 反向；当时， a ， b 垂直。22平面向量的数量积 ：如果两个非零向量a ， b ，它们的夹角为，我们把数量 | a |b | cos 叫做 a 与 b 的数

6、量积（或内积或点积） ，记作： ab ，即 ab a b cos。规定：零向量与任一向量的数量积是 0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。例：（ 1） ABC中， | AB |3，|AC|4，| BC |5 ，则 AB BC _（ 2）已知 a(1, 1), b(0,1 ), cakb,dab ， c 与 d 的夹角为，则 k 等于 _224（ 3）已知 a2, b5,a b3 ，则 ab 等于 _（ 4）已知 a, b 是两个非零向量，且abab ，则 a与ab 的夹角为 _3 b 在 a 上的投影 为 | b | cos ，它是一个实数，但不一定大于0。例： 已知 | a |3 ， |

7、 b |5 ，且 a b12 ，则向量 a 在向量 b 上的投影为 _4 a b 的几何意义：数量积 ab 等于 a 的模 | a |与 b 在 a 上的投影的积。5 向量数量积的性质：设两个非零向量a ， b ，其夹角为，则： abab 0；a ba b a b22, a2aba b当同向时，特别地，a a a aa；当与反向时， a b ；当为锐角时， ab 0，且 a、b 不同向， a b0是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时， ab 0，且 a、b 不反向， a b0是为钝角的必要非充分条件 ；非零向量 a ， b 夹角的计算公式： cosa b| ab | | a | b |。 如；

8、a b（ 1）已知 a( ,2) ， b(3,2) ，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则的取值范围是 _（答：4或0 且13）；3（2）已知OFQ 的面积为 S ，且 OF FQ1，若1S3OF, FQ 夹角的取值范2，则围是 _2（答： (,) ）；43（ 3）已知 a(cos x,sin x),b (cos y,sin y), a 与 b 之间有关系式kab3 akb ,其中 k 0 ，用 k 表示 a b ；求 ab 的最小值，并求此时a 与 b 的夹角的大小（答： a bk 21 ( k0) ；最小值为1 ，60 ）4k2六向量的运算：1 几何运算 ：2 / 6向量加法：利用“平行四边

9、形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设 AB a, BCb ，那么向量 AC 叫做 a 与 b 的和，即a b AB BC AC ；向量的减法：用“三角形法则”：设 ABa, ACb,那么 a b AB AC CA ，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如（ 1）化简： AB BC CD_； ABAD DC _； ( ABCD ) ( AC BD ) _（答： AD ； CB ； 0）；（ 2）若正方形 ABCD 的边长为 1， AB a, BCb, ACc ，则 | ab c | _（答：2 2

10、）；（ 3）若 O是 ABC 所在平面内一点，且满足OBOCOB OC2OA ，则 ABC 的形状为_（答：直角三角形） ；（4）若 D 为ABC 的边 BC 的中点，ABC 所在平面内有一点 P ，满足 PA BPCP0 ，设|AP|，则的值为 _|PD|（答： 2）；（ 5）若点 O 是 ABC 的外心，且 OA OBCO0 ，则 ABC 的内角 C 为 _（答： 120）；2 坐标运算 ：设 a( x1, y1 ), b(x2 , y2 ) ，则： 向量的加减法运算： ab( x1 x2 ， y1y2 ) 。如（ 1）已知点 A(2,3), B(5,4)， C(7,10) ，若 APAB

11、AC(R) ，则当 _时，点 P 在第一、三象限的角平分线上（答： 1 ）；（ 2）已知 A(2,3), B(1,4), 且 12AB(sin x,cos y) ， x, y(,) ，则 xy222（答：或2）；6（ 3）已知作用在点A(1,1)的三个力 F1 (3,4), F2(2,5), F3(3,1) ，则合力 F F1F2F3 的终点坐标是（答：（ 9,1 ） 实数与向量的积 ：ax , yx ,y。1111若 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，则 ABx 2x1 ,y 2y1 ，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设 A(2,3),

12、 B(1,5)，且 AC1AB， AD3AB ，则 C、D 的坐标分别是 _3117,9)）；（答： (1,),(3 平面向量数量积 ： abx1x2y1 y2 。 如已知向量 a （ sinx，cosx ）, b （ sinx ， sinx ）,c （ 1，0）。（ 1）若 x，求向量 a 、3c 的夹角；（ 2）若 x 3, ，函数 f (x)ab 的最大值为1，求 的值8423 / 6（答： (1)150 ;(2)1 或2 1）；22 向量的模 ： | a | x2y2x2y2 。 如, a | a |2已知 a, b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么 | a3b | _（答：13

13、）； 两点间的距离 ：若 A x1, y1 , Bx2 , y2 ，则 | AB |x22x1y2如图，在平面斜坐标系xOy 中，xOy60 ，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若 OPxeye，其中 e , e 分别为与 x 轴、 y1212轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为 (x, y) 。（ 1）若点P 的斜坐标为（ 2， 2），求 P 到 O的距离 PO；（ 2）求以 O为圆心， 1 为半径的圆在斜坐标系 xOy 中的方程。（答：（ 1） 2；（ 2）七向量的运算律：1交换律： a bb a ，aa ， a bb a ；y1x22。如y2xy10 ）；2结合律： ab

14、cabc, abcabc，ababab ；3分配律：aaa,abab ， abcacbc 。如下列命题中：a ( bc)a bac ；a(bc )( ab)c ； (ab)2| a |22 | a | b | | b |2若 a b0 ，则 a0 或 b0；若 a bcb, 则 a22；c ； aa ；a bb； (ab)222b)222a b2。其中正确的是 _2aab ； (aaba（答：）提醒：（ 1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两

15、向量不能相除( 相约 ) ；（ 2 ）向量的“乘法”不满足结合律，即a(b c)( a b)c ，为什么？八向量平行 ( 共线 ) 的充要条件 ： a / bab(a b)2(| a | b |)2x1 y2y1 x2 0。如(1) 若向量 a( x,1),b(4, x) ，当 x _时 a 与 b 共线且方向相同（答： 2）；（ 2）已知 a(1,1),b (4, x) ， ua2b ， v2a b ，且 u / v ，则 x_（答： 4）；（3）设PA( k,12), PB(4,5), PC(10,k)，则时， A,B,C 共线k_（答： 2 或 11）九 向 量 垂 直 的 充 要 条

16、件 ： a ba b 0| a b | | a b |x1 x2y1 y20.特别地( ABAC )( ABAC )。如ABACABAC(1) 已知 OA( 1,2), OB(3, m) ，若 OAOB ，则 m（答：3 ）；24 / 6（2）以原点 O和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB， B90 ，则点 B 的坐标是 _（答： (1,3)或（ 3， 1）；（3）已知 n( a,b), 向量 nm ，且 nm ，则 m 的坐标是 _（答： (b, a)或(b, a) ）十线段的定比分点：1定比分点的概念 ：设点 P 是直线 P1P2 上异于 P1 、 P2 的任意一点，若存在一个

17、实数，使PPPP ，则叫做点 P 分有向线段PP所成的比， P 点叫做有向线段PP的以定比为的定比121212分点；2 的符号与分点 P 的位置之间的关系：当 P点在线段 P 1P2 上时>0；当 P 点在线段 P 1 P2的延长线上时< 1；当 P 点在线段 P2P1 的延长线上时10 ；若点 P 分有向线段 PP12所成的比为，则点 P 分有向线段 P P 所成的比为 1 。如21若点 P 分 AB 所成的比为3 ，则 A分 BP 所成的比为 _47（答：）33线段的定比分点公式：设 P ( x , y ) 、 P ( x , y) ，P(x, y)分有向线段 PP所成的比为，

18、1 112221 2x1x2xx1x22x则1，特别地，当 1 时，就得到线段P1 P 2 的中点公式y1y2。在使用定比分y1yy22y1点的坐标公式时，应明确( x, y) ， ( x1, y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。如（ 1）若 M（ -3 ， -2 ）， N（ 6，-1 ），且 MP1 MN3，则点 P 的坐标为 _（答： ( 6, 7)）；13（ 2）已知 A(a,0), B(3,2 a) ，直线 yMB2，则 a 等于 _ax 与线段 AB 交于 M

19、 ，且 AM2（答：或）十一平移公式：如果点 P( x, y) 按向量 ah, k 平移至P(x , y ) ，则xxh ；曲线yykf ( x, y) 0按向量 ah, k 平移得曲线f (xh, yk) 0 . 注意 ：（ 1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（ 2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如（1）按向量 a 把 (2, 3) 平移到 (1, 2) ，则按向量 a 把点 ( 7,2)平移到点 _（答：（，）；（ 2 ）函数 ysin 2x 的图象按向量a 平移后，所得函数的解析式是y cos 2x1 ，则 a _（答： (,1) ）412、向量中一些常用的结论：（ 1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（ 2） | a | b | | ab | | a | b | ，特别地，当a、b 同向或有 0|