信息光学第一章

1、常用函数：矩形函数：rect(x)，三角函数：(x)圆域函数：circ(r)阶跃函数：step(x)符号函数：sgn(x)sinc(x): sinc(x)高斯函数：exp(ix2)脉冲函数：(x)梳妆函数：comb(x)定义及性质：卷积运算：定义：性质：dxhfxhxfxg) () ( )()()(1-4 1-4 相关相关 信信息处理中的重要运算息处理中的重要运算一、互相关一、互相关考虑两个复函数考虑两个复函数 f (x)与与g (x)，定义：，定义：作变量替换作变量替换 x+ = , 则则 ) () ()()()(*dgxfxgxfxrfg(2)(1) 和和 (2)两个定义式是完全等价的。两

2、个定义式是完全等价的。为函数为函数f(x)与与g(x)的互相关函数。的互相关函数。(1)dxgfxgxfxrfg)()()()()(*互相关是两个函数间存在相似性的量度。互相关是两个函数间存在相似性的量度。1-4 1-4 相关相关一、互相关一、互相关 与卷与卷积的关系积的关系由由(2)式易见：式易见：(3)()()()()(*xfxgdgxfxrfg 1. 当且仅当当且仅当 f *(-x)= f(x) ，相关才与卷积相同。一般情况下，相关才与卷积相同。一般情况下，相关运算与卷积运算的区别相关运算与卷积运算的区别:f(x)要取复共轭要取复共轭运算时运算时f(x) 不需折叠不需折叠rfg(x)=

3、rgf*(-x)(4)由由(3)式直接推论得式直接推论得:2. 互相关不满足交换律互相关不满足交换律rfg(x)=f(x) g(x) g(x) f(x) = rgf (x)相关计算要相关计算要严格注意两个函数的顺序严格注意两个函数的顺序，以及哪个函数取，以及哪个函数取复共轭复共轭。f(x)0 x1f()101h(x)0 x1h(-)0 x1f()101h(x0-)x0g(x)=f(x)*h(x)0 x1阴影部分的面积阴影部分的面积g(x0)x0h(x0-)01(x0-)*f(x)0 x1h(x)0 x1f(x)0 x1h(-x0)x0rfh(x)=f(x) h(x)0 x1阴影部分的面积阴影部

4、分的面积x0rfh(x0)卷积与相关的结果不同卷积与相关的结果不同互相关的物理含义互相关的物理含义,fgrx yf x yg x y1. 互相关是两个信号之间存在互相关是两个信号之间存在多少相似性的量度。多少相似性的量度。2. 两个完全不同、毫无关系的两个完全不同、毫无关系的信号，对所有位置，它们互信号，对所有位置，它们互相关值为零。相关值为零。3. 两个信号在一些部位存在相两个信号在一些部位存在相似性，在相应位置上就存在似性，在相应位置上就存在非零的互相关。非零的互相关。1-4 1-4 相关相关二、自相关二、自相关或：或： ) () ()()()(*dfxfxfxfxrff由由(4)式立即可

5、得式立即可得:rff(x)= rff*(-x)复函数复函数的自相关函数是厄米函数的自相关函数是厄米函数( (实部为偶函数，虚部为奇函数实部为偶函数，虚部为奇函数) )实函数实函数的自相关为实偶函数的自相关为实偶函数dxffxfxfxrff)()()()()(*当当 f (x)=g(x)时，互相关变为复函数时，互相关变为复函数f(x)的自相关，定义为的自相关，定义为1-4 1-4 相关相关 二、自相关二、自相关)()()()()(*xfxfdxffxrff由由(3)式式:若若f(x)是实偶函数是实偶函数, 则则:rff (x)= f(x) * f(x) , 其自相关就是自卷积其自相关就是自卷积对

6、于非零复函数对于非零复函数f(x)， rff (0)0 为实值为实值|rff (x)| 1)，导致频域中坐，导致频域中坐标标(fx,fy)的的扩展扩展及频谱及频谱幅度缩小幅度缩小，反之亦然。，反之亦然。g(x)x0 1 1/211/21g(ax) a=2x01 1/411/41fG(f)01-11f02-21/2)(1afGax空域压缩空域压缩F.T.F.T.频域扩展频域扩展bfafGabbyaxgyx,1),(1-51-5 二维傅里叶变换二维傅里叶变换3. 位移定理位移定理 g(x-a, y-b)= G(fx, fy) exp-j2 (fxa+fyb) 设设 g(x,y) G( fx,fy)

7、, F.T.频率位移：频率位移：原函数在空间域的相移，导致频谱的位移。原函数在空间域的相移，导致频谱的位移。 g(x,y) expj2 (fax+fby)= G(fx- fa, fy- fb)空间位移空间位移：原函数在空域中的平移，相应的频谱函数振：原函数在空域中的平移，相应的频谱函数振幅分布不变，但位相随频率线性改变。幅分布不变，但位相随频率线性改变。推论推论: : 由由 1= d d (fx,fy) exp j2 (fax+fby)= d d (fx- fa, fy- fb)复指函数的复指函数的F.T.是移位的是移位的d d 函数函数1-51-5 二维傅里叶变换二维傅里叶变换4. 帕色渥帕

8、色渥(Parseval)定理定理若若g(x)代表加在单位电阻上的电流或电压，代表加在单位电阻上的电流或电压，则左式代表信号的总能量（或总功率）。则左式代表信号的总能量（或总功率）。 |G( fx , fy)|2代表能量（功率）的谱密度（单位频率代表能量（功率）的谱密度（单位频率间隔的能量或功率）。间隔的能量或功率）。yxyxdfdfffGdxdyyxg22),(),( 设设 g(x,y) G(fx,fy), F.T.Parseval定理说明，信号的能量也可由定理说明，信号的能量也可由|G( fx , fy)|2曲线下面曲线下面积给出，或者说等于各频率分量的能量之和积给出，或者说等于各频率分量的

9、能量之和能量守恒。能量守恒。1-51-5 二维傅里叶变换二维傅里叶变换5. 卷积定理卷积定理空域中两个函数的卷积，其空域中两个函数的卷积，其F.T.是各自是各自F.T.的乘积。的乘积。 g(x,y)* h(x,y)= G(fx,fy) . H(fx,fy) 设设 g(x,y) G(fx,fy), h(x,y) H(fx,fy), F.T.F.T. g(x,y) . h(x,y)= G(fx,fy) * H(fx,fy)空域中两个函数的乘积，其空域中两个函数的乘积，其F.T.是各自是各自F.T.的卷积。的卷积。将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别实用。将时、空域的卷积运算，化为频域的乘

10、积运算，特别实用。也可用于求复杂函数的也可用于求复杂函数的F.T.和复杂函数的卷积。和复杂函数的卷积。1-51-5 二维傅里叶变换二维傅里叶变换利用卷积定理的例子利用卷积定理的例子2.tri(x)= rect(x)*rect(x)= rect(x) rect(x) = sinc(f) sinc(f) = sinc2(f) rect(x)x01 1/211/21rect(x)x01 1/211/21*tri(x)x01 1111fsinc(f)01-11sinc(f)01-11 xsinc2(x)01-11F.T.F.T.F.T. tri(x) = sinc2(f )1-51-5 二维傅里叶变换

11、二维傅里叶变换6. 相关定理相关定理自相关与功率谱的关系自相关与功率谱的关系: :作为练习自己证明。提示作为练习自己证明。提示:利用卷积定理、相关定义利用卷积定理、相关定义和共轭函数的和共轭函数的F.T. 设设 g(x,y) G(fx,fy), F.T.反过来有：反过来有：g(x,y) g(x,y)= |G(fx,fy)|2|g(x,y)|2= G(fx,fy) G(fx,fy) 1-5 1-5 二维傅里叶变换二维傅里叶变换7. F.T.积分定理积分定理在函数在函数 g 的各连续点上，的各连续点上，留作习题自证。留作习题自证。11 g(x,y)= -1 g(x,y)= g(x,y) g(x,y

12、)= -1 -1 g(x,y)= g(-x,-y)1-51-5 二维傅里叶变换二维傅里叶变换8. 可分离变量函数的变换可分离变量函数的变换 通常通常g(x,y) 是可分离变量的函数是可分离变量的函数，即两个独立一，即两个独立一元函数的乘积元函数的乘积:g(x,y)= g1(x) g2(y)dyyfjygdxxfjxgyx) 2exp()() 2exp()(21= G1(fx) G2(fy) 按二维按二维F.T.的定义的定义:dydxyfxfjyxgffGyxyx)( 2exp),()(,其傅里叶变换也是可分离变量的函数其傅里叶变换也是可分离变量的函数 将二维函数的将二维函数的F.T. 化为二个

13、独立坐标上的一维函数的化为二个独立坐标上的一维函数的F.T.的乘积。物理上的大多数函数可以这样处理。的乘积。物理上的大多数函数可以这样处理。注意注意: 不可与两个函数乘积的不可与两个函数乘积的F.T.相混淆相混淆!傅傅里叶变换的计算方法里叶变换的计算方法1. 用定义直接计算用定义直接计算: rect(x), circ(r) , .2. 用广义傅里叶变换的定义计算并求极限用广义傅里叶变换的定义计算并求极限: 1.3. 用傅里叶变换的性质间接导出用傅里叶变换的性质间接导出: F.T.的积分定理的积分定理 F.T.的卷积定理的卷积定理 1. 1=d d (fx , fy );d d (fx , fy)=11 与与d d 函数互为函数互为F.T. 常用傅里叶变换对常用傅里叶变换对 3. rect(x)=sinc(f );sinc(x)= rect(f )rect与与sinc 函数互为函数互为F.T. 4. Gaus(x) = Gaus(f ) 高斯函数的高斯函数的F.T.仍为高斯函数仍为高斯函数2.)comb()(comb1)comb()(combfxfxttt2梳状