高数真题-心流学院-二重积分[沐风教学]

1、二重积分习题1教育专类二重积分的定义定义定义:),(yxf设设将区域将区域 D 任意任意分成分成 n 个小区域个小区域),2,1(nkk 任取任取一点一点,),(kkk 若存在一个常数若存在一个常数 I , 使使 nkkkkfI10),(lim 可积可积 , ),(yxf则称则称 Dyxf d),(),(yxfI为为称称在在D上的上的二重积分二重积分.称为积分变量称为积分变量yx,积分和积分和 Dyxf d),(积分域积分域被积函数被积函数积分表达式积分表达式面积元素面积元素记作记作是定义在有界区域是定义在有界区域 D上的有界函数上的有界函数 , 2教育专类性质性质性质性质 区域可加性区域可加

2、性（重积分与定积分有类似的性质）（重积分与定积分有类似的性质）重积分的性质(二重&三重)线性性线性性gdVfdVgdVf2121fdVfdVfdV3教育专类性质性质性质性质性质性质保序性保序性 f xg xfdVgdV( )mf xMmVfdVMV绝对可积性绝对可积性fdVf dV4教育专类性质性质6二重积分中值定理二重积分中值定理( (数一数一) ) ),(),(fdyxfD5教育专类性质性质7二重积分的对称性二重积分的对称性(1)普通对称性：设积分区域D关于Y轴对称，则(2)轮换对称性：若积分区域D关于y=x对称，则yxfyxfyxfyxfdxdyyxfdxdyyxfDD, , 0

3、, ,2,1dxdyxyfdxdyyxfDD,6教育专类a0 xbzyx)(0 xA),(yxfz )(1xy)(2xy.),()(),()()(21DbaxxbadyyxfdxdxxAdyxf.),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf.)sin,cos(),(DDrdrdrrfdxdyyxf7教育专类一些公式：2sin, 1sin,22sin,221sin0202440 xdxxdxxdxxdx; ,0,cos2cos;sin2sin;1 ,32231, ,221231cossin2002002020为奇数为偶数的奇数为大于为正的偶数nnxdxxdxxdxxdxnnnnnnn

4、nnnxdxxdxnnnnnn8教育专类; ,0, ,sin4cossin202020为奇数为偶数nnxdxxdxxdxnnn.sinsin2sin;cossin20002020dxxfdxxfdxxxfdxxfdxxf9教育专类一、基本概念及性质一、基本概念及性质例1. (2005，8题，4分) 设 ，dyxID221cosdyxID)cos(222，dyxID2223)cos(其中1),(22yxyxD，则(A)(B)(C)(D)123III321III312III213III10教育专类由于cosx在)2, 0( 上为单调减函数，于是22cos0yx )cos(22yx 222)cos(

5、yx 因此dyxD22cosdyxD)cos(22dyxD222)cos(故应选(A)解: 在区域1),(22yxyxD上，有1022yx从而有2212yx 22yx 0)(222 yxdyxID221cosdyxID)cos(222dyxID2223)cos(1),(22yxyxD11教育专类(2010，6题，4分)(A)(B)(C)(D)2211lim()()nnxijnni nj12001(1)(1)xdxdyxy1001(1)(1)xdxdyxy11001(1)(1)dxdyxy112001(1)(1)dxdyxy例2.12教育专类解：解：22221111.()()(1)1( )lim

6、limnnnnxxijijnnijni njnnnn1122002111111.(1)(1)11( )limnnxijdxdyijnxynn13教育专类例3. (2013，3题，4分) 设kD是圆22( , )|1Dx yxy位于第k象限的部分，()kkDIyx dxdy1,2,3,4k 则（ ）(A)(B)(C)(D)10I 30I 20I 40I 14教育专类故应选B.2/2/)1(2/2/)1(102/2/)1(cossin31cossin31cossinkkkkkkDkdrdrrrddxdyxyIk032,0,032,04321IIII15教育专类二、二重积分的基本计算二、二重积分的基

7、本计算 例4. (2012，16题，10分) 计算二重积分 ，xDe xydxdy其中D为由曲线1yxyx与以及y轴所围域.16教育专类xDe xydxdy解:110 xxxxe dxydy1122001111(1)0222xxxxe dxex e dx2111121(22)022222xeeexxexyO(1,1)D17教育专类例5. (2013，17题，10分) 设平面区域D由直线x=3y，y=3x及x+y=8围成，计算2Dx dxdy18教育专类解:y=3x与x+y=8的交点为(2,6)， x=3y与x+y=8的交点为(6,2)。2368222110233xxxxDx dxdydxx d

8、ydxx dy 26220211416(3)(8)=333xx x dxxx x dyxyOD(2,6)(6,2)19教育专类(2009，19题，10分) 22,112,Dxy dxdyDx yxyyx求，其重积分中二例6.20教育专类解：解：22(1)(1)22(sincos )xyr得由32(sincos )404()( cossin )Dxy dxdydrrrdr2(sincos )3340432441(cossin )38(cossin ) (sincos ) (sincos )3rdd 22,112,Dxy dxdyDx yxyyx求，其重积分中二21教育专类334433344444

9、8(cossin ) (sincos )3881(sincos )(sincos )(sincos )33483dd 22教育专类(+05,7(+05,7 分分) ) 计算二重积分计算二重积分 d)(31 DyxxI，其中，其中D 为直线为直线1 yx，0 x和和0 y所围成的平面区域所围成的平面区域. . 例7xyo11x + y = 123教育专类解 d)(31 DyxxI xyyxxx103110d)(d 10103231d)(23xyxxx 1031d)(23xxx.83 xyo11x + y = 1总结：总结：注意观察被积函数，选择合适的积分次序24教育专类(2011，13题，4分)

10、222_.DDyxxyyyxyd设平面区域则二重积分由直线，圆及 轴组成，例8.25教育专类解：解：2sin2204cos sinDxyddrrdr易得圆的极坐标方程为r=2sin ,于是55224474sincos4sinsin12dd (2011，13题，4分)222_.DDyxxyyyxyd设平面区域则二重积分由直线，圆及 轴组成，例8.26教育专类三、利用区域的对称性及函数的奇偶性计算积分三、利用区域的对称性及函数的奇偶性计算积分例9. (2008，11题，4分) 设 ，则22( , )1Dx y xy2()Dxy dxdy_.27教育专类解:22221()2DDDxy dxdyx d

11、xdyxy dxdy利用函数奇偶性21200124dr rdrDDDdxdyxyfyxfdxdyxyfdxdyyxf,21,若积分区域D关于y=x对称，则DDDdxdyyxdxdyydxdyx222221对于这道题，有28教育专类三、利用区域的对称性及函数的奇偶性计算积分(2005，10题，4分)(A)(B)(C)(D) 22( , )4,0,0( ),( )( )( )Df xDDx y xyxyaf xbf ydfyafbx，为 上的正值连续函数，为常数，则设区域.ab() .ab.2ab.2ab例10.29教育专类解：解：( )( )( )( )( )( )( )( )DDaf xbf

12、yaf ybf xddf xf yf yf x由轮换对称性，有2( )( )( )( )12( )( )( )( )12.2242.DDaf xbf yaf ybf xdf xf yf yf xabbbdDaa应选30教育专类( (0 04 4, ,8 8 分分) ) 求求 Dyyx d)(22，其其中中 D是是由由圆圆422 yx和和1) 1(22 yx所所围围成成的的平平面面区区域域。 例11xy2DO31教育专类解由由对对称称性性知知，0d Dy . Dyx d22原式原式 cos20223220220ddddrrrr 2323dcos38316 . )23(916 xy2DO22222

13、11202 cos02cosxyxyxrrr 32教育专类四、分块函数积分的计算四、分块函数积分的计算 例12.(2005，17题，9分) 计算二重积分dyxD122其中10 , 10),(yxyxD33教育专类解:),( , 1),(221DyxyxyxD),( , 1),(222DyxyxyxD于是 dyxD122=1) 1(22Ddxdyyx2) 1(22Ddxdyyx20210) 1(rdrrd=Ddxdyyx) 1(221) 1(22Ddxdyyx8=20102210210) 1() 1(rdrrddyyxdx+.314=例12.(2005，17题，9分) 计算二重积分dyxD122

14、其中10 , 10),(yxyxD34教育专类( (0 08 8, ,1 11 1 分分) ) 计计算算 Dyxxydd)1,max(，其其中中20, 20| ),( yxyxD. . 例1335教育专类解 Dyxxydd)1,max( 20210d1dyx xyx10221d1d 21221ddxyxyx2ln4152ln21 .2ln419 xy21DO22D213D36教育专类计计算算二二重重积积分分 Dyxf d),(，其其中中2|),( yxyxD。 例14 (07,11分) 设二元函数 2|1 ,11| , ),(222yxyxyxxyxfxy21DO-22-211-1-12D37

15、教育专类解xy21DO-22-211-1-12D Dyxf d),(,d),(4d),(421 DDyxfyxf 38教育专类xy21DO-22-211-1-12D Dyxf d),(,d),(4d),(421 DDyxfyxf 11dd),(2DDxyxf xyxx10210dd 102d)1(xxx;121 22d1d),(22DDyxyxf 39教育专类 22d1d),(22DDyxyxf cossin2cossin120d1drrr 20dcossin1 20d)4csc(21 x20| )4cot()4csc(|ln21 xx, )12ln(2 . )12ln(2431d),( Dy

16、xf 40教育专类( (0 07 7, ,4 4 分分) )设设函函数数),(yxf连连续续，则则二二次次积积分分 1sin2d),(dxyyxfx 等等于于 例15(A) yxyxfyarcsin10d),(d (B) yxyxfyarcsin10d),(d (C) yxyxfyarcsin210d),(d (D) yxyxfyarcsin210d),(d xyoD五、交换积分次序或改变坐标系 41教育专类解【答案】 应选(B). 1sin,2: yxxD xyyDarcsin,10:xyoDyPI-arcsiny42教育专类例16.(2012，3题，4分) 设函数( )f t则二次积分 =

17、（ ）连续，22202cos()df r rdr(A)(B)(C)(D)2224222202()xx xdxxy f xy dy22242202()xx xdxf xy dy2222220214()2xdxxy f xydyxx22220214()2xdxf xydyxx43教育专类解: 原式=22242202()xx xdxf xydy故选B.xyOD2244教育专类),(dd),(dxxyyxfxyyxfx(A)010110102d),(dd),(dxxyyxfxyyxfx(B)102sincos1020d)sin,cos(ddr)sin,cos(drrrfrrf

18、(C)102sincos1020d)sin,cos(ddr)sin,cos(drrrrfrrrf(D)xyO2D45教育专类xyO2D.10 ,10;10 ,012xyxxyxsin,cosryrx.10 ,2;sincos10 ,20rr46教育专类(2010，20题，10分)22sin1cos2,D( , ) 0sec ,0.4DIrrdrdrr计算二重积分其中例18.47教育专类22222223112222222000031220(4)20sin1cossin1111(1)(1)2311 (1) .3111sin ,cos.33316DDxxIrrrdrdyxy dxdydxxy dxy

19、xydxxdxxtItdt由题设知，设则解：解：48教育专类六、解含有未知函数二重积分的函数方程六、解含有未知函数二重积分的函数方程 例19. (2011，19题，10分)已知函数 f (x,y)具有二阶连续偏导数，且 f (1,y)=0, f (x,1)=0,Dadxdyyxf),(其中10 , 10),(yxyxD计算二重积分49教育专类解: 1010,dyyxfyxdxdxdyyxfxyIxyDxy 10101y0y1010,1 ,dyyxfxfdyyxfyxfyyxfyddyyxfyxxxxxxy 1010101010,1 ,1 ,dyyxfxdxdxxfxdxdyyxfxfxdxdy

20、yxfxyIxxxxDxy01 ,1 ,1 ,101010 xxxxxfxxdfdxxfx1010分顺序交换积1010,dxyxfxdydyyxfxdxxx1010,dxyxfxdyIx1010101010,dxyxfdxyxfyxxfyxxdfdxyxfxxxxadxyxfdyI1010,50教育专类( (+ +0 07 7, ,8 8 分分) ) 设设函函数数)(xfy 为为连连续续函函数数。对对于于任任意意实实数数 a，如如果果总总成成立立1)(d)( afxfD ，其其中中 D为为直直角角坐坐标标系系 xoy 中中直直线线ayxy ,和和0 x所所围围的的封封闭闭区区域域，求求)(xf的的函函数数解解析析表表达达式式。 例20y = x51教育专类解y = x Dxf d)( axayxfxd)(d0 axxfxa0d)()( aaxx