类比拓展探究型(试题部分)ppt课件

1、第八章 专题拓展8.3类比拓展探求型中考数学中考数学 (河南公用河南公用)解答题1.(2021湖北武汉,23,10分)在ABC中,ABC=90.(1)如图1,分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为M、N,求证:ABMBCN;(2)如图2,P是边BC上一点,BAP=C,tanPAC=,求tan C的值;(3)如图3,D是边CA延伸线上一点,AE=AB,DEB=90,sinBAC=,=,直接写出tanCEB的值. 2 5535ADAC25好题精练解析解析(1)证明证明:M=N=ABC=90,MAB+MBA=NBC+MBA=90,MAB=NBC,ABMBCN.(2)过点过点P作作PMAP

2、交交AC于点于点M,过点过点M作作MNPC交交BC于点于点N,那么那么PMNAPB.=tanPAC=,设设PN=2t,那么那么AB=t.BAP+APB=MPC+APB=90,BAP=C,MPC=C,CN=PN=2t.易得易得ABPCBA,AB2=BPBC,(t)2=BP(BP+4t),BP=t,BC=5t,tan C=.PNABPMAP2 555555(3)在RtABC中,sinBAC=,tanBAC=.过点A作AGBE于点G,过点C作CHBE交EB的延伸线于点H,DEB=90,CHAGDE,=,同(1)的方法得,ABGBCH,=,设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,GH=BG+

3、BH=4m+3n,AB=AE,AGBE,EG=BG=4m,BCAC35BCAB34GHEGACAD52BGCHAGBHABBC43=,n=2m,EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m,在RtCEH中,tanCEB=. GHEG434mnm52CHEH314思绪分析思绪分析(1)利用同角的余角相等判别出利用同角的余角相等判别出MAB=NBC,即可得出结论即可得出结论;(2)作作PMAP,MNPC,先判别出先判别出PMNAPB,得出得出=,设设PN=2t,那么那么AB=t,再再判别出判别出ABPCBA,设设PN=2t,根据类似三角形的性质可求得根据类似三角形的性质可求得

4、BP=t,那么那么BC=5t,即可得出结论即可得出结论;(3)作作AGBE,CHBE,先判别出先判别出=,同同(1)的方法得的方法得,ABGBCH,所以所以=,设设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,进一步得出关于进一步得出关于m,n的等式的等式,解得解得n=2m,最后得出结论最后得出结论.PNABPMAP2 555GHEGACAD52BGCHAGBHABBC43方法指点几何中的类比探求关键在于找到处理每一问的通法方法指点几何中的类比探求关键在于找到处理每一问的通法,此题涉及的类似三角形此题涉及的类似三角形,要寻要寻找的比例关系或添加的辅助线均类似找的比例关系或添加的辅助线均类似.

5、同时要留意发掘题干中不变的几何特征同时要留意发掘题干中不变的几何特征,根据特征寻方根据特征寻方法法.2.(2021陕西陕西,25,12分分)问题提出问题提出(1)如图如图,在在ABC中中,A=120,AB=AC=5,那么那么ABC的外接圆半径的外接圆半径R的值为的值为 .问题探求问题探求(2)如图如图,O的半径为的半径为13,弦弦AB=24,M是是AB的中点的中点,P是是O上一动点上一动点,求求PM的最大值的最大值.问题处理问题处理(3)如图所示如图所示,AB、AC、是某新区的三条规划路是某新区的三条规划路,其中其中,AB=6 km,AC=3 km,BAC=60,所对的圆心角为所对的圆心角为6

6、0.新区管委会想在新区管委会想在路边建物资总站点路边建物资总站点P,在在AB、AC路边分别建物资分站路边分别建物资分站点点E、F,也就是也就是,分别在分别在、线段、线段AB和和AC上选取点上选取点P、E、F.由于总站任务人员每天都要将物由于总站任务人员每天都要将物资在各物资站点间按资在各物资站点间按PEFP的途径进展运输的途径进展运输,因此因此,要在各物资站点之间规划道路要在各物资站点之间规划道路PE、EF和和FP.为了快捷、环保和节约本钱为了快捷、环保和节约本钱,要使得线段要使得线段PE、EF、FP之和最短之和最短,试求试求PE+EF+FP的最的最小值小值.(各物资站点与所在道路之间的间隔、

7、路宽均忽略不计各物资站点与所在道路之间的间隔、路宽均忽略不计)BCBCBCBC解析解析(1)5.(2分分)详解详解:如图如图,设设O是是ABC的外接圆的圆心的外接圆的圆心,OA=OB=OC,又又AB=AC,AOB AOC,BAO=CAO,BAC=120,BAO=60,ABO是等边三角形是等边三角形,AB=OA=OB=5.即即ABC的外接圆半径的外接圆半径R的值为的值为5.(2)如图如图,衔接衔接MO,并延伸与并延伸与O相交于点相交于点P,衔接衔接OA,OP.M是弦AB的中点,OMAB,AM=AB=12.在RtAOM中,OM=5.(4分)PMOM+OP=OM+OP=MP=18,当点P运动到P时,

8、PM获得最大值,为18.(5分)(3)如图,设P为上恣意一点,分别作点P关于直线AB、AC的对称点P1、P2,衔接P1P2,分别与AB、AC相交于点E、F,衔接PE,PF,1222AOAMBCPEF的周长=P1E+EF+P2F=P1P2,对于点P及分别在AB、AC上的恣意点E、F,有PEF的周长PEF的周长=P1P2.即PEF周长的最小值为P1P2的长.(7分)衔接AP1,AP,AP2,那么AP1=AP=AP2,P1AB=PAB,P2AC=PAC,P1AP2=2BAC=120,P1P2=AP1=AP.(8分)要使P1P2最短,只需AP最短即可.设O为所在圆的圆心,衔接OB、OC、OP、OA,且

9、OA与相交于点P,33BCBC那么AP+POAO.APAP.(9分)衔接BC,易证ACB为直角三角形,且ABC=30,ACB=90,BC=ACtan 60=3 km.BOC=60,OB=OC,BO=BC=3 km,OBC=60,ABO=ABC+OBC=90.在RtABO中,AO=3 km.(11分)AP=(AO-OP)=(3-3)=(3-9)km.P1P2的最小值为AP=(3-9)km.PE+EF+FP的最小值为(3-9)km.(12分)3322ABBO226(3 3)7333732132121思绪分析思绪分析(1)设设O是是ABC的外接圆的圆心的外接圆的圆心,根据全等三角形的断定与性质和圆的

10、半径相等根据全等三角形的断定与性质和圆的半径相等可证可证ABO是等边三角形是等边三角形,所以所以AB=OA=OB=5;(2)当当PMAB时时,PM有最大值有最大值,根据垂径定理可根据垂径定理可得得AM=AB=12,再根据勾股定理求得再根据勾股定理求得OM=5,进而由进而由PMOM+OP=OM+OP=MP=18得解得解;(3)分别以分别以AB、AC所在的直线为对称轴所在的直线为对称轴,作出作出P关于关于AB的对称点为的对称点为P1,关于关于AC的对称点为的对称点为P2,易得易得PEF的周长为的周长为P1P2的长的长,根据根据P1P2=AP,可知要使可知要使P1P2最短最短,只需只需AP最短最短,

11、OA与与交于交于点点P,此时使得线段此时使得线段PE、EF、FP之和最短之和最短,然后先断定然后先断定ABC为直角三角形为直角三角形,求出求出BC的长的长,在在RtABO中由勾股定理求出中由勾股定理求出AO的长的长,进而求出进而求出AP的值的值,最后求得最后求得PE+EF+FP的最小值的最小值.123BC难点分析此题难点在于第难点分析此题难点在于第(3)问如何确定问如何确定P点的位置及何时点的位置及何时PE+EF+FP获得最小值获得最小值.读懂题读懂题目信息也就明确了可以利用轴对称确定最短道路问题目信息也就明确了可以利用轴对称确定最短道路问题,同时结合圆半径和线段同时结合圆半径和线段OA的长度

12、求出的长度求出AP的最小值的最小值.3.(2021四川成都四川成都,27,10分分)问题背景问题背景:如图如图1,等腰等腰ABC中中,AB=AC,BAC=120,作作ADBC于点于点D,那么那么D为为BC的中点的中点,BAD=BAC=60,于是于是=;图图1迁移运用迁移运用:如图如图2,ABC和和ADE都是等腰三角形都是等腰三角形,BAC=DAE=120,D,E,C三点在同一条直三点在同一条直线上线上,衔接衔接BD.12BCAB2BDAB3图2求证:ADB AEC;请直接写出线段AD,BD,CD之间的等量关系式;拓展延伸:如图3,在菱形ABCD中,ABC=120,在ABC内作射线BM,作点C关

13、于BM的对称点E,衔接AE并延伸交BM于点F,衔接CE,CF.图3证明:CEF是等边三角形;假设AE=5,CE=2,求BF的长.解析迁移运用解析迁移运用证明证明:ABC和和ADE都是等腰三角形都是等腰三角形,AD=AE,AB=AC,又又DAE=BAC=120,DAE-BAE=BAC-BAE,即即DAB=EAC.ADB AEC(SAS).DC=AD+BD.详解详解:由问题背景可知由问题背景可知,在在ADE中中,有有DE=AD,由可知由可知,BD=EC,DC=DE+EC=AD+BD.拓展延伸拓展延伸证明证明:如下图如下图,衔接衔接BE.333C,E关于BM对称,BE=BC,FE=FC,EBF=CB

14、F,EFB=CFB,四边形ABCD是菱形,且ABC=120,AB=BC=BE.过B作BGAE,那么AG=GE,ABG=GBE,GBF=GBE+EBF=ABC=120=60.CFB=EFB=30,即EFC=60.CEF为等边三角形.AE=5,GE=GA=,121252EF=CE=2,GF=GE+EF=,在RtGBF中,GFB=30,BF=3.92cosGFGFB922 333思绪分析迁移运用思绪分析迁移运用:根据根据SAS证全等证全等.由问题背景可知由问题背景可知,DE=AD,由可得由可得,EC=BD,DC=DE+EC=AD+BD.拓展延伸拓展延伸:要证明要证明CEF为等边三角形为等边三角形,根

15、据对称性可知根据对称性可知,FE=FC,EFB=CFB,那么我们只那么我们只需证明需证明EFB=30即可即可.在的根底上在的根底上,易得易得GE=AE=,EF=2,那么那么GF=GE+EF=.在在RtGBF中中,BF=3.33125292cos30GF34.(2021江西江西,23,12分分)我们定义我们定义:如图如图1,在在ABC中中,把把AB绕点绕点A顺时针旋转顺时针旋转(0180)得到得到AB,把把AC绕点绕点A逆时针旋转逆时针旋转得到得到AC,衔接衔接BC.当当+=180时时,我们称我们称ABC是是ABC的的“旋旋补三角形补三角形,ABC边边BC上的中线上的中线AD叫做叫做ABC的的“

16、旋补中线旋补中线,点点A叫做叫做“旋补中心旋补中心.特例感知特例感知(1)在图在图2,图图3中中,ABC是是ABC的的“旋补三角形旋补三角形,AD是是ABC的的“旋补中线旋补中线.如图如图2,当当ABC为等边三角形时为等边三角形时,AD与与BC的数量关系为的数量关系为AD= BC;如图如图3,当当BAC=90,BC=8时时,那么那么AD长为长为 .猜测论证猜测论证(2)在图在图1中中,当当ABC为恣意三角形时为恣意三角形时,猜测猜测AD与与BC的数量关系的数量关系,并给予证明并给予证明.拓展运用(3)如图4,在四边形ABCD中,C=90,D=150,BC=12,CD=2,DA=6.在四边形内部

17、能否存在点P,使PDC是PAB的“旋补三角形?假设存在,给予证明,并求PAB的“旋补中线长;假设不存在,阐明理由.图43解析解析(1).(1分分)4.(3分分)(2)猜测猜测:AD=BC.(4分分)证明证明:证法一证法一:如图如图,延伸延伸AD至至E,使使DE=AD,衔接衔接BE,CE.AD是是ABC的的“旋补中线旋补中线,BD=CD,四边形四边形ABEC是平行四边形是平行四边形,ECBA,EC=BA,ACE+BAC=180.由定义可知由定义可知BAC+BAC=180,BA=BA,AC=AC,1212ACE=BAC,EC=BA.ACE CAB.AE=CB.(6分)AD=AE,AD=BC.(7分

18、)证法二:如图,延伸BA至F,使AF=BA,衔接CF.BAC+CAF=180.由定义可知BAC+BAC=180,BA=BA,AC=AC,CAB=CAF,AB=AF,ABC AFC,BC=FC.(6分)1212BD=CD,BA=AF,AD是BFC的中位线,AD=FC,AD=BC.(7分)证法三:如图,将ABC绕点A顺时针旋转CAC的度数,得到AEC,此时AC与AC重合,设D的对应点为D,衔接AD.由定义可知BAC+BAC=180,由旋转得BAC=EAC,BAC+EAC=180,E,A,B三点在同不断线上.(6分)1212AB=AB=AE,ED=DC,AD是EBC的中位线,AD=BC,AD=BC.

19、(7分)(注:其他证法参照给分)(3)存在.(8分)如图,以AD为边在四边形ABCD的内部作等边PAD,衔接PB,PC,延伸BP交AD于点F,那么有ADP=APD=60,PA=PD=AD=6.1212CDA=150,CDP=90.过点P作PEBC于点E,易知四边形PDCE为矩形,CE=PD=6,tan1=,1=30,2=60.(9分)PEBC,且易知BE=EC,PC=PB,3=2=60,APD+BPC=60+120=180.又PA=PD,PB=PC,PDC是PAB的“旋补三角形.(10分)3=60,DPE=90,DPF=30.ADP=60,BFAD,AF=AD=3,PF=AD=3.CDPD2

20、363312323在RtPBE中,PB=4.BF=PB+PF=7.在RtABF中,AB=2.(11分)PDC是PAB的“旋补三角形,由(2)知,PAB的“旋补中线长为AB=.(12分)求解“旋补中线补充解法如下:如图,分别延伸AD,BC相交于点G,ADC=150,BCD=90,22PEBE22CDBE22(2 3)63322BFAF22(7 3)3391239GDC=30,GCD=90.在RtGDC中,GD=2=4.GC=GD=2,GA=6+4=10,GB=2+12=14.过A作AHGB交GB于点H,在RtGAH中,AH=GAsin 60=10=5,GH=AG=5.HB=GB-GH=14-5=

21、9,在RtABH中,AB=2.(10分)PDC是PAB的“旋补三角形,由(2)知,PAB的“旋补中线长为AB=.(12分)(注:其他解法参照给分)cos30CD332123231222AHBH22(5 3)93912395.(2021四川达州四川达州,24,10分分)某数学兴趣小组在数学课外活动中某数学兴趣小组在数学课外活动中,研讨三角形和正方形的性质时研讨三角形和正方形的性质时,做了如下探求做了如下探求:在在ABC中中,BAC=90,AB=AC,点点D为直线为直线BC上一动点上一动点(点点D不与不与B,C重合重合),以以AD为边在为边在AD右侧作正方形右侧作正方形ADEF,衔接衔接CF.(1

22、)察看猜测察看猜测如图如图,当点当点D在线段在线段BC上时上时,BC与与CF的位置关系为的位置关系为 .BC,CD,CF之间的数量关系为之间的数量关系为 (将结论直接写在横线上将结论直接写在横线上);(2)数学思索数学思索如图如图,当点当点D在线段在线段CB的延伸线上时的延伸线上时,结论能否依然成立结论能否依然成立?假设成立假设成立,请给予证明请给予证明;假设不成立假设不成立,请他写出正确结论再给予证明请他写出正确结论再给予证明;(3)拓展延伸拓展延伸如图如图,当点当点D在线段在线段BC的延伸线上时的延伸线上时,延伸延伸BA交交CF于点于点G,衔接衔接GE.假设假设AB=2,CD=BC,恳求恳

23、求出出GE的长的长.214解析解析(1)BCCF.BC=CD+CF.(2)结论依然成立结论依然成立,不成立不成立.证明证明:BAC=DAF=90,BAD=CAF.又又AB=AC,AD=AF,ABD ACF.ACF=ABD=180-45=.ACB=45,BCF=90,即即BCCF.结论为结论为BC=CD-CF.证明证明:ABD ACF,BD=CF.BC=CD-BD,BC=CD-CF.(3)过点E作EMCF于点M,作ENBD于点N,过点A作AHBD于点H,如图,AB=AC=2,BC=4,AH=BC=2.CD=BC,CD=1.BAC=DAF=90,BAD=CAF.又AB=AC,AD=AF,ABD A

24、CF.ACF=ABC=45.ACB=45,21214BCF=90.ABC=AGC=45.BC=CG=4.ADE=90,ADH+EDN=EDN+DEN=90.ADH=DEN.又AHC=DNE,AD=DE,AHD DNE.DN=AH=2,EN=DH=3.CM=EN=3,ME=CN=3,那么GM=CG-CM=4-3=1.EG=.22EMGM106.(2021湖北随州湖北随州,24,10分分)问题问题:如图如图(1),点点E、F分别在正方形分别在正方形ABCD的边的边BC、CD上上,EAF=45,试判别试判别BE、EF、FD之间的数量关系之间的数量关系.【发现证明】【发现证明】小聪把小聪把ABE绕点绕

25、点A逆时针旋转逆时针旋转90至至ADG,从而发现从而发现EF=BE+FD,请他利用图请他利用图(1)证明上述结证明上述结论论;【类比引申】【类比引申】如图如图(2),四边形四边形ABCD中中,BAD90,AB=AD,B+D=180,点点E、F分别在边分别在边BC、CD上上,那么那么当当EAF与与BAD满足满足 关系时关系时,仍有仍有EF=BE+FD;【探求运用】【探求运用】如图如图(3),在某公园的同一程度面上在某公园的同一程度面上,四条道路围成四边形四条道路围成四边形ABCD.知知AB=AD=80米米,B=60,ADC=120,BAD=150,道路道路BC、CD上分别有景点上分别有景点E、F

26、,且且AEAD,DF=40(-1)米米,现要现要在在E、F之间修一条笔直道路之间修一条笔直道路,求这条道路求这条道路EF的长的长(结果取整数结果取整数,参考数据参考数据:=1.41,=1.73).323解析发现证明解析发现证明:将将ABE绕点绕点A逆时针方向旋转逆时针方向旋转90至至ADG,ABE ADG,BAE=DAG,B=ADG,AE=AG,BE=DG,EAF=45,BAE+FAD=45,FAG=45,在正方形在正方形ABCD中中,B=ADC=90,ADG+ADF=180,即点即点G、D、F在一条直线上在一条直线上,在在EAF和和GAF中中,EAF GAF,EF=GF,又又GF=DG+DF

27、=BE+DF,EF=BE+FD.类比引申类比引申:EAF=BAD,理由如下理由如下:如图如图,将将ABE绕点绕点A逆时针方向旋转至逆时针方向旋转至ADG,使使AB与与AD重合重合,45 ,AEAGEAFGAFAFAF 12ABE ADG,BAE=DAG,B=ADG,AE=AG,BE=DG,在四边形ABCD中,B+ADF=180,ADG+ADF=180,即点G、D、F在一条直线上,在EAF和GAF中,EAF GAF,EF=GF,又GF=DG+DF=BE+DF,EF=BE+FD.探求运用:衔接AF,延伸BA、CD交于点O,1,2,AGAEEAFGAFBADAFAF 在RtAOD中,易得ODA=60

28、,OAD=30,又AD=80米,AO=40米,OD=40米,OF=OD+DF=40+40(-1)=40米,AO=OF,OAF=45,DAF=45-30=15,EAF=90-15=75,EAF=BAD.由类比引申的结论可得EF=BE+DF=40(+1)=109米.3331237.(2021江苏镇江江苏镇江,28,10分分)我们知道平行四边形有很多性质我们知道平行四边形有很多性质.如今假设我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折如今假设我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折,会发现这其中还有更多的结论会发现这其中还有更多的结论. 【发现与证明】【发现与证明】 ABCD中中,ABBC,将将ABC沿沿A

29、C翻折至翻折至ABC,衔接衔接BD.结论结论1:BDAC;结论结论2:ABC与与 ABCD重叠部分的图形是等腰三角形重叠部分的图形是等腰三角形.请利用图请利用图1证明结论证明结论1或结论或结论2(只需证明一个结论只需证明一个结论).【运用与探求】【运用与探求】在在 ABCD中中,知知B=30,将将ABC沿沿AC翻折至翻折至ABC,衔接衔接BD.(1)如图如图1,假设假设AB=,ABD=75,那么那么ACB= ,BC= ;(2)如图如图2,AB=2,BC=1,AB与边与边CD相交于点相交于点E,求求AEC的面积的面积;(3)知知AB=2,当当BC长为多少时长为多少时,ABD是直角三角形是直角三角

30、形?333解析【发现与证明】解析【发现与证明】证明证明:如图如图1,设设AD与与BC相交于点相交于点F,ABC沿直线沿直线AC翻折至翻折至ABC,ABC ABC,ACB=ACB,BC=BC,四边形四边形ABCD为平行四边形为平行四边形,AD=BC,ADBC,图图1BC=AD,ACB=CAD,ACB=CAD=,AF=CF,(1分)BF=DF,CBD=BDA=.AFC=BFD,ACB=CBD,BDAC.(2分)【运用与探求】(1)45;(3分)+.(4分)(2)过点C分别作CGAB,CHAB,垂足分别为G、H,CG=CH.在RtBCG中,BGC=90,BC=1,B=30,1802AFC1802B

31、FD3232CG=,BG=.CH=CG=.AB=2,AG=,由AGC AHC,得AH=AG=.设AE=x,那么CE=x,由CE2=CH2+HE2,得x2=+,解得x=,那么AE=.(5分)ACE的面积=AECH=.(6分)123212332332321223 32x7 397 39127 336按ABD中的直角分类:当BAD=90时,如图3,ACB=30,BC=6;如图4,BAC=30,BC=2;当ABD=90时,如图5,ACB=60,BC=4;当ADB=90时,如图6,ACB=90,BC=3.综上,BC的长为6,2,4或3.(10分 图3图4图5图68.(2021浙江湖州浙江湖州,24,10

32、分分)数学活动课上数学活动课上,某学习小组对有一内角为某学习小组对有一内角为120的平行四边形的平行四边形ABCD(BAD=120)进展探求进展探求:将一块含将一块含60角的直角三角板如图放置在平行四边形角的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面所在平面内旋转内旋转,且且60角的顶点一直与点角的顶点一直与点C重合重合,较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB,AD于点于点E,F(不包括线段的端点不包括线段的端点).(1)初步尝试初步尝试如图如图1,假设假设AD=AB,求证求证:BCE ACF,AE+AF=AC;(2)类比发现类比发现如图如图2,假设假设AD=2AB,过点过点C作作CHAD于点于点H,求证求证:AE=2FH;(3)深化探求深化探求如图如图3,假设假设AD=3AB,深究得深究得:的值为常数的值为常数t,那么那么t= .3AEAFAC解析解析(1)证