初三中考复习二次函数最值问题

1、二次函数之最值问题基本解题步骤:1 .审题.读懂问题，分析问题各个量之间的关系；2 .列数学表达式.用数学方法表示它们之间的关系，即写出变量与常量之间的二次函数关系式；23 .求值.利用二次函数关系式的顶点坐标公式,4ac b或配方法求得最值；2a 4a配方法：将二次函数 y ax2 bx c转化为y a（x h）2 k的形式，顶点坐标为h,k ,对称轴为x h.当a 。时，y有最小值，即当x h时，y最小值=k ;当a 。时，y有最大值，即当x h时，y最大值二k .4 .检验.检验结果的合理性.（函数求最值需考虑实际问题的自变量的取值范围）解题策略 实际问题转化 数学问题解 检验 问题答案

2、关键在如何将实际问题转化为数学问题利润最值问题：此类问题一般先是运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=每件商品的利润销售数量”建立利润与价格之间的函数关系式，再求出这个函数关系式的顶点坐标，顶点的纵坐标即为最大利润.特殊地，这里要考虑实际问题中自变量的取值范围，数形结合求最值.例1例2线段和或差（或三角形周长）最值问题：此类问题一般是利用轴对称的性质和 两点之间线段最短确定最短距离，这个距离一般用勾股定理或两点之间距离公 式求解.特殊地，也可以利用平移和轴对称的知识求解固定线段长问题.最短距离和找法：以动点所在的直线为对称轴，作一个已知点的对称点，连结 另一个已知点和对称点的线段，与对称轴

3、交一点，这一点即为所求点.线段 长即为最短距离和.口诀：“大”同“小”异求最值.“大”同：求差的最大值，把点移动到直线的同侧.“小”异：求和的最小值，把点移动到直线的两侧.（几何最值较多）例3例4例5线段长最值问题：根据两点间距离公式|xi xz|把线段长用二次函数关系式表示 出来求最值.几何面积最值问题：此类问题一般是先运用三角形相似，对应线段成比例等性质或者用“割补法”或者利用平行线得到三角形同底等高进行面积转化写出图形的面积y与边长x之间的二次函数关系，其顶点的纵坐标即为面积最值.例6例7例8动点产生的最值问题：数形结合求解，把路程和转化成时间和，当三点共线时 有取值.例9例10利润最值

4、问题例1、一玩具厂去年生产某种玩具，成本为 10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件.今年计划通过适当增加成本来提高产品的档次，以拓展市场.若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今后年销售量将比去年年销售量增加x倍(本题中0 x 1).(1)用含x的代数式表示：今年生产的这种玩具每件的成本为 元，今年生产的这种玩具每件的出 厂价为 元.(2)求今年这种玩具每件的利润 y元与x之间的函数关系式；(3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润=

5、(每件玩具的出厂价一每件玩具的成本)x年销售量.解：(1) 10+7x ; 12+6x ;(2) y= (12+6x ) - (10+7x ), y=2 -x ( 0< x< 11);(3) w=2 ( 1+x) ?y=2 ( 1+x ) ( 2-x )=-2x 2+2x+4 , w=-2 ( x-0.5 ) 2+4.5. , -2 < 0 , 0Vx< 11, w有最大值，当x=0.5 时，w最大=4.5 (万元).答：当x为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元.例2、新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业

6、，建成了太阳能光伏电池生产线.由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）.公司累积获得的利润y （万元）与销售时间第 x （月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如下图所示的图象上.该图象从左至右，依次是线段OA曲线AB和曲线BC,其中曲线AB为抛物线的一部分，点 A为该抛物线的顶点，曲线 BC为另一抛物线y 5x2 205x 1230的一部分，且 点A, B, C的横坐标分别为 4, 10, 12.（1）求该公司累积获得的利润 y （万元）

7、与时间第 x （月）之间的函数关系式；（2）直接写出第x个月所获得S （万元）与时间x （月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？解：(1)设直线OA的解析式为y=kx , 点 0(0, 0), A (4, -40)在该直线上，. -40=4k ,解得k=-10 ,y=-10x ；二点 B 在抛物线 y=-5x 2+205x-1230 上，设 B (10, m),则 m=320 . 点B的坐标为( 10, 320 ).二点A为抛物线的顶点， 设曲线AB所在的抛物线的解析式为y=a ( x-4 ) 2 -40 ,320=

8、a ( 10-4 ) 2-40 ,解得a=10 ,即 y=10 (x-4 ) 2-40=10x 2-80x+120 .-y=<IOl-= 5、6、7 x 0、9) ?-5h二+2D5l123O(h= 10、11> 12)（2）利用第x个月的利润应该是前x个月的利润之和减去前x-1个月的利润之和：T0.l-10CtT)(工二 1、2、3、4)5=J 10.T 2 -80x-L20-10C-r-l I2 -S0(x-1)-1?0(jc = 5 .鼠 7、&、9)-5x 2 -i-2O5r-123O-(-5(x-l)2-h2O5(,T-l)-123O)(x-lO. 11、12)

9、f-10gL 23 3. 4)即£=* 20父一90(父二三：6： 7r 9)；、TQH(x=10? 11； 12)(3)由(2)知当x=1 , 2, 3, 4时，s的值均为-10 ,当 x=5 , 6, 7, 8, 9 时，s=20x-90 ,即当x=9时s有最大值90,而在 x=10 , 11, 12 时，s=-10x+210 ,当x=10时，s有最大值110 ,因此第10月公司所获利润最大，它是110万元.试试：1、某水果批发商销售每箱进价为40元的的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现,若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少

10、销售 3箱.（1）求平均每天销售量 y （箱）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式.（2）求该批发商平均每天销售利润w （元）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式.（3）当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)设 y=kx+b ,把已知（ 45, 105）, （ 50, 90）代入得，解得;际二一3故平均每天销售量y （箱）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式为：y=-3x+240 ;(2) 水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，销售价x元/箱，.该批发商平均每天的销售利润w (元)与销售价x (元/箱)之间的函数关系式为：W= (x-40 ) (-3x+

11、240 ) =-3x n_ X C 60-6(1) +41 =SC (万人)所以x=50时，P值最大，即这两年的获利最大为后三年：设每年获利y,设当地投资额为a,则外地投资额为100-a ,99o 29499 弓 294Q=-10 0- <10 Q-a ) 100- C 1 0 (J- a ) +1 50-a4-l 60 '1005100515W 2949 <a-60) 2+41 4-a2+160=-a2+60a+l 65- (a-30> 2 + 1 065100100 口当a=30时，y最大且为1065 ,这三年的获利最大为1065X3=3195 ( 万元)，.5年

12、所获利润(扣除修路后)的最大值是：80+3195- 50X2=3175 (万元).+360x-9600 .1( 3) W=-3x2+360x-9600=-3( x-60 ) 2 + 1200 , a=-3 < 0 ,:抛物线开口向下.又对称轴为x=60 , .,当x < 60 , W随x的增大而增大，由于50< x< 55, 当x=55时，W的最大值为1125元.当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润，为1125元.2、我市 某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售.当地政府对该特产的销售投资收益为：每12投入x万兀，可狄得利润 P 一 x 6041 (万

13、兀).当地政府拟在“十二五”规划中加快开发该特100产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售.在外地销售的投资收益为：每投入x万元，992 294可狄利润 Q 100 x 100 x 160 (万兀). 1005(1)若不进行开发，求 5年所获利润的最大值是多少？(2)若按规划实施，求 5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少？(3)根据(1), (2),该方案是否具有实施价值？解：(1) ,

14、每投入x万元，可获得利润100当x=60时，所获利润最大，最大值为41万元，若不进行开发，5年所获利润的最大值是：41X5=205 (万元)；(2)前两年：0< x< 50,此时因为P随x的增大而增大，抛物线的对称轴上有P解得对称轴H二H美于.对称油对称连接BD与时称轮的交点即为斯尿F点过口作DF _L工牯于F(1)求抛物线的解析式如图，正方形ABC曲边长为B 1,0线段和(或三角形周长)最值问题代人尸父+匕宣+(7PA PD的最小值.c的图象过点A 3,0横坐标是 24,点P在DCfe上且DP=1,点Q是AC上一动点，则DQ+PQJ最小值为PA=PB， pa+pd=bd=iJ7.

15、 故PA+PD聃最小信为解： m :直线六一叱工一与玄轴、/轮分别交于 3例2、如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线y 虫x 2分别交x轴、y轴于C、A两点.将射线 AM晓着 3点A顺时针旋转45°得到射线 AN.点D为AM上的动点，点B为AN上的动点，点 C在/ MAN勺内部.(1)求线段AC的长；(2)当AM/ x轴，且四边形 ABCM梯形时，求 BCD的面积；(3)求 BCW长的最小值；(4)当 BCD勺周长取得最小值，且 BD 还时， BCD的面积为3,“二4 (2)当AD#BC时，依题意，可知ND前=45”ZAB0-45c .QB=0A=2 d，BC-21T-2 .当AH

16、犷DC时，RJSASCD=SAACD 设射线AN交k轴于点E，v ADxte j'*四边电AECD为平行四边超.''*SAAEC=SAACD'M 日GD=S昌EG=/E3=2p-2 -（3）作点C关于射线AM的对称点J，点C关于射线AN的对称点C2.由轴对称的性质，可知CD=QD，CB=C2B.CB+BD+CDX2B+BD+C1D=C1C2连接AC1、AC2，可得 HAD=NCAD，ZC2AB=ZCAB，ACi=AC2=AC=4 . NDAB=45°， ZCiAC2=90° .连接CK2. 两点之间线段最短， 当B、D两点与C、C2在同一条直

17、线上时，ABCD的周长最小，最小值为线段1：伍2的长. ECD的周长的最小值为4.（4）根据（3）的作图可知四边形AMCN的对角互补，其中NDAB = 45°，因此，ZC2C C1=135 V ZB CC2 + DCC1+ZBCD=135，ZBC2C+ZDCC+ZBCC2+-DCC1 + ZBCD= 1 80 °，NBC2c=4CC2,NDCJ = NDCQ ZBCD=90° *.CB2+CD2=BD2=（生）26 "B+CD = 4p-d，Y 62CB*CD= （13 2-（生）2：.CB，CD = "663114:s=5cbcd = =.2

18、 3HKOA例3、已知，如图，二次函数 y ax2 2ax 3a a 0图像的顶点为 H,与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H, B关于直线l : y £ x J3对称.3证明；,亘线1； 3 =-口，当工二-3时， = £4-3）-=0，二点2在直线1上，（2）,点H、曝于过丧点由直线对称，（2）求二次函数解析式;（3）过点B作直线BK/ AH交直线l于K点，M N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接 HN NMMK求HN NM MK和的最小值.(1)求 AB两点坐标，并证明点A在直线l上;解； I ）蕉题意 ' 得二口（ a户口），两边都除以为得:即产

19、+2%-3二。1解得* 1 = - 3 * 32= 1，二 E点在上点右随，二A点坐标为（-3 - 0），B点坐标为1，。），答：两点坐标分别是"3, 0）（1，0）-,二 AH=AE=4，过顶点H作HC1AE交出于。点，-顶点对 一 1 r 2 JJ） »代入二次函数解析式，解伺出二一更，二二次函数解析式为 二 -W犬2 一声芈 上X普工二次图数紫析式刀丁二一,工2一呼一¥, XXBx<3)直线AH的解析式为=亚-33即K(3 , 2同则BK二q，B关于直线AK对称，K (3，23)，HIHMN的最小值是MB,过K作KDJLx轴于D，作点K关于直线AH的对

20、称点Q，连接QK，交直线由H于E，则QM=MK，0E=EK=2?，AEJLQK，e根据两点之间线段最短得出EM十MK的最小值是BQ，即B Q的长是HN十NM十MK的最小值,VBK / AH，/- ZBKQ=ZHEQ = 90°，由勾殷定理得QB=厨二最" #_(2后22=二HN十NM十MK的最小值为8，试试：1、已知抛物线y ax2 bx 1经过点A 1,3和点B 2,1 .(1)求此抛物线解析式；(2)点C D分别是x轴和y轴上的动点，求四边形 ABCW长的最小值；(3)过点B作x轴的垂线，垂足为 E点.点P从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达 F点，再沿 FE到达

21、E点，若P点在对称轴上的运动速度是它在直线 FE上运动速度的 双倍，试确定点F的位置，使得 点P按照上述要求到达 E点所用的时间最短.(要求：简述确定 F点位置的方法，但不要求证明)y A3 -9 b图像上的两2,则求SoAB二次函数中字母替换k4例1、如图，已知 A (a, m)、B (2a, n)是反比例函数 y (k 0)与一次函数y xx3个不同的交点，分别过A、B两点作x轴的垂线，垂足分别为C、D。连结OA OB若已知1 a的取值范围。(1)过点A做AM x轴，垂足为 M，连接BM，若AM BM ,求点B的坐标(2)若点P在线段AB上，过点P做PE x轴，垂直为E,并交双曲线y k2

22、- k2 0于点N,当 里 取 xNE1 最大值时，有PN ,求此时双曲线的解析式。2解：41 )加图，也作轴,二Xc=即，火点坐标为(1, 3d)，kc例2、已知点A(1,c)和点B(3,d)是直线y kix b和双曲线y k2 x0的交点, G和点E3, d)都在双曲线i = & <k2>0) ±： JC而AM二BK，5HU，'.HT = 2，BH4,'点坐标为(3g）如国，把B ”，d）代入产但功二34,果反比例画软的解析式为片工，把 R（1，3d）、吕（3，d）代入了二 kix+b 得，.，解得 3kl -fr a机db = 4d,二官:线

23、AB的解析式为产-dxMd，3d设F f t，- dt +4 d），则II （t ?）； a,"' PN- " dt +4 d p NE= ，3d n -did* pyt 1 = =XE 至 3PX取最大值时，1=2»+ r,，*3d 1-2 d+4 d-=2 2-d=l，;反比例函数的解析式为9二.作业：1、（2010眉山市26, 12分）如图，RtABO的两直角边 OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O2 c5为坐标原点，A、B两点的坐标分别为3,0、0,4 ,抛物线y 2x2 bx c经过B点，且顶点在直线x -32上.（1）求抛物线对应的

24、函数关系式；（2）若 DCE是由ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点 C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点 M作MN平行于y轴交CD于点N.设点M 的横坐标为t, MN的长度为L求l与t之间的函数关系式，并求 l取最大值时，点 M的坐标.解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为25 2y - (x -) m (1 分)322 (31692 m3分)，所求函数关系式为:(2)在 RtA ABC, O盒3,25 2y -(x -)32OB=4,10 x 43(4分)AB OA2-OB2.四边形ABCD1菱