初一几何难题练习题集(含答案解析)

1、1、证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。 很多其它 问题最后都可化归为此类问题来证。 证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角 形的性质， 其它如线段中垂线的性质、 角平分线的性质、 等腰三角形的判定与性质等也经常 用到。例 1. 已知：如图 1 所示， ABC 中， C 90 ，AC BC， AD DB，AE CF 。 求证： DE DFAEC F B图1分析： 由 ABC 是等腰直角三角形可知， A B 45 ，由 D 是 AB 中点，可考虑连结 CD，易得 CDAD，DCF45 。从而不难发现 DCFDAE证明： 连结 CDA

2、C BCABACB 90，ADDBCD BDAD，DCBBAAE CF，ADCB，ADCDADE CDFDE DF说明： 在直角三角形中， 作斜边上的中线是常用的辅助线； 在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为 CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED 到 G，使 DGDE，连结BG，证 EFG 是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。例 2. 已知：如图 2 所示， AB CD， ADBC，AECF。 求证： E FEADBCF图2证明： 连结 AC在 ABC 和 CDA 中，AB CD ，BC AD，A

3、C CAABC CDA (SSS)BDAB CD ，AE CFBE DF在 BCE 和 DAF 中，BE DFBDBC DABCE DAF (SAS)EF说明： 利用三角形全等证明线段求角相等。 常须添辅助线， 制造全等三角形，这时应注意：(1)制造的全等三角形应分别包括求证中一量；2、证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，内错角或同旁内角的关系来证，线垂直，可转化为证一个角等于(2)添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。平行与垂直是两种特殊的位置。 证两直线平行， 可用同位角、也可通过边对应成比例、 三角形中位线定理证明。 证两条直90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线

4、合一”来证。BP、CQ的垂例 3. 如图 3 所示，设 BP、CQ是 ABC 的内角平分线， AH、AK分别为 A 到 线。求证： KH BCB M N C 图3分析： 由已知， BH平分 ABC，又 BH AH，延长 AH交 BC于 N，则 BA BN， 理，延长 AK交 BC于 M，则 CACM，AK KM。从而由三角形的中位线定理，知AHHN。同KHBC。证明： 延长 AH交 BC 于 N，延长 AK交 BC于 M BH平分 ABCABH NBH又 BH AH AHB NHB 90BH BHABH NBH (ASA)BA BN， AH HN同理， CA CM，AKKMKH 是 AMN 的

5、中位线KH / /MN即 KH已知：如图 4 所示， AB AC， A 90 ，AE BF，BD DC 。求证： FD EDAEF3231CD 图4证明一：连结ADABAC，BDDC1290， DAE BAC 90 ，BD DCBDADBDABDAE在 ADE 和BDF中，AEBF，BDAEADEBDF313290FDED DABAD BD说明： 有等腰三角形条件时，作底边上的高， 或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。证明二： 如图 5 所示，延长 ED到 M，使 DM ED，连结 FE，BMCM图5BD DCBDMCDE，DM DEBDM CDECE BM， C CBMBM /ACA

6、 90ABM 90 AAB AC，BF AEAF CE BMAEF BFMFE FMDM DEFD ED说明： 证明两直线垂直的方法如下：（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。3）证明二直线的夹角等于 90°。3、证明一线段和的问题（一） 在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。 （截 长法）例 5. 已知：如图 6 所示在 ABC 中， B 60 ， BAC、 BCA的角平分线 AD、 CE相 交于 O。求证： AC AECDEO14523图62 。由 B 60

7、，知分析： 在 AC上截取 AF AE。易知 AEO AFO ，5 6 60 ， 1 60 ， 2 3 120 。 1 2 3 4 60 ， 得 ：FOC DOC， FC DC证明： 在 AC上截取 AF AEBADAEOCAD， AO AOAFO SAS42又B605660160231201234 60FOCDOC(AAS)FCDC即 ACAECD（二） 延长一较短线段， 使延长部分等于另一较短线段， 则两较短线段成为一条线段， 证明 该线段等于较长线段。（补短法）例 6. 已知：如图 7所示，正方形 ABCD中， F在 DC上， E在 BC上， EAF 45 。求证：EF BEDF图7分析

8、：此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至 G，使 BG DF。证明： 延长 CB至 G，使 BGDF在正方形 ABCD中， ABG D 90 ，AB ADABG ADF (SAS) AG AF ， 1 3又 EAF 452 3 452 1 45 即 GAE FAEGE EFEF BE DF4、中考题：如图 8 所示，已知ABC为等边三角形，延长 BC到 D，延长 BA到 E，并且使 AEBD， 连结 CE、 DE。求证： EC EDE证明：AC/ /FDDF ABCAEFDBFEACEFDBFD1BAAFEFEACDFE ( SAS)EC EDBCD图82， AB

9、 AC12AEAB，1，ADADADEADBBD DCE图9ADE ADB BD DE1234DC图10BFDDCEDCEDEDCBDDCADF ADCBFDABC 中，C 90 ， D是 AB 上一点，求证： DE11 CD22. 已知：如图 12 所示，在 ABC 中，求证： BC ACAD4，DFBD DFBD DCDC3，已 知：如图11 所 示，DECD于D，交 BC 于 E，且有 ACD 图11A 2 B ， CD是 C 的平分线。AD CE 。ABC图123. 已知：如图 13 所示，过 ABC 的顶点 A，在 A 内任引一射线，过B、C作此射线的垂线 BP和 CQ。设 M为 B

10、C的中点。求证： MP MQ图1314. ABC 中，BAC 90 ， AD BC 于 D，求证： AD AB AC BC4试题答案】1. 证明： 取 CD的中点 F，连结 AFC41A D BAC ADAF CDAFC CDE 90又 1 4 90 ， 1 3 9043AC CEACF CED ( ASA)CF ED1DE CD22. 分析： 本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一 条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。 “截长”即将长的线段截 成两部分， 证明这两部分分别和两条短线段相等； “补短”即将一条短线段延长出另一条短 线段之长，证明其和等于长的线段。证明： 延长 CA至 E，使 CE CB，连结 ED在 CBD