基本不等式及应用

1、 基本不等式及应用考纲要求考情分析1.了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题3了解证明不等式的基本方法综合法 通过对近三年高考试题的统计和分析可以发现，本节主要考查利用基本不等式求函数的最值若单纯考查基本不等式，一般难度不大，通常出现在选择题和填空题中，如2011年上海卷；若考查基本不等式的变形，即通过对代数式进行拆添项或配凑因式，构造出基本不等式的形式再进行求解，难度就会提升，如2011年浙江卷对基本不等式的考查，若以解答题的形式出现时，往往是作为工具使用，用来证明不等式或解决实际问题.知识梳理1基本不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件a>0，b&

2、gt;0ab2.常用的几个重要不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)ab()2(a，bR)(3)()2(a，bR)(4)2(a，b同号且不为零)上述四个不等式等号成立的条件都是ab.3算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值设x，y都是正数(1)如果积xy是定值P，那么当xy时和xy有最小值2.(2)如果和xy是定值S，那么当xy时积xy有最大值S2.问题探究：当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？提示：若最值取不到可考虑函数的单调性自主检

3、测1已知两个正数a，b的等差中项为4，则a，b的等比中项的最大值为()A2B4C8D16答案：B解析：4，故选B.2(2011年上海高考)若a，bR，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b2>2abBab2C. D.2解析：ab>0，a与b同正或同负，B，C不正确对任意a，bR，a2b22ab，选项A不正确>0，>0，2当且仅当ba时取等号，D正确答案：D3若x2y4，则2x4y的最小值是()A4B8C2D4解析：2x4y2·2·2·8，当且仅当2x22y，即x2y2时取等号，2x4y的最小值为8.答案：B4 当x>

4、1时，求函数f(x)x的最小值_解析：x>1，x1>0，x(x1)1213.答案：35(2010年山东卷)已知x，y>0，且满足1，则xy的最大值为_解析：x>0，y>0且12，xy3.当且仅当时取等号答案：36某公司一年购买某种货物 400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_.答案：20解析：每年购买次数为.总费用·44x2160，当且仅当4x，即x20时等号成立，故x20.考点1利用基本不等式证明不等式1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的

5、不等式入手，借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果”2证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立同时也要注意应用基本不等式的变形形式例1 (1)已知a>0，b>0，ab1，求证：4.(2)证明：a4b4c4d44abcd.【分析】(1)利用ab1将要证不等式中的1代换，即可得证(2)利用a2b22ab两两结合即可求证但需两次利用不等式，注意等号成立的条件【证明】(1)a>0，b>0，ab1，2224(当且仅当ab时等号成立)4.原不等式成立(2)a4b4c4d42a2b22c2d22(a2b2c

6、2d2)2·2abcd4abcd.故原不等式得证，等号成立的条件是a2b2且c2d2且abcd.课堂过手练习：已知a、b、c为正实数，且abc1，求证：(1)(1)(1)8.证明：a、b、c均为正实数，且abc1，(1)(1)(1)8.当且仅当abc时取等号考点2利用基本不等式求最值1.创设应用基本不等式的条件(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅

7、是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法2基本不等式的几种变形公式对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种常见的变形形式及公式的逆运用等如： (a>0，b>0)例2 (1)设0<x<2，求函数y的最大值(2)求a的取值范围(3)已知x>0，y>0，且xy1，求的最小值【分析】由和或积为定值从而利用基本不等式求最值，然后确定取得最值的条件【解】(1)0<x<2，2x>0，y··，当且仅当x2x即x1时取等号，当x1时，函数y的最大值是.(2)显然a2，当a>2时，a2>0，a(a2)

8、2226，当且仅当a2，即a4时取等号，当a<2时，a2<0，a(a2)2(2a)2222，当且仅当2a，即a0时取等号，a的取值范围是(，26，)(3)x>0，y>0，且xy1，()(xy)77274，当且仅当，即2xy时等号成立，的最小值为74.课堂过手练习：求下列各题的最值(1)已知x>0，y>0，lgxlgy1，求z的最小值；(2)x>0，求f(x)3x的最小值；(3)x<3，求f(x)x的最大值解：(1)由x>0，y>0，lgxlgy1，可得xy10.则2.zmin2.当且仅当2y5x，即x2，y5时等号成立(2)x>

9、0，f(x)3x212，等号成立的条件是3x，即x2，f(x)的最小值是12.(3)x<3，x3<0，3x>0，f(x)x(x3)3(3x)3231，当且仅当3x，即x1时，等号成立故f(x)的最大值为1.考点3利用基本不等式求最值的解题技巧1.代换：化复杂为简单，易于拼凑成定值形式；2拆、拼、凑，目的只有一个，出现定值例3 (2010年四川高考)设a>b>c>0，则2a210ac25c2的最小值是()A2B4C2D5【分析】通过拆、拼、凑创造条件，利用基本不等式求最值，但要注意等号成立时的条件【解析】原式(a210ac25c2)aba(ab)a2aba(a

10、b)(a5c)2aba(ab)0224，当且仅当，即a，b，c时，等号成立【答案】B方法归纳：拆、拼、凑的典范：本题求多个和式的最小值，故可选用基本不等式，为了使积为定值，故需对原式进行配凑，关键点在于使目标出现ab，a(ab)的形式课堂过手练习：(2011年浙江)设x，y为实数，若4x2y2xy1，则2xy的最大值是_解析：4x2y2xy14x24xyy23xy1(2xy)213xy·2x·y·()2(2xy)21(2xy)2(2xy)2即2xy当且仅当2xy时取等号(2xy)最大值.考点4基本不等式的实际应用应用基本不等式解决实际问题的步骤是：(1)仔细阅读题

11、目，透彻理解题意；(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；(3)应用基本不等式求出函数的最值；(4)还原实际问题，作出解答例4 围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用【分析】(1)首先明确总费用y

12、旧墙维修费建新墙费，其次，列出y与x的函数关系式；(2)利用基本不等式求最值，最后确定取得最值的条件，作出问题结论【解】(1)如图，设矩形的另一边长为a m.则y45x180(x2)180×2a225x360a360.由已知xa360，得a，所以y225x360(x>2)(2)x>2，225x210800.y225x36010440.当且仅当225x时，等号成立即当x24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元方法归纳：(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不

13、等式求解(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解课堂过手练习：有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定：大桥上的车距d(m)与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满足：dkv2ll(k为正常数)，假定车身长都为4 m，当车速为60 km/h时，车距为2.66个车身长(1)写出车距d关于车速v的函数关系式；(2)应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？解：(1)当v60 km/h时，d2.66l，k0.0006，d0.0024v22.(2)设每小时通过的车辆为Q，则Q，即Q.0.0024v20.24，Q.当且仅当

14、0.0024v，即v50时，Q取最大值.答：当v50 km/h时，大桥上每小时通过的车辆最多易错点忽视等号成立的条件 典例：已知两正数x，y满足xy1，则z(x)(y)的最小值为_【错解】错解一：因为对a>0，恒有a2，从而z(x)(y)4，所以z的最小值是4.错解二：z(xy)2222(1)，所以z的最小值是2(1)【错因分析】错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的【正确解答】z(x)(y)xyxyxy2，令txy，则0<txy()2，由f(t)t在(0，上单调递减，故当t时， f(t)t

15、有最小值，所以当xy时z有最小值.误区警示：(1)在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失误的重要原因如函数y12x(x<0)有最大值12而不是有最小值12.(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错课堂纠错补练：若0<x，则f(x)sinx的最小值为_解析：令sinxt,0<t时，t(0,1，此时yt在(0,1单调递减，t1时ymin5.答案：5归纳提升：1创设应用基本不等式的条件：(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目的是使“和式”或“积式”为定值，且每项为正值；(2)在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤