高中均值不等式讲解及习题

1、高中均值不等式讲解及习题一 .均值不等式2 小1 .（1）若 a,b R,则 a.2ab-（当且仅当a b时取"二”）2注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”.（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3典值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方 b2 2ab（2）若 a,b R,则 ab -（当且仅当 a b 时取“二”）22 .（1冶 a,bR*,则a_上Jab（2盾 a,bR*,则 a b2vOU（当且仅当 a b 时取"二”）22（3盾a

2、,b R*,则abab（当且仅当a b时取“二”）23.若x 0,则x - 2 （当且仅当x 1时取“ 二 "）若x 0,则x32 （当且仅当x 1xx时取“ 二 ”）若x 0,则x 1 2即x - 2或x - -2 （当且仅当a b时取“=”） xxx3.若ab 0,则a b 2（当且仅当a b时取“二”）b a（当且仅当a b时取" 二 ”）4.若 a,b R,则（3）22若ab 0 ,则a b 2即刍-2或刍-2 b a b a b a面有广泛的应用.应用一：求最值例1:求卜列函数的值域(1) v= 3x2 +9y 2(2) v= x + yxx解：(1) V 3x

3、2+ 2x 2 >23x 2 - 2x 2 y6值域为6(2)当 x>0 时，y = x + x >2 弋 x , x = 2;当 x< 0 时， y= x+x = ( x x) < 2 x ( 8, 2U2, +oo)解题技巧：技巧一：凑项例1：已知X 5,求函数y 4x 2的最大值。44x 5解：因4X 5 0,所以首先要“调整”符号，又(4x 2)|， 4x 5行拆、凑项，T5， c11,X , 5 4x 0 , y 4x 2 5 4x :144x 55 4x,+00)1一 = 2X不是常数，所以对4x 2要进32 3 1当且仅当5 4x,即x 1时，上式等

4、号成立，故当x 1时，ymax 15 4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当口 U工匕4|时，求y x(8 2x)的最大值。解析：由|口</<4知，fQ 口,利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此 题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x (8 2x) 8为定值，故只需将y x(8 2x)凑上一个系数即可。当"2工，即x = 2时取等号 当x = 2时，y x(8 2x)的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值 不等式求最大值。3.变式：设0 x ，求函数

5、y 4x(3 2x)的最大值。2解：0 x 33 2x24x(3 2x)2 2x(3 2x)22x 3 2x2，一 .，-33.一当且仅当2x 3 2x,即x -0,-时等号成立。42技巧三：分离2例3.求y 7x 10(x 1)的值域。x 1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有( x+ 1)的项，冉将其分离。当x>-l,即工+12口时，y 2 I(x 1) 5 9 (当且仅当x= 1时取“=”号)。 ； x 1技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令 t=x + 1,化简原式在分离求最值。当工 >7,即t=a-l2口时,y 24 5 9(

6、当1=2即乂= 1 时取“=”号)。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再A利用不等式求最值。即化为 y mg(x) B(A 0,B 0), g(x)叵正或恒负的形式，然 g(x)后运用均值不等式来求最值。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x) x - xx xx2 5的单调性。例：求函数y x_5的值域。解：令 Jx2 4 t(t 2),则 y x2 5 Jx2 4 . 1 t 1(t 2) y . Jx2 4 t因t 0,t 1 1,但t 1解得t1不在区间2,故等号不成立，考虑单调性。tt,15因为y t 1

7、在区间1,单调递增，所以在其子区间 2,为单调递增函数，故y -ot2所以，所求函数的值域为 -2练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时，x的值.x2 3x 111(1)y ,(x 0) (2) y 2x ,x 3 (3)y 2sin x -,x (0,)xx 3sin x2 .已知0 x 1,求函数y Jx(1 x)的最大值.；3. 0 x 1,求函数y Jx(2 3x)的最大值.条件求最值1 .若实数满足a b 2,则3a 3b的最小值是 .分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a 3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：3a和3b 都是正数，3a 3b>23a 3b

8、2,3ab 6当3a13b时等号成立，由a b 2及3a 3b得a b 1即当a b 1时，3a 3b的最小值是6.变式：若 10g 4 x log 4 y2 ,求工的最小值.并求x,y的值 x y技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就 会出错2:已知x 0,y0 ,且1 9 1 ,求x y的最小值 x yi 9错解：'/ x 0, y 0 ,且1 ,x yx y * x y僻加12故x 丫 min12 。错因：解法中两次连用均值不等式,2国等号成立条件是x y ,在13x y等号成立条件是1 9即y 9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，

9、在利用均值不 x y等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：”x0, y0,191, x y x y 2 9x10 610 16*x yx y x yy 9x1 9当且仅当一 一时，上式等方成立，又一 一卜1 ,可得x 4, y 12时，x y min 16 xyx y变式：(1)若x, y R且2x y 1,求1工的最小值x y(2)已知a,b,x, y R且a 2 1,求x y的最小值分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式a 2 *+ b 2ab<2. 1同时还应化简'1 + y2中y2前面的系数为2 ,xx/1 +

10、y2 =xx yxxx分析步到位求出最由a> 0得0V b< 153434对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式通过消元，转化为再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的x 2+(2 41Ob的最小值30 2b abb+ 116 t-71 y22 +-2即 x. 1 + y2令 t=b+1 ,1<t<16, ab=x 2 + 922/2+5 )2230- 2b b+11 y 22 +万2+y216162(t+Y)+34,- t+ -2 b2+30b b+ 1卜面将x,22+34t 31t=8at>< 18y>! 当且仅当t =

11、 4,即b= 3, a= 6时，等号成立。18法二：由已知得：30 ab=a+ 2b= a+ 2b>2y2ab30 ab>2,j2ab令 u= ab则 u2+25 u-30<0, -5 2 <u<3 2. N；ab <3 2 , ab< 18,118点评：本题考查不等式a上 质(a,b R )的应用、不等式的解法及运算能力；如 2何由已知不等式ab a 2b 30(a,b R )出发求得ab的范围，关键是寻找到 a b与ab之间的关系，由此想到不等式 3 Gb (a,b R ),这样将已知条件转换为含ab的不等式， 2进而解得ab的范围.变式：1.已知

12、a>0, b>0, ab (a+ b)=1,求a+ b的最小值。2 .若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知x, y为正实数，3x+2y= 10,求函数 W= 8 +，2y的最值.a+ ba 2+ b 2解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，0,本题很简单V3X +返2 q ”3x) 2+(V2y) 2 T '3x + 2y =25解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W>0,W2=3x + 2y+ 2>/3x'2y=10+ 2yH低 <10+

13、 (m)2- N2y )2 =10+ (3x+ 2y)=20W< 通=2三变式：求函数y T2XF 乖2x(1 X 5)的最大值。 22解析：注意到2x 1与5 2x的和为定值。又y 0,所以0 y 2,/2当且仅当2X 1=5 2X,即X 3时取等号。故ymax 2&。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等"，同时还要注意一 些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应用二：利用均值不等式证明不等式1.已知a,b, c为两两不相等的实数，求证：a2 b2 c2 ab bc c

14、a1)正数 a, b, c满足 a+ b+c= 1,求证：(1 a)(1 b)(1 c)>8abc111例 6:已知 a b、c R,且 a b c 1。求证：一 1 一 1 一 18abc分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“ 2”连乘, 又1 1 l_a b_c 2_bc ,可由此变形入手。a a a a解：a、b、cR , a b c 1。- 11-abc2bc0 同理1 12c, - 12海。a a a ab b c c上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得1 1 1 1 1 1 9cl逅|22匣8。当且仅当a b c 1时取等号。 a b c

15、a b c3应用三：均值不等式与恒成立问题19例：已知x 0, y 0且 1,求使不等式x y m包成立的头数m的取值沱围。 x y19/ x y9x 9y (10 y9x(解：令 x y k,x 0, y 0, 1,1. 1x ykx kyk kx ky103一一1 10 2 3 o k 16 , m ,16 k k应用四：均值定理在比较大小中的应用：1a b.例：右 a b 1, P ,ng a 1g b,Q (lg a Ig b), R lg( 2),则 P,Q,R 的 大 小关系是 分析：, a b 1 1ga 0,1g b 0一 1Q 一 ( lga Igb) qlga Igb p

16、2R 1g(ab) lg Jab 1 lg ab Q . . R>Q>P。 222010年高考均值不等式求最值聚焦最值问题始终是高考数学的热点题型之一，而利用均值不等式求函数的最值是最为常见、应用十分广泛的方法之一.下面笔者以 201/高考试题为题材，对高考中考查利用均值不等式求最值问题的基本特征和基本类型作一些分类解析，供参考一、基础题型。1.直接利用均值不等式求解最值。例1: （2010年高考山东文科卷第14题）已知x,y R ,且满足）上1,则xy的最大值为3 40解：因为x>0, y>0,所以：2耳y 栏（当且仅当1_y ,即x=6, y=8时取等号）， 于是停

17、 1 , xy 3.，故xy的最大值位3.2通过简单的配凑后，利用均值不等式求解最值。211 一一，一例2: （2010年高考四川文科卷第11题）设a> b> 0,则a 豆 a a b的最小值是（）(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4分 2112解：a 京 arr=a ab11ab ab a(a b)1=ab a(aab当且仅当ab= 11b) >2 + 2=4a(a b)a（ab）=1时等号成立，如取a= V2,b= 近满足条件。2故选择答案D、转化题型1 .和积共存的等式，求解和或积的最值。例3: （2010年高考重庆理科卷第7题）已知x>0, y>0,

18、x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是（）A. 3B. 4C. 9D. 112 22解：因为 x>0, y>0,所以 x 2y 8 x （2y） 8-一2y ,2整理得 x 2y 2 4 x 2y 32 0即 x 2y 4 x 2y 8 0,又 x 2y 0, x 2y 4等号当且仅当x 2y 2时成立，故选择答案Bo变式：因为x>0, y>0,所以因为x>0 , y>0 ,所以x 2y 8 2xy 2&Jxy ,整理得xy亚4 0,即2/2如正，所以xy 2等号当且仅当x 2y 2时成立，故xy的最大值为2.,二次一次二次,2.分式型函数（nF

19、求解最值。例4: （2010年高考江苏卷第14题）将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 S=（5粤H，则S的最小值是 梯形的面积6x 10 2-1 x令t 3x6x 105,(2 t 5),则2t18t1 (5 t)2 t2 10t 163T(t1816)10 t解：设剪成的小正三角形的边长为 X,则2 2令 f(x) 2-(0 x 1), 则 f(x) 2-1 X1 X因为2 t 5,所以t 16 2t 16 8,等号当且仅当t=4,即x时成立。tit3所以t 16最小值为8 t故f(x)x2 6x2 9的最小值为8, S的最小值是必，3 。 1 x3例5: (2010年高考全国I卷第11题)已知圆。的半径为1, PA、PB为该圆的两条切线,1 IA、B为两切点，那么PA?PB的最小值为()(A) 42(B) 32(C) 4 2 .2(D) 3 2 2解：如图所示：设PA=PB=x(x 0),例5图/APO=,贝叱 APB=2 , PO= J1 x2 ,sin|PA| |PB|cos2=x2(1 2sin 2)=x2(x2 1)=x2 142x x -2T，x 1令 PA?PB y ,则 yx2 1,t 0,则 y （t 1）2 （t 1） t2