解三角形综合讲义

1、解三角形综合讲义-姚老师数学第1讲解三角形基础1.1 正余弦定理1.2 面积1.3 断三角形形状1.4 解的个数问题1.5 证明恒等式1.6 实际应用第2讲最值（范围）2.1 一般最值2.2 结合均值定理2.3 几何法（旋转大法等）第3讲 正余弦定理的综合应用第4讲 解三角形与其它知识综合前言【高考命题规律】年份题号题型考查内容思想方法分值20n年理17解答题利用正弦定理边化角，转化为函 数求最值函数思想方程思 想12分文15填空题三角形面积,公式选择不一样, 突破口就不同，可正弦,可余弦方程思想5分2012 年理17解答题齐次式结构，消元，两角和差以 及面积公式消元思想12分文17解答题齐次

2、式结构，两角和差以及面积 公式数形结合思想12分2013 年理17填空题用的转化，以及正余弦定埋方程思想12分文10选择题二倍角公式，余弦定理转化与划归5分2014 年理16填空题齐次式结构数形结合5分文16填空题实际应用，以及仰角俯角的概念方程思想5分2015 年理16填空题可用极限极限，数形结合5分文17解答题齐次式结构特殊化12分2016 年理17解答题齐次式结构，射影定理数形结合12分文4选择题余弦定理5分2017 年理17解答题齐次式，面积+余弦定理转化与划归12分文11选择题两角和差+正弦定理消元5分从全国I卷近七年的考试题来看，文理卷都是各出一个题，或选填，或解答题第i题. 整体

3、来说难度不大。考查的知识点方面，齐次式结构类型居多，往往利用正弦定理转化边向 后，求出其中一个角或者得到一个新的关系式，从而进行下一步的运菜 不要轻易约分，不 要轻易约分，不要轻易约分。另外，利用一角形内角和为180,进行消元转化也是常用手段， 至于消i隹，就看谁好消了。这，节内容跟前面所学两角和差以及辅助角公式等内容结合较为 紧密,学好前面内容是学好这,节的基础。另外，如果碰到较难的题目，可用给予条件较多 的的彳角形突破,有时要有方程（不等式）思想,建立未知量间的等量（不等）关系从而解 决问题。当然，将三加形建系坐标化有时也不失为种好方法。备考方面,稳固基础，多去 尝试，从不同的角度去看待理

4、解问题，比较不同思考角度间的优劣，该如何去做选择。 备注：本教案编写时为年级统一之方便，添有解的个数及证明恒等式等内容，高考一般不 做要求，卷三复习时可删去不做讲解。另涉及均值不等式内容方面，单独分离，高二新学 此节内容时未有学及，可删去。【基础知识】一、正弦定理适用范惘：任意三角形: 本质:边和角的关系：基本概念，作用：边和角的互换：公式:，一二上二二一二2"2/?为外接战的直径）sin A sin 8 sinC（会证明）信息挖掘变形：。二 sin J-2/<,sinJ ： 2R大边对大角：在AJ8C'中，a = sin/J > sinBo力） A解:角形（任意

5、：角形）：a.b.c和4氏C六个元素中，根据已知的元素，求未知:正弦定理可解决的两类解一角形问题'己知二角形两角和任意一边，求其它边角：已知三角形两边和其中一边对角,求其它边角:4 4 B + ('二刀;A + B (' A + B C,.sin= cos -,cos-sin ;解三角形的含的信息 22'22'sin C = sin -(.4 4- ) = sin( A + /?)5cosC = -cos(/f + B);二角形任意两边之和人于第边，任意两边之差小于笫二边:1、正弦定理的卞耍作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关边，或是用的止弦值是 否

6、具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边.否则谟慎处理例如：（I）sin2 4 + sin- sin J sin = sin2 C o o: + b: - ab = c2（2）bcosC + ccosB = a => sin BcosC + sinCcosB = sin A （恒等式be sin sin C 2、角平分线定理（熟悉）如图，没力为A/f/*'巾/（'的向平分线则AC CD简单证明：法1：过。作。£力。交46 J-E ,然后利用相似即可法2：正弦定理，自己书写3、射影定理:abcosC+ccosB （熟悉）（其实,就是个齐次加两角和差，画

7、图更直观）二、余弦定理余弦定理的内容（向量证明）2=/+/- 2bc cos/1运用余弦定理可解决两类:角形何膻,已知三边，求丈二角己知两边和其夹角，求第三边和其它两个角I、变式:2bc 此公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出,4足钝角还是锐角 当时，cos/f >0>即/为锐角: 当好十 =/（勾股定理）时，cos4=0.即/为直角: 节/ + c2 V /时,cos / < 0 ,即/为钝角 观察到分式为齐一次分式，所以己知的值或肖,4：和c均可求出COS.4（2） / =（力+c一2hc（1 + cosA）此公式花已知5 +。和儿,时不需要计算出伍c的值, 进行整

8、体代入即可2、中线长定理（了解）三角形中线定理:如图，设弁。为448C的一条中线, 则 AB2 + AC2 = 2（AD2 + BD2）三、面积公式基本公式：S “巾=-ahsin（' = bcsynA = -t/csin/?222旧虻匚= 人缶m I、根据角度直接求出：C = -.4-«->sinC重要技巧：求第二个角的止弦伯J由,2、根据公式：而（= sm（/+ B） = sm J cos + cos/f sin R一角形其他面积公式：（1）S = -a h （为.角形的底,人为对应的高）2（2） 5 = |（«+/? + c） r （广为三角形内切圆半径

9、）5 = = 2/?: sin J sin B sinC （R为:角形外接01半径）（由正弦定理可推,不记） 4R(3)海伦秦九貂公式：S = Jp(p-a)(p-/)(p-C，p= 5(a + b + c)(4)向量方法：5'=；小时|-(4旬(其中"上为边公力所构成的向量，方向任意)坐标表示:”(为，凹)石(三，心)，则S二四、其他1、熟记些特殊角sin 15" = cos750 =, sin 75" = cosl5'= tan 15 = 2 - Y3 , tan 75* = 2 + v32、两角和差的止余弦公式：sin(/f ± B

10、) = sin 力cos4 土 sin ffcosA cos(4± 8) = cos 4cos 8 +sin/lsinZ?3、辅助角公式：r/sin A + bcosB = !a2 +/>2sin (/I +(/>).其中 lan = 4、在 A48C 中，sin 2A = sin 2B 2A - IB or 2A+ 2B 二元【近七年全国1卷高考真题】(2017理17) A43c的内角4次C的对边分别为4,b,c,已知八力。的面枳为 J 3sin4(i)求 sin 8sin ('(II)若6cos 8co= L = 3 ,求 A/I8C 的周 K(2017文11

11、 ) MBC的内角4B,C的对边分别为a,b,c ,已知a = 2,c=,sin 8 +sin /l(sin< -cosC) = (),贝iJC二(7t、九.冗，、冗(A) (B) -(C) -(D)-12643(2016 理 17)A/l8c 的内角 4 B,0的对边分别为a,b,c ,已知 2cosC(acos B + bcos A) = c(I )求c(11 )昔c = J7, A48C的面枳为兔3,求AJ8c的周氏2(2016文4) A48C'的内曲4反('的对边分别为a/,c ,已知a =石，。=2 , cos / = | .则”()(A)41(B) y/3(C

12、) 2(D) 3（2015理16）在平面四边形力8。0中,/=/8 = /0= 75'. BC = 2,则46的取值范围是(2015 文 17)已知a,6普分别是 A/4BC 内角 A, B,C 的对边,sin2 B = 2sin Asin C(I )若 =/? ,求 cos B(H)若。= 90 , FLa = V2 求的面积（2014理16）己知4/c,分别为A/18C的二个内向48、（的对边，4=2.11. （2 + /?）（sin /1-sin B） = （c-b）sinC ,则 AJB面枳口勺最大佰,为（2014文16）如图,为测量山岛M/V,选择力和另座山的山顶C为测埴观测

13、点.从4点 测得M点的仰用乙WMV = 60'，C点的仰角/018 = 45°,以及乙忆4。=75°：从C点测得 ZMCA = 60 已知山岛 BC = 100/7? .则ill高 MN =m(2013 理 17)如图，在 &4BC 中,ZABC = 90 , AB=G 3C' = 1,尸为J3C'内-点，Z.BPC = 90(1 )代.书=；,求/(0 )若 N,4P8 = 150 , tan Z.PBA（2013文10 ）已知锐角ABC的内角ABC的对边分别为a.b.c ，23cos: J + cos2/4 = 0 .。= 7,c = 6

14、 则=()(A) 10(B) 9(C> 8(D) 5（2012理17 ）己知ahc分别MBC T个内角4B,C的对边，«cosC + >/3a sin C -/> -c = 0(I )求 A(II)若 a = 2, A/1Br 的而枳为,求4c(2012文17)己知也。分别为&481,二个内用44.C的对边，c = &sinC ccosA .(I )求力(II)若。=2, A/1AC'的面枳为求仇(2011理16)在A43C中，3 = 60=4c = 6,则力8+24c的最大值为(2011 文 15) A/AC 中，8 = 120 .&quo

15、t;C' = 7,/8 = 5 ,则 A/18C 的面枳为第1讲解三角形基础1.1正余弦定理I、(2017.12上海虹口区一模)在A/传C中，所对的边分别是a,b,c,若：b:c = 2:3:4,则cosC' =2、(2017吉林二调)在人4次7中，角48,，所对的边分别为也。，若。="/=3/=2,则角4=()(A) (B) (C) (D> 64323、(2017.5北京丰台测试)在4出C中，角45,C对应的边长分别是。也c, H.x/Jsin/? -bcosA ,则允A的大小为4、(2018届安徽六校一联)在A/1*'中，加AHC的对边分别为a,Ac

16、,已知8 = 1. B = -.4cos J =；，则 a =()4x/23r-(A) 一(BJ (C) 一(D)334S、(2017.12百校联校)在448c中，角48,C的对边分别为a,b,c,若sin .4 = 3sin 8 .c=6 且cosC =，则=()6(A) 2V2(B) 3(C) 3V2(D) 46、(201712化州二模)已知/,，分别是八47?内角力,用的对边，“ =4,力=5,。= 6,则吗土丝sin 2/17、(2017.12上海崇明区一模)在中，8C边上的中垂线分别交8C/C点DE.若AE , BC = 6, | J/?| = 2 ,则 AC = 8、(2018届广

17、东中山等七校一联)在48中，点。花边/I" I . CDLHC . AC = 5.CD = 5、BD = 2/ID ,则/Q 的长为1.2面积1、（2017.12上海宝山区一模）半径为4的圆内接三角形力8。的面枳是-L,角所16对应的边依次为则abc的值为2、（2017.04重庆二诊）设A必C中,向4氏。所对的边分别为a.Ac：若八必。的面枳为,则4百3、（2017.08广东七校一联）在锐角A48c中,角48,。所对的边分别为o,b,c,若sin/ = #l,a = 2,SaM = 6,则方的值为（）1 F）（A） +（B）（C） 272（D） 2G24、（2017.12上海虹口区一

18、模）已知y = sinx和y = cos;v的图像的连续的：个交点力、B、C构成三角形MBC,则的而枳等于1.3 判断三角形形状例1、在A/13C中，bcosA=acosB .试判断的形状例 2、在 A48C'中，«cos/? + />cosJ = ccosC,试判断 A/NC 的形状1、 （2015马鞍山模拟）在A48c中，内角所对的边长分别是a,8.c ,若c-a3sB （2a-ft）cos4 ,则 A/fUC 的形状为（）（A）等腰三角形（B）立角三角形LC）等腰直角三角形（D；等腰或直角三角形2、（2012 上海）在&48A 中,若 sinZ/f + s

19、in? Asin：（，则 A48c的形状是（<A>钝角三角形（B）直角三角形（C）锐角三光形（D）不确定3、（2010上海）若3c的三个内角满足sin/l:sin8:sinC = 5:ll:13,则）g 一定是锐角三角形（B）一定是直角三角形to 一定站钝知一角形D可能是锐向T角形，也可能是钝用二角形 4、（2012湖北荆州模拟）在A/18c中，若lgsin/-lgcos4-lgsinC = lg2,则A44C的形状是（）'A）直向三角形 （B）等腰M角一:角形（C）等边三角形 （D）等腰三角形5、（2013东北三校二联）在AJ8C中.。也c分别是角48,。的对边，且cos

20、?4 = ' '° 2 2c则SABC是（）（A）直角三角形（B）等腰三角形或宜角三角形（C）正三角形（D）等腰直加二:用形1.4 解的个数问题4为锐角,有两解: 力为直角或钝角,无解;a >hsin J :两解:/为锐角, 4 =bsin :一解:a <6sin A:无蛇 /为直角或饨角，尢解：L己知。>8和4求5 ：有一解;2、己知a =6和力，求ZT 处理多解问题3、已知”6和 .求B1、在448。中，已知a = 2,b =、6,4 = 45 ,则满足条件的三角形彳了（）（A）1个（B）2个（C>0个 （D）无法确定2、在中，。=80,6

21、 = 100,。= 45,则此，角形铎的情况是(A) 一解(B)两解(C) 一解或两解 <D)无解3、在AJ伙中,Z.A = 60°, a =瓜,力=3 ,则A/18C'解的情况为(A)有两解(B)有一解(C)无解 (D)不能确定4、已知下列三角形中的两边及其中一边的对角,判断三角形是否行解,并指出有几解?(1) a = 7,b = 8,/4 = 105(2) = 10力=20,4=80、(3) = 60(4) a = 2.h = 6,/I = 301.5 证明恒等式cos 2 cos28 113在A46C中，i正明:-二a2 h2 a2 h2A.从C所对的边分别为a、

22、从c,求证a2 -b2 sin(/f- 8)c2 " sinC1.6 实际应用 埋解几个角度概念1 .仰角与俯角与目标线在同 铝垂平面内的水平视战和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰 角,目标视线在水平视线卜.方叫俯松如图）.2 .方向角相对某正方向的水平角，如南偏东30。，北偏西45。等.3 .方位角指从正北方向顺时针转到U标方向线的水平角，如B点的方位角为以（如图）.例1: （2015湖北理13）如图，辆汽车在条水平的公路上向正西行驶,到/处时测得公 路北侧山顶D在西偏北30的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75”的方向上，仰角为30、则此山的高发。=例

23、2： （2010陕西理17）如图. 48是海面上位,东西方向相即5（3 + 6）海性的两个观测 点:现位于/点北偏东45°, 点北偏西60的力点行 艘轮册发出求救信号,位于，点南 偏西60"旦与点相距203而里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里./小 时，该救援船到达D点需要多长时间？D北川吻、604北B601、(2017山西三区八校二模)为竖块广告牌,要制造二角形支架，如图，要求Z/1CZ? = 60°, 的长度大丁1米.且力。比力3长0.5米，为了稳固广告牌，要求越知越好，则1('最短为()(A)。+乎)米B 2米(C) (I+G)米(D

24、)(2+3)米2、(2017广东佛山二模)某沿海四个城市力、8、('、/)的位置如图所示,其中480 = 60。.ZBCZ) = 135% 4? = 80nmilc, 8C = 40 + 30x/Jnmilc , CD = 250x/6iimilc , D 位于右的北偏东750方向.现在有艘轮船从A出发以50nmile/h的速度向D直线航行.60min后,轮船由卜天气原因收到指令改向城市。联线航行,收到指令忖城市C对于轮船的方位角是南偏西咬,则sinO =3、(2016.01东莞高二期末质检)南沙群岛门占以来都是中国领土 南沙海域有力、8两 个岛礁相距100海里，从A岛礁相C岛礁和B岛

25、礁成60°的视机 从8岛旗望('岛礁和 力岛礁成75°的视角，我国兰州号军舰巡航在力岛礁处时接厅岛礁处指挥部的命令，前 往r岛礁处的赶某国入侵军舰，则我军舰此时离('岛偎即离是()(A) 100(石+ 1)海里 ,B； 50(6 + 1)海里 C) 50行海里 (D) 50“海里4、（2017.12青浦区一模）如图，某大田厂区仃三个值班室,4、B、。,伍班塞/在值班 室8的正北方向2米处，值班空C在值班18的正东方向26米处（1保安甲沿CR从值班空。出发行至点，处，此时27 = 1,求/%的也离n保安甲沿。从值班空（'出发前往他班室月，保安乙沿AB从

26、值班型A出发前往值 班冬甲乙同时出发.甲的速度为1 T米卜时，乙的速位为2 r米/小时，着甲乙两人通 过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试间有多长时间两 人不能通话？5、（2017.4福建质检）如图，丘码头尸和三个岛屿48,C. PC = 3。拒nmile.PB = 90 n mile AB = 30 n mile APCB = 120% 41BC = 90°（1 ）求8,C两个岛屿间的跑离11某游船拟我游客从悟头前往这三个岛屿游玩,然后返回码头,问该游船应按何路 线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程42.1 一般最值问题 例1：己知税用二角形的边长

27、分别为2、3、X,则K的取值范用是（. A） <x<5（B） V5<x<vT3 （C） Q<x< 后 <D）屈 <xv5AC例2： （2009沏南卷文）在锐力A48。中，8c'=1.8 = 24则一一的值等Jcos JAC的取值范围为例3：在A/I8C中，若。=7力= 8,cosC = g,则最大知的余弦值是（）14（A）（B）（C）（D）56781、 （2U17.10天一联二测）在中，角4代的对边分别为aAc ,若 （2c-a）sinC' = （6+/-标）等且，且b = 2，J,则A48c周长的取值范用为 2、（2017.03

28、南通二调）在人力夕。中，已知/8 = 2,彳。2 8。2 =6,则tanC的最大值 是3、（2017安徽马鞍山二模）在边长为2的正三角形上8C的边46、3C上分别取M、N两点，点/大丁线段MN的对称点4正好落花边上，则4”长度的最小值为4、（2016.10天一联二测文）在AJ3c中，若343 = 2/1。，点E,*分别是4C,.48的中 BF点，则差的取值范报是CrS、（2017.12 上海虹口区一模）已知&A/17?中，ZJ = 90° .力 Z? = 4. /IC = 6,在一 角形所在的平面内有两个动点M和N,满足卜A« = 2, 丽=而，则;8M的取值 范围

29、是（）（A） 372,734巴句（C） 2底4业（D）总>/63-12石,113 + 12&2.2结合均值不等式I、（2017.03 黄冈调研）已知在 AJ5C,5.4cB = 90" B= 3,0= 4, P 是线段 44上的点，则P到月CAC的跑离的乘枳的最大值为、）（A） 3（B） 2（C） 2百<D） 92、（2018.01河南郑州一模）在AJ8C中，用所对的边长分别为a）,c. IL2ccos B = 2a + b ,若ABC的面积为S =,则的最小值是3、（2017江西上饶一模）已知A/8C外接同半径是2,忒、=2白，则的面积最大值为4、（2017.0

30、8南昌一调）已知4/8C的面积为2JL 角48,C所对的边长分别为a,6,c, 4 = ?,则的最小值为5、（2017.11福建泉州一中高二上期中考）在A43C中，用48,C的对边分别为力.c，已知a = 3,1 +空4=仝，则6 + c的最大值为_tan B b6、 （2017.03 广一模）在 A48C 中,/力（为=60 ,8C > 1,= .43 + 工,与 A48C 的2周长最短时，BC的长是23几何法平几定理（如托勒密定理），旋转大法，阿斯碉1、凸四边形Z6C。中, 43 = L8C = JJ,4C«LC0,XC = CD ,当 N/8C 变化时,BD 长的最大值为

31、2、在平面四边形/伙7）中，AB=l,BC = 2, A4C。为正三角形,则ABCQ面枳的最大 值为3、（2017.04广二模）在平面四边形48CQ中，连接对角线80,已知CO二9.80 = 16, NBDC = 90, sin4=1则对角线AC的最大值为4、己知在/MBC, "C = 3,/f = g,点。是“C边I.靠近点H的个二等分点，则力。的 最大值为5、（200X江苏）满足条件/8 = 2,/1。=夜8c'的A/18。的面积的最大依为第3讲解三角形综合解二角形问题,是高考考查的重点，多为边和角的求值向题.这就需要根据小、余弦定 理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系

32、，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第步：定条件，即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向: 第：步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的1具，实施边角之间的互化，注意齐次 式结构，殷多根据正弦定理把边转化为角” = 2sin48 = 2夫sin8,c = 2"sinC,或是 a: : c = sin /4 : sin 5: sin C ： 第三步：出结果，”步骤解决三角形中的角边问题时，要根据所纶条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的 问题或角的问题，利用一:角中两用和基等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及一.角 形面枳最他问题I时，注意均值不

33、等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能 马出角的大小1、(2017.12百校联盟)住AJ3C中，内角4丛的对边分别为a,瓦c.一知23cos2 = 3sin=2sin 力sin B2cosC(1 )求力的大小(H)求&的俄 c2、(2017.12化州二模)没二个内角4伉所对应的边分别为AJZ?0的而积S满足465' = /+/-2(1)求角C的值(U)求sin A COS力的取值范围3、 （2017.12广州调研）zM8c的内角的对边分别为Q,b,c,吐满足a = 2.a cos(2c-b)cos A（I）求角力的大小II ）求八/8（'周长的最大值4、

34、（2017.12福建华安一中）A/18C的内角4,5,C的对边分别为。也C,己知 sin(/f + C) = 8sin2 (I )求 cosB11）柠 +。= 6 , A4AC的面积为2 ,求65、（2017.12福建华安一中月考）如图，在放A48。中，乙4c3 =二，AC = 3.BC = 2, 2是内的点.i 1 ） EP是等腰立由/J形"8C的11向顶点，求/”的长II）若NB尸。=空,设/PCB = 8,求的面积S（田的解析式,并求5（。）的最 3大值6、(2017.04武汉调研)己知以'的三个内鱼48,。的对边分别为a,6,c,且满足 a = V2T , 3人 -

35、2c = 7 . A = 6()(1)求。的值<n)若TO平分N8/1C交8c于点。,求线段茨。的长27r7、(2017.12 福州质州)在四边形/6C0中,AD"BC,AB = 2,AD = l,A = q(I )求 sin/O8(11)若N4OC=半，求四边形43C。的面枳8、(2017.03安徽安庆二模)在443。中，用43.。的对边分别是力,5 其外接圆的半 径是 I,且满足 2(5山2 4-sin2 C)=(y/2a-b)sinB(1)求角的大小(II )求A46C的面积的最大值9、(2017江西九江三模)在A/5。中，内角所对的边分别为/Ac,且满足 sin* B

36、+ sin 2c = sinM + 2sinsinCsin (6 + C)(I)求箱4的大小(11 ) li 47 = 2 ,求A/18c面积的最大值10、(2018.1湖北襄阳调研)在A4BC中,内向48,c所对的边长分别是&b,c,己知asin B =Z?cos 4cos B =(1 )求cosC的值(II)若a = 15,。为月边上的上3且24。=3。，求CD的长11、 (2017.03广一模)如图，在45。中，点尸在8在边上,NP.4C'= 60= 2AP+AC=4(1)求 N/1CP(II )若A4P8的而积是西,求sin/a4P o12、（2017.03苏锡常镇四市一调）布A/18c中，。力,C分别为角4&C的对边.若 a cos B - 3,/>cos J = L H 4 -8=6(I )求边c的长(II)求角8的大小13、 （ 2017.03南京盐城二模）如图.在AABC中,D为边BC上一点， 4D 二 6.BD = 3,DC = 2（图2(I)riADLBC .求 N"C 的大小(II )若48C =工.求A/1Q0的面积414、（2017云南师大附中月考）在AJ8中,角4）C的对边分别为db,c.一知a = 2Z