D68格林公式1ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 第八节1）一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件各种积分的联系 及其在场论中的应用 第六章 目录 上页 下页 返回 结束 LD区域 D 分类单连通区域 ( 无“洞区域 )多连通区域 ( 有“洞区域 )域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左定理定理1. 设区域设区域 D 是由分段光滑正向曲线是由分段光滑正向曲线 L 围成围成,则有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式 )函数在 D 上具有连续一阶偏导数,LDyxyQxPyxQPdddd或一、一、 格林公式格林公式目录

2、 上页 下页 返回 结束 证明证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且bxaxyxD)()(:21dycyxyD)()(:21那么yxxQDdddcyyyQd),(2)()(21dyyxxQCBEyyxQd),(CAEyyxQd),(CBEyyxQd),(EACyyxQd),(dcyyyQd),(1dcydOdcyxECBAbaD定理1 目录 上页 下页 返回 结束 即yxxQDddLyyxQd),(同理可证yxyPDddLxyxPd),(、两式相加得:LDyQxPyxyPxQdddd定理1 目录 上页 下页 返回 结束 L2) 若D不满足以上条件, 则可通过

3、加辅助线将其分割1DnD2DnkDyxyPxQk1ddyxyPxQDddnkDkyQxP1ddLyQxPdd为有限个上述形式的区域 , 如图)(的正向边界表示kkDD证毕yxO定理1 目录 上页 下页 返回 结束 Green公式可以推广到由有限条分段光滑的闭曲线公式可以推广到由有限条分段光滑的闭曲线所围成的复连通域。所围成的复连通域。对于右图复连通区域对于右图复连通区域D，可以，可以将其割一刀，将复连通域变成将其割一刀，将复连通域变成单连通域，于是单连通域，于是D的边界构成的边界构成为：为：Green公式仍成立公式仍成立目录 上页 下页 返回 结束 推论推论: 正向闭曲线正向闭曲线 L 所围区

4、域所围区域 D 的面积的面积LxyyxAdd21格林公式格林公式LDyQxPyxyPxQdddd例如例如, 椭圆椭圆)20(sincos:byaxL所围面积LxyyxAdd212022d)sincos(21ababab定理1 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 4目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 2. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明0dd22yxxyxL证证: 令令,22xQyxP那么yPxQ利用格林公式 , 得yxxyxLdd22022xxDyxdd00目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算计算,dde2Dyyx其中D 是以 O(0,0) , A(

5、1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解解: 令令, 那么2e, 0yxQPyPxQ利用格林公式 , 有Dyyxdde2Dyyxde2yxOAyde2yyyde102)e1(2112eyxy yx) 1 , 1 (A) 1 , 0(BDO目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 计算计算,dd22Lyxxyyx其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解解: 令令,022时则当 yx22222)(yxxyxQ设 L 所围区域为D,)0 , 0(时当D由格林公式知0dd22Lyxxyyx,22yxyP22yxxQyPyxLO目录 上页 下页 返回 结束 dsincos20222

6、22rrr2,)0 , 0(时当D在D 内作圆周,:222ryxl取逆时针方向,1D, 对区域1D应用格Lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDlLyxxyyxyxxyyx2222ddddL1Dl记 L 和 l 所围的区域为林公式 , 得yxO目录 上页 下页 返回 结束 二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件沿路径C从点A到点B的线积分CC( , )( , )A M dsP x y dxQ x y dy （ ）此时，可记为此时，可记为应与向量场A(M)的分布，起点A与终点B的位置以及积分路径C三者有关。但，有的

7、却与积分路径无关，比如重力场做功一般的，线积分一般的，线积分 的值与积分路径无关时，的值与积分路径无关时，称场称场A(M)为保守场。为保守场。CA M ds （ ）BAA M ds （ ）目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2. 设设D 是单连通域是单连通域 ,),(),(yxQyxP在D 内具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有.0ddLyQxP(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d(4) 在 D 内每一点都有.xQyPLyQxPdd与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内

8、是某一函数的全微分,即 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有.0ddLyQxP(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分LyQxPdd与路径无关, 只与起止点有关. 说明说明: 积分与路径无关时积分与路径无关时, 曲线积分可记为曲线积分可记为 证明证明 (1) (2)设21, LL21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP2ddLyQxP21ddLLyQxP02L2ddLyQxP1ddLyQxP为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线, 那么(根据条件(1)BAyQxPddAByQxPddAB1L定理2 目录 上页 下页 返回 结束 (2)

9、 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(dLyQxPdd与路径无关, 只与起止点有关. 在 D 内是某一函数的全微分,即 证明证明 (2) (3)在D内取定点),(00yxA因曲线积分),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux那么),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可证yu),(yxQ因此有yQxPuddd和任一点B( x, y ),与路径无关,),(yxxC),(yxB),(00yxA有函数 定理2

10、 目录 上页 下页 返回 结束 (4) 在 D 内每一点都有.xQyP(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d在 D 内是某一函数的全微分,即 xyuyxu22所以证明证明 (3) (4)设存在函数 u ( x , y ) 使得yQxPuddd那么),(),(yxQyuyxPxuP, Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有xQyPxyuxQyxuyP22,定理2 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明 (4) (1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,DD (如图) ,上因此在DxQyP利用格林公式 , 得yxxQxQyQxPLDdd)(ddDDL0所围区域为证毕 (

11、1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有.0ddLyQxP(4) 在 D 内每一点都有.xQyP定理2 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2的物理意义：的物理意义：如果把向量场看作是一平面流速场如果把向量场看作是一平面流速场v(x,y),即即v=Pi+Qj于是于是 ,设流体密度为设流体密度为1，因而上式右端积分表示在单位时间，因而上式右端积分表示在单位时间内，场内，场v沿闭曲线沿闭曲线C流动流体的流量，力学上称其为流动流体的流量，力学上称其为沿沿C的环流量。它给出了流速场的环流量。它给出了流速场v绕曲线绕曲线C旋转趋势大旋转趋势大小的度量。一般的，我们称沿闭曲线小的度量。一般的，我们称沿闭

12、曲线C的第二型线积的第二型线积分分CCCdd()()PxQyv Mdsv Me ds 定理定理2 2 流速场在曲线流速场在曲线C的切线方向的分速度的切线方向的分速度CCA()()MdsA Me ds 为向量场为向量场A沿闭曲线沿闭曲线C的环量的环量.目录 上页 下页 返回 结束 命题命题1中，沿任一分段光滑的简单闭曲线中，沿任一分段光滑的简单闭曲线C的线积分的线积分为为0，这表明了向量场，这表明了向量场A(M)在在D内绕任一点均无旋转内绕任一点均无旋转趋势，我们称其为无旋场。趋势，我们称其为无旋场。定理定理2 2 命题命题2表明向量场表明向量场AM是一个保守场是一个保守场.()( ,)A MP

13、 Q 定义：对于给定的连续向量场定义：对于给定的连续向量场 ，表达，表达式式Pdx+Qdy如果是某个二元函数如果是某个二元函数u的全微分，则称的全微分，则称u是是向量场向量场A(M)的势函数或位函数，而向量场的势函数或位函数，而向量场A(M)是一是一有势场。有势场。命题命题3表明向量场表明向量场AM是一个有势场是一个有势场.()( ,)A MP Q 定理定理2表明，对于一个连续向量场表明，对于一个连续向量场 ， A(M)是无旋场、保守场、有势场三者是相互等价的。是无旋场、保守场、有势场三者是相互等价的。目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 根据定理2 , 若在某区域D内,xQyP那么2)

14、求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:Dyx),(00及动点,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(0则原函数为yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;yx0y0 xOxy定理2 目录 上页 下页 返回 结束 4) 若已知 d u = P dx + Q dy ,则对D内任一分段光滑曲BAyyxQxyxPd),(d),(ABu

15、定理2 )()(AuBu线 AB ,有yyxQxyxPABd),(d),(注注: 此式称为曲线积分的基本公式此式称为曲线积分的基本公式babaxFxxf)(dd)(DAB 它类似于微积分基本公式: BAud)()(xfxF其中)()()(aFbFxFab 例：计算0,1221,0ddx xy yxy（）（）目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 yA xL例例6. 计算计算,d)(d)3(22yxyxyxL其中其中L 为上半为上半24xxy从从 O (0, 0) 到到 A (4, 0).解解: 为了使用格林公式为了使用格林公式, 添加辅助线段添

16、加辅助线段,AOD它与它与L 所围所围原式原式yxyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圆周圆周区域为区域为D , 那那么么O6483目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 验证验证yyxxyxdd22是某个函数的全微分, 并求出这个函数. 证证: 设设,22yxQyxP那么xQyxyP2由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu)0 ,(x 0yyxyd02yyxyd02221+C2x y )0 , 0(),(yx目录 上页 下页 返回 结束 例例8.

17、验证验证22ddyxxyyx在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函数 , 并求出它. 证证: 令令2222,yxxQyxyP那么)0()(22222xyQyxxyxP由定理 2 可知存在原函数),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxu 0arctan+C(0)yxx xyyyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yxO目录 上页 下页 返回 结束 xy)0 ,(x)0 , 1(),(yxO),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuyyy021d1arctanarctanarctan+Cxyyyarctan+C2xyxyxxy122d或), 1 (yarc

18、tan+C(0)yxx 目录 上页 下页 返回 结束 30例9说明线积分(1,1)22(0,0)()d2dIxyxxy y在全平面是与路径无关，并求I的值。解22Pxy2Qxy2Pyy2Qyx所以在全平面线积分与路径无关，oxy( , )p x y(1,0)(1,1)(0,0)(1,0)()I 120dxx102 dy y43yxI22()d2dxyxxy y12044d3xx 目录 上页 下页 返回 结束 例10( , )( , )( ),XYX x yY x yMyx设和及和在挖去点的域上连续 且XYyxdYdYCX xdyX xdy则( ),.CM其中 和 都是中包围的简单闭曲线 且同向

19、oxyC( )证AB0CABBA0ABBA0CC ddddCX xY yX xY y目录 上页 下页 返回 结束 例例11. 设质点在力场设质点在力场作用下沿曲线 L :xycos2由)2, 0(A移动到, )0,2(B求力场所作的功W解解:)dd(2Lyxxyrk令,22rxkQrykP则有)0()(22422yxryxkyPxQ可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关. )(22yxr其中),(2xyrkFsFWLdLBAyxO目录 上页 下页 返回 结束 :AB)dd(2yxxyrkWABd)cos(sin2022k)02:(sin2,cos2yxk2考虑考虑: 积分路径是否可以取

20、积分路径是否可以取?OBAO取圆弧为什么？注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 !LBAyxO内容小结 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 格林公式LyQxPdd2. 等价条件在 D 内与路径无关.yPxQ在 D 内有yQxPudddyxyPxQDddLyQxPdd对 D 内任意闭曲线 L 有0ddLyQxP在 D 内有设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设,4:, 1:222412yxlyxL且都取正向, 问下列计算是否正确 ?Lyxxyyx22d4d) 1(lyxxyyx22d4dlxyyxd4d41Dd5415Lyxxyyx22dd)2(lyxxyyx22ddlxyyxdd41Dd2412提示提示:时022 yxyPxQ) 1(yPxQ)2(LO2y1x2lD目录 上页 下页 返回 结束 2. 设, )56,4(),(42234yyxxyxyxug gr ra ad d).,(yxu求提示提示:),(dyxuxxyxd)4(34yyyxd)56(422),(yxuOyx),(yx)0 ,(xxxxd04yyyxyd)56(0422C551x32