定积分的换元法与分部积分法课件

1、定积分的换元法与分部积分法考察定积分考察定积分( )( )xxaafx d xf t dt记记.)()( xadttfx变上限定积分变上限定积分积分上限函数及其导数积分上限函数及其导数( )( ).bxxf t dt变下限定积分变下限定积分变上限定积分和变下限定积分通称为变限定积分变上限定积分和变下限定积分通称为变限定积分(x)和和(x)是是a,b上的连续函数。上的连续函数。定积分的换元法与分部积分法定理定理 如果函数如果函数f(x)在区间在区间 a,b上连续，则变上限定积分上连续，则变上限定积分 ( )( ) ,xaxf t dt xa b)()()(xfdttfdxdxxa 在在a,b上可

2、导，且它的导数是上可导，且它的导数是即即(x)是是f(x)在在a,b上的一个原函数。上的一个原函数。证证dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa)()(dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由由积分中值定理积分中值定理得得xf )( ,xxx ),( fx )(limlim00 fxxx xx , 0).()(xfx 定积分的换元法与分部积分法 2xxe sinxbtfxdtt sin xx 例例1 求下列函数的导数求下列函数的导数解解解解22 txyedty，求解解222xtxyedte 2xtaxe dt（1 ） sinbx

3、tfxdtt（2） 定积分的换元法与分部积分法21122uuxxxeuexyyx例例1 求下列函数的导数求下列函数的导数解解2utae dt2xtaye dtux2xtaye dt（3 ）sin22 ln22xxxxxuyyu 2sinxbtydttsinbutdtt2xu 解解2sinxbtydtt（4 ）定积分的换元法与分部积分法 21TTSv tdt 2121( )TTSs Ts Tv t dt F bF a f x, a b F x微积分基本公式微积分基本公式 stv t而而？定积分的换元法与分部积分法 f x, a b F x baf x dxF bF a微积分基本公式微积分基本公式

4、牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式证明思路证明思路 ( )baF x记作记作 CxxF )()( xaFxfx dxC baFbfx dxC aaFafx dxCC baf x dxF bF a定积分的换元法与分部积分法牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：)()()(aFbFdxxfba ( )baF x注意注意求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题. .定积分的换元法与分部积分法 1201x dx例例2 求下列定积分求下列定积分1231001()3x dxx13解解 因为因为 在在 上连续，上连续， 是它的一个原函数是它的一个原函数

5、 2yx0,1313yx所以所以 2121edxx 0 11 21ln 1ex 解解 原式原式 定积分的换元法与分部积分法250(3)cossin.xxdx解解 205sincosxdxx205coscosxxd2066cosx.61 20coscosxx 2200sinsinsinx dxxdxxdx11114 204sin x dx解解 定积分的换元法与分部积分法dxxdxx3220223222022222xxxx25262902dxx302 dxx30225解解 原式原式 定积分的换元法与分部积分法 2061 sin2xdx2012sin cosxxdx220sincosxxdx20si

6、ncosxx dx 20cossin0 11 02xx 解解 原式原式 定积分的换元法与分部积分法22112x dx解解122310126xx设设 21,11,12xxf xxx 20f x dx，求，求 7181122663分段函数的积分分段函数的积分计算，应分区间计算，应分区间选取相应的函数选取相应的函数 20f x dx101xdx定积分的换元法与分部积分法350(8)sinsin.xxdx解解xxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 2

7、23sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 定积分的换元法与分部积分法例例3 3 求求 .,max222 dxxx解解由图形可知由图形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122 213102023323xxx定积分的换元法与分部积分法例例4 4 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0

8、 .21e 00分析：这是分析：这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则. .定积分的换元法与分部积分法例例1 4 1ln1exdxx 4 1lnlnex dx51ln5115ex140u du 5151105u 定积分的换元法定积分的换元法换元必须换限换元必须换限 lndxlnux定积分的换元法与分部积分法23311113x dx23321219xdxxx213212321222 2199u？ 223181xx dx2272 29解解 原式原式 2113udu31ux 积分积分 变量变量变变，积分区间积分区间变变定积分的换元法与分部积分法 定积分的换元法定积分的换元法定理定理应

9、用换元公式时应注意应用换元公式时应注意: :（2 2）（1 1）定积分的换元法与分部积分法例例2 830111dxx2013(1)1tdtt 2203ln12ttt 定积分的换元法定积分的换元法换元必须换限换元必须换限 323, , 3txxtdxt dt则 0 0 8 ,2xtxt当时，；当时22031tdtt3 22ln33ln32201131tdtt定积分的换元法与分部积分法 11254xdxx213542uuduu123158udu 133115836uu 定积分的换元法定积分的换元法换元必须换限换元必须换限 21154(5),42xuxudxudu 令，则1311xuxu 当时，；当

10、时，定积分的换元法与分部积分法2201(3).(0)adxaxaxax ,2 t0 x, 0 t解解令令,sintax ,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 2020cossincossin21ttttddt 定积分的换元法定积分的换元法换元必须换限换元必须换限 定积分的换元法与分部积分法证证,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttfdtdx,)(0adxxf定积

11、分的换元法与分部积分法),()(xfxf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20adxxf),()(xfxfaaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 adxxf0)(,)(0adxxfadxxf0)(,)(0adxxfadxxf0)(,)(0adxxf定积分的换元法与分部积分法例例5 222182y dy2202 24y dy4028 2cos xdx404 21 cos2x dx40114 2sin24 2242xx2 sinyx 424sin2cos1tanxxdxx402cosxdx402 sin2x解解 原式原式 定积分的换元法与分部积分法定积分的换元

12、法与分部积分法定积分的分部积分法定积分的分部积分法定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式 ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv定积分的换元法与分部积分法例例6 211xxe dx2211xxxee dx2212xeee 2222eeeee21xxde已积出的部分已积出的部分 要求值要求值 定积分的换元法与分部积分法40(2).1 cos2xdxx解解,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan214040cosln218x.42ln

13、8 40tan21 xxdxxxcossin2140 定积分的分部积分法定积分的分部积分法已积出的部分要求值已积出的部分要求值 定积分的换元法与分部积分法120(3)arcsin.xdx 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 解解 210arcsin xx 210arcsin xxd 定积分的分部积分法定积分的分部积分法已积出的部分要求值已积出的部分要求值 定积分的换元法与分部积分法 2214ln x dx222111ln2lnxxxxdxx2212ln 22ln x dx 222112ln 22ln21xxdx 2212ln 24ln22 x 22ln 2