微专题50与数列奇偶项有关的问题

1、微专题 50与数列奇偶项有关的问题有关数列奇偶项的问题是高考经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比 )等本专题主要研究与数列奇偶项有关的问题，并在解决问题中让学生感悟分类讨论等思想在解题中的有效运用.例题：已知数列an 满足， a n 1 a n 4n 3(n N * )(1) 若数列 an 是等差数列，求 a1 的值；(2) 当 a1 2 时，求数列 an 的前 n 项和 Sn.变式 1 设函数 f(x) 2x 31(x>0) ，数列 an 满足 a1 1，a n f(n N * ，且 n 2) 3xan 1(1) 求数列 an 的通项公式；

2、(2) 设 Tn a1 a2 a2a3 a3a4 a4 a5 ( 1) n 1anan 1 ，若 Tntn 2 对 n N * 恒成立，求实数 t 的取值范围串讲 1 已知等差数列 a n 的前 n 项和为 Sn，且 2a 5 a3 13 ， S4 16.(1) 求数列 a n 的前 n 项和 Sn ；n(2) 设 Tn( 1) i·ai ，若对一切正整数n ，不等式 Tn< an1 (1) n 1an ·2n1 恒成i 1立，求实数的取值范围串讲 2 已知数列 a n的前 n 项和为 Sn，Sn1 Sn1n N * ，满足 ，且 a1 1 ，并且n 1n2正项数列

3、b n 满足 b n 1 2 b n 1 b n2 b n(n N *) ，其前 7 项和为 42.(1) 求数列 an 和 b n的通项公式；(2) 令 cnbnanTn2 n a，求，数列 cn的前 n 项和为 Tn，若对任意正整数，都有anb n实数a的取值范围；(3) 将数列 an ， b n的项按照“当n为奇数时，an 放在前面；当n为偶数时，b n 放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：a1， b1 ，b 2，a2， a3， b3 ， b 4， a4 ，a5 ， b5 ，b 6， ，求这个新数列的前n项和Pn .(2018 ·南通市、 泰州市高三第一次调研测试)若数

4、列 an同时满足： 对于任意的正整数 n，an1 an 恒成立；若对于给定的正整数k，ank an k 2 an 对于任意的正整数n (n > k )恒成立，则称数列an是“ R(k)数列”2n 1 ， n为奇数，(1) 已知 an判断数列 an是否为“ R(2) 数列”，并说明理由；2n ， n为偶数，(2) 已知数列 b n是“ R(3) 数列”，且存在整数p (p >1) ，使得 b 3p 3，b 3p 1 ，b 3p 1 ，b 3p 3 成等差数列，证明： b n是等差数列(2018 ·盐城高三第三次模拟考试)在数列 an 中，已知 a11 ，a2 ，满足 a2n

5、 1，a2n1 1 ，a2 n1 2 ， ，a2 n 是等差数列(其中 n2， nN) ，且当 n 为奇数时，公差为d；当 n为偶数时，公差为d.(1) 当 1 ， d 1 时，求 a8 的值；(2) 当 d 0 时，求证：数列 |a2 n2 a2 n|( n N * )是等比数列；(3) 当 1 时，记满足 am a2 的所有 m 构成的一个单调递增数列为 bn，试求数列 b n的通项公式2 n22 （ n 为偶数），33答案： (1)3 ； (2) 略； (3) b n 2 n22 （ n 为奇数） .33解析： (1)由 1 ，d 1 ，所以 a2 1 ， a2 ， a3， a4 为等差

6、数列且公差为1，2 分所以a4a22 1，又a4，5 ， 8 为等差数列且公差为1 ，所以8 443.4aaaa分(2) 当 n 2 k 1 时， a22 k， a22 k1， a22 k2 ， ， a2 2 k 1 是等差数列且公差为d ，所以 a22 k 1 222 k 22 kd ， 6 分同理可得 a22 k a22 k 1 2 2k1 d，两式相加， 得 a22 k1 a22 k 1 2 2 k1d ；当 n2 k 时，同理可得 a22 k2 a22 k 2 2k d，所以 |a2n 2 a2n| 2 nd .7 分|a2n 2 a2n|2 n又因为d 0 ，所以 |a2n 1a2n

7、 1|2 n1 2( n 2) ，所以数列 | a2 n2 a2 n|(n N * )是以 2 为公比的等比数列.8 分(3) 因为 a2 ，所以 a4 a2 2 d 2 d，由 (2) 知 a22 k1 a22 k 1 2 2k 1 d ，所以 a22 k 1 a22 k1 22 k1d a22 k 3 22 k3d 2 2k 1d ， 10 分2依次下推，得a22k 1 a21 2 1d 2 3d 2 2k 3 d 22 k1 d ，所以a22 k 1 (2 2k3 1) d，2k 1 2k 2 时，2k 122 k3 n 2当2an22k 1(n2)d d，由2 ，n 2a3ama3得 m 2 2k323 ，32 2k 322 n 22所以 b 2k 13 ，所以 b n (n 为奇数 )； 12 分333由 (2) 知 a22 k 2 a22 k 2 2 kda22 k2 22 k 2d 2 2k d ，依次下推，得a22 k 2 a22 2 2d2 4 d 2 2 k 2d 2 2k d，4 （ 2 2 k1 ）所以 a22 k 2 2 d d ，当 2 2k 2 n2 2 k3 时，an a22 k 2 (n 22 k2 )d32 2