ch9-3可降阶的高阶方程1ppt课件

1、),(yxfy 9.3 可降阶高阶微分方程可降阶高阶微分方程 )()(xfyn ),(yyfy 第九章 二阶及二阶以上的微分方程通称为高阶方程二阶及二阶以上的微分方程通称为高阶方程可降阶的方程可降阶的方程通过变量替换降低阶数求解的方程通过变量替换降低阶数求解的方程的的方方程程形形如如 一一. .)()(xfyn 通通过过积积分分可可降降阶阶，1)1(d)(Cxxfyn ，21)2(dd)(CxCxxfyn 次次，连连续续积积分分n可可求求得得通通解解：0),( yyyxF二二阶阶方方程程的的一一般般形形式式为为方方程程求求解解。不不全全出出现现，可可降降为为一一阶阶若若yx,的的通通解解求求方

2、方程程例例2211xyx 解解将方程化为将方程化为，211xy 两边积分，得两边积分，得，11Cxxy ，212ln2CxCxxy ，322132ln6CxCxCxxxxy 故通解为故通解为35243ln6CxCxCxxxy nnCxCxCxCxxfy dddd)(121)(),(yxfy ，令令)(xpy ，则则xpydd ，),(ddpxfxp 化为一阶方程求解，化为一阶方程求解，得得到到),(1Cxpy 两边积分，得到通解两边积分，得到通解21d),(CxCxy ),(yxfy 3)0( 1)0(2 )1(22 yyxyyx，满足初始条件满足初始条件求微分方程求微分方程例例的特解的特解解

3、解，令令)(xpy ，则则xpydd 原方程可化为原方程可化为，xppx2)1(2 分离变量，得分离变量，得，21d2dxxxpp 两边积分，得两边积分，得，12ln)1ln(lnCxp 即即y )1(21xCp ，由由3)0( y，得得31 C，即即有有)1(32xy 两边积分，得两边积分，得，233Cxxy ，由由1)0( y，得得12 C故所求特解为故所求特解为133 xxy的的通通解解求求方方程程例例 2)(3yy 解解，令令)(xpy ，则则xpydd 原方程可化为原方程可化为，pxp 2)dd(，即即pxp dd分分离离变变量量，xppdd 两边积分，得两边积分，得，12Cxp 2

4、1)(41Cxp 即即212)()1(41Cx )()(411222CCCxp 于是原方程的通解为于是原方程的通解为 xCxyd)(4122332)(121CCx 例例4在在何何处处相相遇遇？、的的轨轨迹迹方方程程，并并求求，试试求求质质点点其其大大小小为为度度的的方方向向始始终终指指向向同同时时出出发发，速速）与与，从从点点（速速度度为为常常数数轴轴正正向向运运动动，）出出发发，沿沿从从点点（质质点点BABvAABvyA2,00,0 , 1解：解：,时时刻刻设设出出发发后后，经经t), yxB到到达达位位置置（质质点点),1 vtA，的的位位置置为为（则则此此时时xyB B 的轨迹应满足方程

5、的轨迹应满足方程xyvty 1), 1(tvA),(yxB1OAB（1 1列方程列方程另一方面，另一方面，沿沿曲曲线线走走过过的的弧弧长长）出出发发至至点点，自自点点（),(00yxBvtdxyx2102 代入上式，得代入上式，得dxyyyxx 02121)1(求导，得求导，得两边对两边对x2121)1(yyx （2 2初始条件为初始条件为0)0(, 0)0( yypypy 则则令令,xy), 1 (tvA),(yxB1OAB（3 3解方程解方程可降阶的二阶方程可降阶的二阶方程于是于是21)1(2pdxdpx 分离变量，得分离变量，得)1(212xdxpdp 积分，得积分，得12ln)1ln(

6、21)1ln(Cxpp 即即2112)1(1 xCpp1,0)0(1 Cy得得代代入入初初始始条条件件于是于是212)1(1 xyy其倒数为其倒数为212)1(1xyy 两式相减，得两式相减，得2121)1(21)1(21xxy 积分得：积分得：223)1(311Cxxy 320)0(2 Cy得得，由由初初始始条条件件于是于是B B的轨迹方程为的轨迹方程为32)1()1(312123 xxy)10( x）处相遇。）处相遇。，在点（在点（、所以，所以，时，时，当当321,321BAyx 的通解的通解求方程求方程例例1)()(522 yy解解，令令)( xpy ，则则xpydd 原方程可化为原方程

7、可化为，1)dd(22 pxp即即21ddpxp ，xppd1d2 两种情形分别求解：两种情形分别求解：，得得1arcsinCxp ；即即)sin(1Cxp ，xppd1d2 ，得得2arccosCxp )cos(2Cxp 即即)2sin(2 Cx因因此此，)sin(3 Cxpy ，43)cos(CCxy 通通解解为为543)sin(CxCCxy ),( yyfy ，令令)(ypy ddyypy 则则，),(ddpyfypp 化为一阶方程求解，化为一阶方程求解，得到得到),(1Cypy 分分离离变变量量xCyyd),(d1 yppdd 解解两两边边积积分分，即即可可得得到到通通),( yyfy

8、 的通解的通解求方程求方程例例0)(62 yyy解解，令令)(ypy y则则yppdd原原方方程程化化为为，0dd2 pyppy时时，0 p，有有pypy dd，即即yyppdd ，得得1lnlnlnCyp yCp1 即即)0(也也包包含含在在内内显显然然， p，于于是是有有yCxy1dd ，即即xCyydd1 两边积分，得两边积分，得，21lnlnCxCy 所所以以通通解解为为xCeCy12 的的特特解解，满满足足初初始始条条件件求求方方程程例例2)0(1)0(0)(72 yyyyyy解解，令令)(ypy y则则yppdd原方程化为原方程化为，0dd2 ppyppy，由于由于0 p)2)0(

9、)1(相相矛矛盾盾否否则则，与与 yp，则有则有1dd pypy，即即yyppd1d 两两边边积积分分得得，1lnln)1ln(Cyp ，即即11 yCpy，代代入入2)0(1)0( yy得得11 C从从而而1 yy，则则xyyd1d ，可可得得2ln)1ln(Cxy ；即即12 xeCy，代入代入1)0( y得得22 C故故所所求求特特解解为为12 xey解解代入原方程得代入原方程得解方程解方程, 得得例例8的的通通解解。求求微微分分方方程程21yy )(xpy 令令py 则则21pp dxpdp 211arctanCxp 1tanCxdxdy 1tanCxp 即即 211coslntanC

10、CxdxCxy .3的通解的通解求方程求方程yyy 解解,dydppy 则则),(ypy 设设代入原方程得代入原方程得 ,3ppdydpp ,3ppdydpp 即即，由由12 pdydp ,tan1Cyp 可可得得 .sin21xeCCy 原方程通解为原方程通解为 ,tan1Cydxdy 例例91. 方程方程)(yfy 代换求解代换求解 :可令可令)(xpy 或或)(ypy 一般说一般说, 用前者方便些用前者方便些. 均可均可. 有时用后者方便有时用后者方便 .例如例如,2)( yey 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意的问题解二阶可降阶微分方程初值问题需注意的问题 (1) 一般情况一般情况 , 边解边定常数计算简便边解边定常数计算简便.(