ch8两向量的数量积高等数学ppt课件

1、 一一物物体体在在常常力力F作作用用下下沿沿直直线线从从点点1M移移动动到到点点2M，以以s表表示示位位移移，则则力力F所所作作的的功功为为 cos|sFW (其中其中 为为F与与s的夹角的夹角)启示启示向向量量a与与b的的数数量量积积为为ba cos|baba (其其中中 为为a与与b的的夹夹角角)实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算, 结果是一个数量结果是一个数量.定义定义四、四、 两向量的数量积两向量的数量积ab cos|baba ,Prcos|bjba ,Prcos|ajab ajbbabPr| .Pr|bjaa 数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.结论结论 两

2、向量的数量积等于其中一个向量的模两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积. .数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1交换律：交换律：;abba （2 2分配律：分配律：;)(cbcacba （3 3假设假设 为为数：数： ),()()(bababa 假设假设 、 为数：为数： ).()()(baba 关于数量积的说明：关于数量积的说明：.|)1(2aaa 0)2( ba.ba ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikk

3、jji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为例例 1 1 已已知知4, 1 , 1 a，2 , 2, 1 b，求求(1) ba ；(2) a与与b的的夹夹角角；(3) a在在b上上的的投投影影.解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222

4、222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 例例 2 2 证明向量证明向量c与向量与向量acbbca)()( 垂直垂直.证证cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(.Pr,Pr,3),(1, 2,3,32. 3AjBjBAbababaBbaABA 求求设设例例28376)3()32(.22 bbaababaBA解解.3128Pr,3728Pr,31,3722 BBAAjABABjBBBAAABA.,593, 3,22,3,25babaqpqpbq

5、pa 求求已已知知例例qpqqppqpqpbababa 1236)6()6()()(2qpqp 123622qpba 6解解qpqqppqpqpbababa 402516)54()54()()(2qpba54 又又593 qp 129836qp 409258166 qp.15 ba则则 设设O为为一一根根杠杠杆杆L的的支支点点，有有一一力力F作作用用于于这这杠杠杆杆上上P点点处处力力F与与OP的的夹夹角角为为 ，力力F对对支支点点O的的力力矩矩是是一一向向量量M，它它的的模模|FOQM sin|FOP M的的方方向向垂垂直直于于OP与与F所所决决定定的的平平面面, 指指向向符符合合右右手手系系

6、.实例实例五、五、 两向量的向量积两向量的向量积LFPQO 向量向量a与与b的的向量积向量积为为 bac sin|bac (其其中中 为为a与与b的的夹夹角角)定义定义c的的方方向向既既垂垂直直于于a，又又垂垂直直于于b，指指向向符符合合右右手手系系. .关于向量积的说明：关于向量积的说明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.abc )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin , 0 证证ba/)(0sin . 0sin| bababa/或或0 向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：

7、（1）.abba （2分配律：分配律：.)(cbcacba （3假设假设 为为数：数： ).()()(bababa 例例：已已知知,ba为为两两非非零零不不共共线线向向量量，求求证证：)()( baba)( 2 ba. .abbabbaababa )()(证证明明)2ba （,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量积的坐

8、标表达式zzyxbaaa 000, 0 yxaa几何上几何上|ba 表示以表示以a和和b为邻边为邻边的平行四边形的面积的平行四边形的面积.xb、yb、zb不能同时为零，但允许两个为零，不能同时为零，但允许两个为零，例如，例如，abbac 此式仅是一个记号此式仅是一个记号向量积还可用向量积还可用三阶行列式表示三阶行列式表示:zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出例例 4 4 求求与与kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的单单位位向向量量.解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22

9、c|0ccc .5152 kj例例 5 5 在顶点为在顶点为)2 , 1, 1( A、)2 , 6, 5( B和和)1, 3 , 1( C的三角形中，求的三角形中，求AC边上的高边上的高BD.ABC解解D3, 4 , 0 AC0 , 5, 4 AB三角形三角形ABC的面积为的面积为|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |521225BD |21BDS | AC. 5| BD例例6 设以向量设以向量 和和 为边做平行四边形，求平行为边做平行四边形，求平行四边形中垂直于四边形中垂直于 边的高线向量。边的高线向量。aba0,: auauabuaubu垂直于垂

10、直于则则设高线为设高线为解解aba u.,0)(:22aaabbuaabaaabaab 即即例例 7 7 设向量设向量pnm,两两垂直，符合右手规则，且两两垂直，符合右手规则，且4| m，2| n，3| p，计算，计算pnm )(.解解),sin(|nmnmnm , 8124 0),( pnm pnm )( cos|pnm .2438 依依题题意意知知nm 与与p同同向向，的最小值。的最小值。时，时，满足关系式：满足关系式：求当求当常数常数向量向量已知已知例例rcbacrcjibjia ),(,3,3cba 解解 sincb sinbr sinbar 10 ba又又. 1min rABODOD

11、babba cos解解ADbSbabaOAB 2sinADODSODA21 ODAS 42sin2sincos22 abbaba最大。最大。时，时，S4 bbabba 21面面积积最最大大？为为何何值值时时，夹夹角角当当证证明明：例例：已已知知向向量量ODAbabbabaSODAbOBaOAODA ,)2;2)1,2,2 bbabba 21定义定义 设已知三个向量设已知三个向量a、b、c，数量，数量cba )(称为这三个向量的称为这三个向量的混合积混合积，记为，记为cba. .cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 设设,kcjc

12、icczyx 混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式六、向量的混合积六、向量的混合积（1向量混合积的几何意义：向量混合积的几何意义： 向量的混合积向量的混合积cbacba )(是这样是这样的一个数，它的绝对值表的一个数，它的绝对值表示以向量示以向量a、b、c为棱的为棱的平行六面体的体积平行六面体的体积.acbba 关于混合积的说明：关于混合积的说明：)2(cbacba )(acb )(.)(bac （3）三向量）三向量a、b、c共面共面. 0 cba 已已知知2 cba， 计计算算)()()(accbba .解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)

13、()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba . 4 例例9例例 1 10 0 已已知知空空间间内内不不在在一一平平面面上上的的四四点点),(111zyxA、),(222zyxB、),(333zyxC、),(444zyxD, 求求四四面面体体的的体体积积.解解由由立立体体几几何何知知，四四面面体体的的体体积积等等于于以以向向量量AB、AC、AD为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体积积的的六六分分之之一一.61ADACABV ,121212zzyyxxAB ,131313zzyyxxAC ,141414zzyyxxAD 14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV 式中正负号的选择必须和行列式的符号一致式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.思考题思考题已已知知向向量量0 a，0 b，证证明明2222)(|bababa .accbbacbaaccbbacb