6-345正态总体参数的区间估计ppt课件

1、主要内容主要内容2学时）学时）一、参数的区间估计一、参数的区间估计二、单个正态总体均值的区间估计重点）二、单个正态总体均值的区间估计重点）三、单个正态总体方差的区间估计重点）三、单个正态总体方差的区间估计重点）四、两个正态总体参数的区间估计四、两个正态总体参数的区间估计第第3-53-5节节 双侧区间估计双侧区间估计 一、参数的区间估计一、参数的区间估计1、问题的提出、问题的提出 (2). 究究竟竟 哪哪一一组组样样本本观观测测值值算算出出的的根根据据样样本本更更可可得得到到 的的估估计计量量 ，但但是是随随机机变变量量，无无近近真真值值法法判判断断接接这种形式的参数估计方法称为区间估计这种形式

2、的参数估计方法称为区间估计 . 12(,) ,. 希希望望通通过过样样本本确确定定一一个个包包含含真真值值的的区区间间同同时时给给出出该该区区间间包包含含真真值值的的可可靠靠程程度度12()1P ( (1 1) )点点估估计计量量 是是 的的近近似似值值, ,不不一一定定是是真真值值, ,误误差差如如何何 估估计计? ? 近近似似值值精精确确程程度度如如何何? ?2、双侧区间估计的概念、双侧区间估计的概念 11221212( ; )., .,(, .,)(, .01 , .,(),(,(),)1)1.nnnnXF xXXXXXXXXXXXPXX 设设总总体体 的的分分布布中中含含有有一一未未知

3、知参参数数是是总总体体 的的一一 样样本本. . 对对于于给给定定的的若若由由样样本本能能确确定定两两个个统统计计量量和和使使得得则则称称区区间间为为参参数数的的 置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间. .12(,.,) :nXXX 置置信信区区间间下下限限1 : :置置信信水水平平. .: :显显著著性性水水平平( (参参数数估估计计不不准准的的概概率率) )12(, .,) :nXXX 置置信信区区间间上上限限随机变量随机变量阐明：阐明：12, ., , ,(,),() nXXX ( (1 1) )均均为为样样本本的的函函数数, ,是是随随机机变变量量, ,样样本本观观测测值值不不同同

4、 区区为为随随机机区区间间间间也也不不同同. .(,), . ()1( (,), :)1PXXP ( (2 2) ) 连连续续型型时时, ,可可找找到到任任意意置置信信水水平平的的区区间间使使得得 离离散散型型时时, ,不不一一定定能能找找到到任任意意 置置信信水水平平的的区区间间要要求求(3) (,),. ,(,),. . .即即置置信信 水水平平增增大大时时, ,置置信信区区间间长长度度也也增增大大估估计计精精度度降降低低置置信信水水平平降降低低时时, ,置置信信区区样样本本容容量量一一定定时时 估估计计精精度度与与置置信信水水平平相相间间缩缩短短估估计计互互矛矛精精度度提提高高盾盾(,)

5、 (4)(4)置置信信水水平平一一定定的的置置信信区区间间并并不不唯唯一一, ,有有多多个个. .3、区间估计的意义、区间估计的意义 ( , )1 即即随随机机区区间间覆覆盖盖参参数数真真值值 的的概概率率为为()1P 置置信信区区间间满满足足: : 12, .,100()%(100()(,).100 %(100).nxxx 或或理理解解为为: :反反复复抽抽样样1 10 00 0次次( (每每次次样样本本容容量量均均为为n n) ), ,每每个个样样本本观观测测值值确确定定一一个个置置信信区区间间在在这这1 10 00 0个个置置信信区区间间中中, ,包包含含 真真值值的的区区间间约约占占不

6、不包包含含 真真值值的的区区间间约约1 1- -有有有有占占或或或或个个1 1- -, ,(.) 注注意意: :有有了了样样本本观观测测值值后后, ,则则置置信信区区间间完完全全确确定定, , 不不再再是是随随机机区区间间, ,要要么么包包含含参参数数要要么么不不包包含含4、区间估计的主要步骤、区间估计的主要步骤1 (, ., )(, ) nGG XXG UGG ( (1 1) )根根据据样样本本构构造造枢枢轴轴量量: :, ,要要求求的的 分分中中包包含含待待估估参参布布已已知知, ,且且其其数数 , ,但但不不能能包包含含其其它它参参数数分分布布不不依依赖赖于于其其它它未未. .并并且且知

7、知参参数数. .1, , (, )1 . P aG UbGa b ( (2 2) )对对于于给给定定的的置置信信水水平平, ,根根据据 的的分分布布定定出出常常数数使使得得 22(0,1), .GbNaGGt a a. .若若 的的分分布布对对称称( (如如分分布布) ), ,则则 2221 , .aGbGGF b b. .若若 的的分分布布不不对对称称( (如如分分布布) ), ,则则 (,1,) aG Ub ( (3 3) )若若能能从从 得得出出等等价价的的不不等等式式, , 则则( () )即即为为 的的一一个个置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间. .,a ba b 注注: :选

8、选择择不不唯唯一一, ,选选择择的的标标准准以以置置信信区区间间长长度度最最短短为为标标准准二、单个正态总体均值的区间估计二、单个正态总体均值的区间估计(重点重点)2122(,),., nXNXXXXXS 设设总总体体为为总总体体 的的样样本本, ,分分别别为为样样本本均均值值 样样本本方方差差, ,置置信信水水平平为为1 1- -2(,)XNn (0 ,1)/XNn 从从而而/ XGn 令令(1) G确确定定枢枢轴轴量量(2) ,a b确确定定常常数数/()1PXabn 使使21., 已已知知方方差差均均值值的的区区间间估估计计)(t Ox2/ 2/ z2/ z /2/2(0,1), , a

9、zNbz 对对称称分分布布故故令令(3) , 解解不不等等式式确确定定( () )/2/2: /Xzzn 解解不不等等式式/2/2: XzXznn 得得( (随随机机区区间间) )/2/2: ()1P XzXznn 满满足足/2 1P Xzn 点点估估计计的的误误差差估估计计: :0.95(1.96,1.96)XXnn 例例置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间: : ,0.100.050.01 实实际际问问题题中中 常常取取或或或或96. 1025. 0 z0.0052.576z 0.99(2.576,2.576)XXnn 置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间: : 0.95 1.96

10、Xn 置置信信水水平平为为的的误误差差估估计计: :211( 155,1) ( ,),0.32, .,1.2, 3.4 , 0.6 , 5.6 ,0.95nPXXNXX 例例例例从从某某一一鱼鱼塘塘中中捕捕获获的的鱼鱼, ,其其含含汞汞量量是是一一随随机机变变量量. .已已知知其其中中未未知知 设设样样本本观观测测值值为为求求 的的置置信信区区间间1(1.23.40.65.6)4x 解解: : 样样本本均均值值7 . 2 0.32,4,n0.320.16n0.02510.95, /2=0.025, 1.96z 0.0250.025 : xzxznn 置置信信水水平平0.950.95的的置置信信

11、区区间间0.95(2.387, 3.014) 的的置置信信区区间间为为2 ,10,(:)1050 1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200. :(1)? (2)( ,8),(0.05).XN 例例某某灯灯泡泡厂厂生生产产了了一一大大批批灯灯泡泡 现现从从中中抽抽取取了了个个进进行行寿寿命命试试验验 得得数数据据如如下下 单单位位 小小时时问问该该厂厂生生产产的的灯灯泡泡平平均均寿寿命命大大约约是是多多少少若若灯灯泡泡寿寿命命试试估估计计平平均均寿寿命命 所所在在范范围围x 解解: :( (1 1) ) 平平均均寿寿命命 的的点点估估计计 82 2

12、 , 10,n0.02510.95, /2=0.025, 1.96z 1(10501100.13001200)114710 x 2 22 2 11471.9611471.961010 即即 (1.9, 61.96): xxnn 置置信信水水平平0 0. .9 95 5的的置置信信区区间间 1145.251148.75 整整理理后后为为2 20.95 1.9610X 置置信信水水平平为为的的误误差差估估计计: :留意：求置信区间时，直接套公式即可，不必写推导过程留意：求置信区间时，直接套公式即可，不必写推导过程解解,12,10 n 1 12502.92,10, 1 (0.05).x 包包装装机机

13、某某日日开开工工包包装装了了袋袋面面粉粉, ,测测得得其其平平均均重重量量假假设设面面粉粉重重量量服服从从正正态态分分布布, ,且且标标准准差差为为试试求求平平均均重重量量的的置置信信区区间间 取取0.05, 当当时时 502.92,x 0.050.050, (.95 )xuxunn 的的置置信信区区间间: :1010(502.92 1.96*, 502.92 1.96*)1212(497.26, 508.58)0.051.96u 课堂练习一课堂练习一1/ ( )Xt nSn 由由P P1 13 38 8定定理理3 3, ,22., 方方差差未未知知 均均值值的的区区间间估估计计/ XGSn

14、令令(1) G确确定定枢枢轴轴量量(2) ,a b确确定定常常数数/()1PXabSn 使使/2/2(1), (1), (1) t natnbtn 对对称称分分布布故故令令/2/2(1)(1)1/XPtntnSn 即即 (3) , 解解不不等等式式确确定定( () )(tfOx2/ 2/ t2/ t /2/2(1)(1): SSXtnXtnnn 1 1- - 置置信信区区间间/2/2: (1)(1)/XtntnSn 解解不不等等式式/2 (1)1SP Xtnn 绝绝对对误误差差估估计计: :375.3/20.025(1)(11)2.201tnt查查表表得得23()( ,),12,3100,25

15、20,3000,3000,3600,3160,3560,3320,2880,2600,3400,2540.95%(:) .XN 例例 假假定定初初生生婴婴儿儿 男男孩孩 的的体体重重随随机机抽抽查查名名新新生生婴婴儿儿 测测得得其其体体重重为为试试以以的的置置信信水水平平估估计计新新生生男男婴婴儿儿的的平平均均体体重重单单位位 克克12211: (3057)121iisx 样样本本标标准准差差1: (31002520.34002540)305712x 解解12, 10.95, =0.05n 375.3375.330572.20130572.2011212得得EXECL计算，并计算误差。计算，并

16、计算误差。4 16506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493496 506 502 509 496. 0.95 例例 一一大大批批糖糖果果，随随机机取取袋袋，称称重重如如下下：设设糖糖果果的的重重量量近近似似服服从从正正态态分分布布，求求总总体体均均值值的的的的置置信信区区间间0.0250.025(11), (0.951:1) ssxtxtnn 的的置置信信区区间间 28183295 整整理理后后为为0 055., n 21.,5,:1259,142.5.,(0.05) .xs 用用某某仪仪器器测测量量锅锅炉炉温温度度重重复复次次 样样本本信信息息为

17、为若若测测得得的的温温度度数数据据服服从从正正态态分分布布试试求求温温度度真真值值所所在在范范围围2( ,) ,XN 解解: :测测量量温温度度温温度度真真值值理理解解理理解解为为0.05(1)(4)2.776tnt 双双侧侧临临界界值值 0.050.05(4), (0.95: 4)ssxtxtnn 的的置置信信区区间间142.5142.5 (1259-2.776*, 1259+2.776*)55即即(1244.2, 1273.8) 课堂练习二课堂练习二222(1)2(1)nSn 由由P P1 13 38 8- -定定理理 知知: :22(1) nSG 令令22(1),()1nSbaP ab

18、选选取取使使1222/2/2(1),(1)anbn 分分布布非非对对称称, , 令令)(tftO22/ 2/ 2/ 22/1 三、单个正态总体方差的区间估计三、单个正态总体方差的区间估计(重点重点)等尾置信区间的原则等尾置信区间的原则2221/2/22(1)(1)(1)nSnn 解解不不等等式式: : 2222/21/22(1)(1)(,)(11)(1)nSnSnn 得得的的置置信信区区间间: :2222/21/2(1)(1)1(,)(1)(1)nsnsnn 标标准准差差的的置置信信区区间间: :2221/2/22(1)(1)111nnSPnn ( (相相对对) )误误差差估估计计: : 22

19、/20.025(1)(11)21.9n221/20.975(1)(11)3.82n225()(,),12,3100,2520,3000,3000,3600,3160,3560,3320,2880,2600,3400,2540.(0.05) .XN 例例 假假定定初初生生婴婴儿儿 男男孩孩 的的体体重重随随机机抽抽查查名名新新生生婴婴儿儿 测测得得其其体体重重为为根根据据上上述述数数据据对对新新生生男男婴婴儿儿体体重重的的方方差差, ,标标准准差差区区间间估估计计: 12, 0.05n 解解223, 3057, 375.3xs由由例例222220.0250.975(1)(1)0.95(,)(1)

20、(1)nsnsnn 的的置置信信区区间间: :2211*375.311*375.3(,)21.93.82 (70752, 405620) 2221/2/22(1)(1)11nnSnn 误误差差估估计计: : 220.3471.991S 26,0.95 例例 糖糖果果的的重重量量近近似似服服从从正正态态分分布布，求求总总体体方方差差标标准准差差的的的的置置信信区区间间. .EXECL计算计算( 70752,405620) 22220.0250.975(1)(1)0.95(,)(1)(1)nsnsnn 标标准准差差的的置置信信区区间间: :(265.99, 636.88) 2221.(,),9,4

21、5.4, 0.0325. 0.95.Nxs 厂厂生生产产的的零零件件重重量量服服从从正正态态分分布布现现从从该该厂厂生生产产的的零零件件抽抽取取 个个 测测得得样样本本均均值值样样本本方方差差试试求求总总体体方方差差的的置置信信区区间间9: n解解= =0 0. . 0 05 5, , 221/20.975(1)(8)2.1797n 8 0.0325 8 0.0325(,)17.53452.1797 (0.0148, 0.1193) 22/20.025(1)(8)17.534n 222220.0250.975(1)(1)0.95(,)(8)(8)nsns 的的置置信信区区间间: :课堂练习三课

22、堂练习三四、两个正态总体参数的区间估计四、两个正态总体参数的区间估计 实际问题中，经常需要比较两个或以上产品质量、技实际问题中，经常需要比较两个或以上产品质量、技术水平，项目收益率高低、风险大小等。归纳为两个正态术水平，项目收益率高低、风险大小等。归纳为两个正态总体均值差、方差比的估计。总体均值差、方差比的估计。1222112212122122(,),(,). , ., .,nnXNYNXXXXY YYYX YXXYYSS 设设总总体体总总体体设设为为总总体体 的的样样本本, ,为为总总体体 的的样样本本, ,这这两两个个样样本本相相互互独独立立. .分分别别为为总总体体的的样样本本均均值值分

23、分别别为为总总体体的的样样本本方方差差, ,给给定定置置信信水水平平为为1 1- -121. 两两个个总总体体均均值值差差的的置置信信区区间间. .2212(1) , 均均为为已已知知22121212(,), (,) , .XNYNX Ynn由由于于且且相相互互独独立立22121212(,)XYNnn 因因此此22121212()() (0,1)nnXYGN 标标准准化化后后得得 221212/ 2121: ()XYznn 得得的的置置信信区区间间222212(2) , ,但但未未知知121212122121() ()(2)nnwXYt nnS 由由P P1 13 39 9定定理理4 4补补充

24、充, ,时时 1212/212/21211() ()(2)(2)1nnwXYPtnntnnS 令令 121112/212(2)1: )wnnXYtnnS 得得的的置置信信区区间间22112212( 1)( 1)(2)wnSnSSnn 其其中中1122127 ,500(/ ),1.1(/ ),20496(/ ),1.2(/ ).0.95.A Bxm ssm sBxm ssm s 例例为为比比较较两两型型号号步步枪枪子子弹弹的的枪枪口口速速度度, ,随随机机地地取取A A型型子子弹弹1 10 0发发, ,得得到到枪枪口口速速度度的的平平均均值值为为标标准准差差随随机机取取 型型子子弹弹发发, ,得

25、得到到枪枪口口速速度度的的平平均均值值为为标标准准差差假假设设两两总总体体都都认认为为近近似似服服从从正正态态分分布布. .且且由由生生产产过过程程可可认认为为方方差差相相等等. .求求两两总总体体均均值值差差的的一一个个置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间11110,500(/ ),1.1(/ )nxm ssm s 解解: :由由已已知知, , 22220, 496(/ ),1.2(/ ).nxm ssm s 221210.95, (), 未未知知且且两两样样本本相相互互独独立立20.05, 0.025 1221020228nn0.025/212(2(28)2.048)tntn 2211

26、2212( 1)( 1)(2)wnSnSSnn 229*1.119*1.21.168828 121112/212120.95: (2)wnnxxtnns 的的置置信信区区间间0.02511(500 496(28)*1.1688)1020t (40.93)(3.07,4.93) 2212212128162.6 170.2 172.7 165.1 157.5 :175.3 177.8167.6 180.3 182.9. (,),(,), ,0.9.ABNN 例例 测测得得两两民民族族中中各各5 5位位成成年年人人的的身身高高( (以以c cm m计计) )如如下下: :民民族族民民族族设设样样本本

27、分分别别来来自自总总体体其其中中未未知知 两两样样本本独独立立 求求的的置置信信区区间间12:5, 10.9, nn 解解且且两两样样本本相相互互独独立立0.050.0520.05, (552)(8)1.8595tt 222222(5-1)*6.05 +(5-1)*5.864(6.05 +5.86 )5.965528wS 1211/212210.9: (2)wnnxytnns 的的置置信信区区间间1155( 11.16 1.8596*5.96*)( 11.16 7.01)( 18.17, 4.15) 12 165.62,6.05, 176.78,5.86xsys 计计算算得得 2212(3)

28、，均均为为未未知知时时2212122/211: ( ) SSnnXYtv 近近似似的的置置信信区区间间221212221211222221111()()()SSnnSSnnnnv 22221212SSW以以，分分别别代代替替（1 1）中中的的，得得 22121212()()SSnnXYG tv近近似似服服从从 分分布布，自自由由度度 算算法法如如下下： Gt v近近似似服服从从22112222221122129( 160) 10,84600,200 . 4300,250(,),(,).0.95.PABAxsBxsNN例例例例2 2随随机机地地取取只只 牌牌灯灯泡泡只只 牌牌灯灯泡泡，测测量量它

29、它们们的的寿寿命命( (以以小小时时计计) )，得得到到下下列列数数据据： 牌牌寿寿命命的的样样本本均均值值样样本本方方差差牌牌寿寿命命样样本本均均值值样样本本方方差差. .设设样样本本依依次次来来自自正正态态总总体体参参数数均均未未知知，试试求求的的置置信信水水平平为为的的近近似似置置信信区区间间 12 108nn解解: :由由已已知知, , , 222211224600, 200 . 4300, 250 xsxs 0.05, 221212221211222221111()()()SSnnSSnnnnv 22222200250108222002501191078()13.29()() /20

30、.025 (13)2.1604tvt 1265.20, 22121212/2121: ( )SSnnxxtv的的置置信信区区间间近近似似 22200250(46004300)2.1604)108(300234.8)(65.2, 534.8) 12.有有理理由由认认为为 2211221210( 161) (,),(,).0.95.PNN例例例例3 3一一出出租租车车公公司司的的经经理理组组织织了了一一项项研研究究，研研究究在在相相同同的的条条件件下下，使使用用新新型型轮轮胎胎和和常常规规轮轮胎胎的的行行驶驶，比比较较每每升升汽汽油油能能行行驶驶的的公公里里数数，今今测测得得如如下下数数据据（以以km/lkm/l计计）设设两两样样本本分分别别来来自自正正态态总总体体参参数数均均未未知知，两两样样本本独独立立，试试求求的的置置信信水水平平为为的的近近似似置置信信区区间间 12 12nn解解: :由由已已知知, , 215.75, 1.108. xs225.61, 0.988. ys 车号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 新型轮胎 4.2 4.7 6.6 7.0 6.7 4.5 5.7 6.0 7.4 4.9 6.1 5.2常规轮胎 4.1 4.9 6.2 6.9 6.8