弹性力学读书报告

1、莈弹性力学读书报告芇一、弹性力学的发展及基本假设肃弹性力学是伴随着工程问题不断发展起来的，它是固体力学的一个分支，是 研究弹性体由于外力作用或温度改变等原因而发生的应力、 应变和位移的一门学 科。最早可以追溯到伽利略研究梁的弯曲问题、 胡克的胡克定律。 之后牛顿三定 律的形成以及数学的不断发展，后经纳维、柯西、圣维南、艾瑞、基尔、里茨、 迦辽金等人的不断努力。 使得弹性力学具有了严密的理论体系并且能都求解各种 复杂的问题，能够解决强度、 刚度和稳定性等问题。 目前弹性力学的相关理论在 土木工程、水文地质工程、石油工程、航空航天工程、矿业工程、环境工程以及 农业工程等诸多领域得到了广泛的应用。蚃

2、弹性力学的几个基本假设。 1 、连续体假设：假设无题是连续的，没有任何 空隙。因此，物体内的应力、应变、位移一般都是逐点变化的，它们都是坐标的 单值连续函数。 2、 弹性假设：假设物体是完全弹性的。在温度不变时，物体 任一瞬间的形状完全取决于在该瞬间时所受的外力。而与它过去的受力状况无 关。当外力消除后， 它能够恢复原来的形状。 弹性假设就是假设物体服从虎克定 律，应力与应变成正比关系。 3、 均匀性假设：假设物体是均匀的，各部分都具 有相同的物理性质，其弹性模量和泊松系数是一常数。 4、各向同性假设：假设 物体内每一点各个方向的物理和机械性质都相同。 5、小变形假设： 假设物体的 变形是微小

3、的， 即物体受力后， 所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸， 应变 都很小。这样， 在考虑物体变形后的平衡状态时， 可以用变形前的尺寸来代替变 形后的尺寸。肀二、三维方程肆 2.1 三维应力状态下的平衡微分方程膃物体处在平衡状态，其内部的每一点都处于平衡状态。使用一个微六面体代表 物体内的一点， 则作用在该微六面体上的所有力应满足平衡条件， 由此可以导出 平衡微分方程。螀如图一所示， 取直角坐标系的坐标轴和边重合， 各边的长度分别为 dx，dy ，dz在微六面体X=0面上，应力是（T xT xy T xz；在X=dX面上的应力，薇图一螅根据应力函数的连续性并按泰勒级数对 x=0 的面展开，略去

4、高阶项，可得芃同理，可由 y=0， z=0 面上的应力表示 y=dy， z=dz 面上的应力。最后，所有各 面上的应力如图一示。膀当弹性体平衡时，P点的平衡就以微元体平衡表示。这样，就有 6个平衡方程 艿考虑微单元体沿 x 方向的平衡，可得袇整理上式并除以微单元体的体积 dxdydz，得幕x ' yx zx X =0 (2-1.1).x .:y-z薁同理，建立y、z方向的平衡条件，可得:x:y:z:x=0-0(2-1.2)蚆这就是弹性力学的平衡微分方程，其中 X, 丫, Z是单位体积里的体积力沿x, y, z方向上的分量。莃考虑图一中微单元体的力矩平衡。对通过点C平衡于x方向的轴取力矩

5、平衡得羂于是力矩平衡方程在略去高阶项之后只剩两项葿由此可得莅同理可得蒂这既是剪应力互等定理。它表明：在两个互相垂直的平面上，与两个平面的交 线垂直的剪应力分量的大小相等，方向指向或者背离这条交线。根据剪应力互等 定理，式（1-1 ）中包含的九个应力分量中只有 6个是独立的，这6个应力描述 了物体内部的任意一点的应力状态。莃 2.2 三维应力状态下的几何方程袇 2.3 三维应力状态下的物理方程蒈物理方程的矩阵形式薂其中矩阵 D 称为三维应力状态下的弹性矩阵蒀三、在极坐标系下的基本方程蕿 3.1 应力坐标变换膇我们知道，直角坐标系和极坐标系变量之间的关系为称为蚂弹性体在一定的应力状态下，可以在已知

6、直角坐标系中求解应力分量，也可以 在极坐标中求解。 因而应力分量在两种坐标系中的表达式就有一定的联系， 应力的坐标变化。袁在直角坐标系中求出三角微元体的应力分量为 芁在直角坐标系下的应力分量表示可在极坐标系下表示，变换后可得方程羆 3.2 极坐标下的平衡方程螂 3.3 极坐标下的几何方程为莂四、弹性力学解题的主要方法蝿 4.1 位移解法螅位移解法是以位移分量作为基本未知量的解法。把平衡方程、本构方程和几何 方程简化为三个用位移分量表示的平衡方程， 从中解出位移分量。 然后再代回几 何方程和本构方程，进而求出应变分量和应力分量。袂 4.2 应力解法螃应力解法是以应力分量作为基本的未知数的解法。由

7、协调方程、本构方程和平 衡方程简化出六个用应力分量表示的协调方程， 再加上平衡方程和力边界条件解 出六个应力分量。 然后由本构方程求出应变分量， 再对几何方程积分即可得到位 移分量。由于应力与应变间的胡克定律是代数方程， 应变解法的求解难度不会比 应力解法有实质性的改善， 而边界条件用应力表示则方便很多， 所以很少采用应变解法蒀4.3应力函数解法螈在位移解法中，引进三个单值连续的位移函数，使协调方程自动满足，问题被 归结为求解三个用位移表示的位移方程。应变分量可由位移偏导数的组合来确定。与此类似，在应力解法中也有可以引进某些自动满足平衡方程的函数，称之为应力函数，把问题归结为求解用应力函数表示

8、的协调方程。应力分量可由应力 函数偏导数的组合来确定。羂应力函数解法既保留了应力解法的优点 （能直接求出应力分量），又吸收了位移 解法的思想（能自动满足平衡方程，基本未知数降为三个），所以是弹性力学理 论中最常用的解法之一。衿五、弹性力学的应用举例羈例一：悬臂梁（1）（2）薆确定应力函数的边界条件羂图芀以A （ 0，h/2）为起始点，调整二 ax by c中的任意常数使蚀A = 0 ex.0;厂 a : y芅选左手坐标系且M以逆时针为正，应力函数在边界条件上满足莆逆时钟向:=M ；.x=Ry；r创一 Rx (b)r蚁顺时钟向:Wr=-M；.x肇其中，r为流动边界点。Rx， Ry和简化的主矢量和

9、逆时钟向主距。M分别是从A点起算的边界载荷对r占莈在下边界AB上，载荷处处为零。由（b）式得:荽= 0;勺兰XEI、=0；=0r內rj = h/2(d)肂左边界AC是放松边界，不必逐点给定©及其偏导数值。在边界 CD上，按顺时钟向公式（c）得qx2)； £*= (P+qx);时=0 0 < l A2exrrly = -h/ 2(e)初 -(M Px肇（2）选择域内应力函数薅由应力函数沿主要边界的分布规律可看出，©沿x方向按二次多项式规律变化,沿y方向的规律未知，由此可选2x篆二 fo(y) xfi(y) f2(y) (f)2芈带入边界条件(d (e)可以定出

10、待定函数的边界条件祎当 y=h/2 时，fo=fi= f2=0dfo dfi df2 薅0(g)dy dy dy薀当 y= 2 时，fo= M ; fi= P; f2= q羀鱼二叫二並“ (h)dy dy dy艿(3)求待定函数艿由边界条件(g)可得出各待定常数：AE = 0；c4；Dh3，2h22P3PPE_h3；F =0;G;R =-薅2h2H2Mq ；K =0;,3M qh L =一 h310h；2h 80N 二M肂进而可得224yh1hyq80y- hy :3-/Vp 一 23 一 3yll4+y ：3-/Vq- 2y :4+yII3-/VM -2节荿最后带回到公式（f）中得4y2h2

11、£）普（ih 80qx2)(1Px 1螃（4）求应力肁把（k ）式代入应力公式葿可以得到xy123 y(Mh6I I2、-3(P qx)( y ) h42 y y23Px qx) q (4 2)h h 52y)2hh22、(I)芁例二：圆环或圆筒受均布压力衿图三蕿设一轴向长度很长的圆环或者圆筒的截面如图三示，起内外径分别为a, b,内径表面受内压力qa和外压力qb作用薃考虑边界条件薈将式A硏=p + B(1+2ln r) +2C ra蚕-B(3 2ln r) 2C(b) r环二巾=°羄代入后得到蚁式中有三个未知数,值条件，即蝿要使其单值，必须有莅将其代回应力分量式（肃上述应

12、力表达式中A2B(1 2ln a) 2C - -qa莁 a( c)A2 B(1 2ln b) 2C =qb b连个方程不能确定。对于多连体问题，位移须满足位移单B=0，由式（c）得b）得应力分量为(3)(4) 螈若qb=O (而qaz 0),则径向应力和环向应力分别为螆可见，二r总是压应力，；总是拉应力。(5)(5) 薁若qa=0 (qbz0),径向应力和环向应力分别为腿可见，二r , -总是压应力。袈(4)若b；：(qa =0)，则转化为具有圆形孔道的无限大弹性问题，则有膇例三：矩形薄板的位移，受力如图芃图四膂取坐标轴如图所示，把位移函数设为羈所以芄不论各系数如何取值，上式都满足固定边的位移

13、边界条件:羅按瑞利-里兹法求解。板的应力边界条件为羁板上边界:肇板下边界:蚅板右边界:Xumdxdy亠 iiXUmdScAn螀*蒂将位移试函数代入式:UYVmdxdy 亠 i iYvmdS/Bns匚膈将位移试函数代入应变势能表达式，通过积分运算，将结果代入上面六个方程可确定待定系数。其结果是：所得的位移分量为：u = 0 V = TxE仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwende