正方形难题组卷

1、正方形中考培优题一.选择题（共6小题）1 .（2014-）如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点昆，生分别是正方形的中心，则 这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A. nB. n - 1C. （） n ： D. n第1题第2题2. （2008贵港）如图所示，正方形ABCD的对角线AC, BD相交于点0, DE平分N0DC交0C于点E,若AB=2, 则线段0E的长为（）A.B.C. 2 -D. -13. （2005-） 一块边长为a的正方形桌布，平辅在直径为b （a>b）的圆桌上，若桌布四角下垂的最大长度 相等，则该最大长度为（）A.B.C.D.4. （2005-）用边长为1的正

2、方形纸板,制成一幅七巧板（如图），将它拼成“小天鹅”图案（如图）, 其中阴影部分的面积为（）A.5. (20050 如图,A. « = P >r6. (2003)如图,D.）D.。二B二rH分别在AD、AB、BC. CD边上,8. C.在方格纸中，。，B, r这三个角的大小关系是（B. a V B <rC. a > P >r将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、F、G、且是某个小正方形的顶点，若四边形EFGH的而积为1,则矩形ABCD的面积为（）第6题第7题A. 2B.C.D.二.填空题（共30小题）1. （2009-）如图，正方形ABCD边长为1,动

3、点P从A点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的 运动路程为2009时，点P所在位置为；当点P所在位置为D点时，点P的运动路程为_ （用含自然数n的式子表示）.2. （2008-）已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点0. E、F分别是边AB、BC上的点，若 AE=4cllI, CF=3cm,且 0E_L0F,则 EF 的长为 cm.第1题第2题第3题3. （2008）如图，把边长是3的正方形等分成9个小正方形，在有阴影的两个小正方形ABCD和EFGH （包 括边界）分别取两个动点P、R，与已有格点Q （每个小正方形的顶点叫格点）构成三角形，则当APaR 的而积取得最大值2

4、时，点P和点R所在位置是.4. （2007*）如图，正方形ABCD的边长为4, MNBC分别交AB, CD于点M、N,在MN上任取两点P、Q, 那么图中阴影部分的而积是.5. （2007-）如图所示，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成正方形EFGH,中间阴影为正方形.已知甲、乙、 丙、丁四个长方形而积的和是32cm：,四边形ABCD的而积是20c/，则甲、乙、丙、丁四个长方形周长 的总和为 cm.第4题第5题第6题6. （2007<）如图，正方形ABCD的边长为cm,对角线AC, BD相交于点0,过。作0DAB于过D,作 DDBD于点上，过D二作D：DAB于D,，依此类推.其中的0D,+D4+

5、DJVDD= cm.7. (2006)如图，已知正方形ABCD的边长为2, ZkBPC是等边三角形，则4CDP的面枳是 BPD的面积是.第8题8. (2006)用边长为1的正方形材料制作的七巧板拼成一幅上家摆手舞图案，其中舞者头部占整个身体 面积的_ .9. (2006*)如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE： EC=2： 1, AE与BD交于点F,则AFD 与四边形DEFC的而积之比是 .10. (2006-)如图，依次连接第一个正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去.若第一个正方形边长为1，则第n个正方形的而积是

6、11. (2006)现有若干边长不相等但都大于4cm的正方形纸片，从中任选一，如图从距离正方形的四个顶 点2cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则中间阴影部分的面积是 cm'：若 在上述正方形纸片中再任选一重复上述过程，并计算阴影部分的面积，你能发现什么规律：一2 cm第11题第12题12. (2004)过边长为1的正方形的中心0引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A, B两点， 则线段AB长的取值围是.13. (2004-)给出一个正方形，请你动手画一画，将它剖分为n个小正方形.那么，通过实验与思考，你 认为这样的自然数n可以取的所有值应该是 .14. (

7、2000)在正方形ABCD所在的平面，到正方形三边所在直线距离相等的点有 一个.15. (2013-)如图，E, F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF.连接CF交BD于点G,连接BE 交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是.第9题16. (2013-)如图，已知线段AB=10, AC=BD=2,点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正 方形APEF和PHKB,设正方形对角线的交点分别为6、0二，当点P从点C运动到点D时，线段02二中点G 的运动路径的长是 .17. (2013-)如图，正方形ABCD的边长为3,点E, F分别在边AB, BC &

8、#177;, AE=BF=1,小球P从点E出发 沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当小球P第一次碰到点E 时，小球P与正方形的边碰撞的次数为 ,小球P所经过的路程为 .第16题第17题第18题18. (2012)如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对 角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去.若正方形ABCD的边长记为a，按上述方法所作的正方 形的边长依次为a：, as, at, , ar.,则an二.19. (2012地区)以边长为2的正方形的中心0为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于 A、

9、B两点，则线段AB的最小值.第19题第20题20. (2012-)如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形0ABC,边0A、0C分别在x轴、y轴上， 如果以对角线0B为边作第二个正方形0BBC,再以对角线OB1为边作第三个正方形0B显照此规律作 下去，则点B：o：的坐标为.21. (2012-)如图，正三角形和正方形的面积分别为10, 6,两阴影部分的面积分别为a, b (a>b),则 (a-b)等于.22. (2012-)如图，正方形AxBEC, A=B同G, AJBJBG,城上陋&,按如图所示放置,使点、M、%、 Ak . &在射线0A上，点B：、B：、Bs、Bu

10、 . Bn在射线0B上.若NAOB=45° , 0B尸1,图中阴影部分三角 形的而积由小到大依次记作S“ S二，Ss,，S，则Sf.第21题第22题第23题23. (2011-)如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，0：、0二是其中两个正方形的中心，则阴影部分 的面积是 .24. (2011-)如图，平面4条直线L、1二、1八L是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是1个单位长 度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点A、C分别在直线L、L上，该正 方形的面积是 平方单位.第24题第25题第26题25. (2011D如图，以正六边形ABCDEF的边AB为边，

11、在形作正方形ABMN,连接MC,则NBCM的大小为26. (2010)如图，已知小正方形ABCD的面积为1,把它的各边延长一倍得到新正方形ABCD：把正方 形A,BCD,边长按原法延长一倍得到正方形以此下去，则正方形ABCD的面积为27. (2010-)如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过顶点B、D作DE_La于点E、BF_La于点 F,若 DE=4, BF=3,贝ij EF 的长为28. (2010)把三大小相同的正方形卡片A, B, C叠放在一个底面为正方形的盒底上,底而未被卡片覆盖 的部分用阴影表示.若按图1摆放时，阴影部分的面积为S,：若按图2摆放时，阴影部分的面枳为工，

12、 则 S, S：(填 “>”、"V” 或“二”).第27题第28题29. （2009-）如图.边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转 45° ,则这两个正方形重叠部分的而积是 .第29题第30题30. （2009贺州）如图,正方形ABCD的边长为1cm, E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE,则图中阴 影部分的面积是 cm：.二.解答题（共15小题）1. （2012崇左）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持 与AB长相等，问在E、F移动过程中：（1）NEAF的大小是否有变化？

13、请说明理由.（2） AECF的周长是否有变化？请说明理由.2. （2011-）在平面直角坐标系xOy中，边长为a （a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相 交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、v轴的正半轴都不 包含原点0）,顶点C、D都在第一象限.（1）当NBA0=45°时，求点P的坐标：（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在NA0B的平分线上：（3）设点P到x轴的距离为h,试确定h的取值围，并说明理由.3. （2011-） ZiABC 是一等腰直角三角形纸板，NC=90° , AC=

14、BC=2,（1）要在这纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1）,比较甲、乙两种剪法，哪 种剪法所得的正方形面积大？请说明理由.（2）图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为si：按照甲种剪法，在余下的AADE和4BDF 中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为s：（如 图2）,则s:二：再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同 的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为s”继续操作下去，则第10次剪取时，s卡（3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和.M4. (2010-)如图，四边形A

15、BCD是正方形，4ABE是等边三角形，M为对角线BD (不含B点)上任意一点, 将BY绕点B逆时针旋转60,得到BN,连接EX AM、CM.(1)求证：AMBENB：(2)当M点在何处时，AM+CM的值最小：当V点在何处时，AM-BM+CM的值最小，并说明理由：(3)当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长.5. (2010<) (1)如图1,在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE、BF交于点0, NA0F=900.求 证:BE=CF.(2)如图2,在正方形ABCD中，点E、H、F、G分别在边AB、BC. CD、DA上，EF、GH 交于点 0, NF0H=90。，E

16、F=4.求 GH 的长.(3)已知点E、H、F、G分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点0, ZF0H=90° , EF=4.直 接写出下列两题的答案： 如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成，则GH二 : 如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成，则GH二 (用n的代数式表示).6. (2009-)如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE_LAG于点E, BFJ_AG于点F.(1)求证:DE-BF=EF：(2)当点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由；(3)若点G为CB延长线上一点，其余条件不变.请你在图中

17、画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的 数量关系(不需要证明).图图7. (2009-)如图(1),已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边 在直线MN的上方作正方形AEFG.(1)连接 GD,求证：AADG名ABE；(2)连接FC,观察并猜测NFCN的度数，并说明理由：(3)如图(2),将图(1)中正方形ABCD改为矩形ABCD, AB二a, BC二b (a、b为常数)，E是线段BC上一 动点(不含端点B、C ),以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG,使顶点G恰好落在射线CD上.判断 当点E由B向C运动时，NFCN的大小是否总保持不变？若NFCN

18、的大小不变，请用含a、b的代数式 表示tanNFCN的值：若/FCN的大小发生改变，请举例说明.8. (2009湘西州)如图，等腰直角AABC腰长为a,现分别按图1,图2方式在AABC接一个正方形ADFE 和正方形PMNQ.设aABC的而积为S,正方形ADFE的而积为S1,正方形PMNQ的面积为(1)在图1中，求AD： AB的值；在图2中，求AP： AB的值；(2)比较S,+S,与S的大小.A9. （2008改编）如图1,正方形ABCD和正三角形EFG的边长都为1,点E, F分别在线段AB, AD上滑动, 设点G到CD的距离为X,到BC的距离为y,记NHEF为Q （当点E, F分别与B, A重

19、合时，记« =0° ）. （1）当。二0°时（如图2所示），求x, y的值（结果保留根号）：（2）当a为何值时，点G落在对角形AC上？请说出你的理由，并求出此时x, y的值（结果保留根号）;（3）请你补充完成下表（结果保留根号）：a 0°30°45°60°90°10. （2008）正方形ABCD的对角线交点为0,两条对角线把它分成了四个而积相等的三角形.（1）平行四边形ABCD的两条对角线交点为0,若aAOB, BOC, ACOD, ADOA面积分别为S“工，工， So试判断Si, Ss, S” 的关系,并加以证明

20、：（2）四边形ABCD的两条对角线互相垂直，交点为0,若AOB, ABOC, ACOD, ADOA面积分别为S1，S2, S” St,试判断S“ S3, S” 的关系,并加以证明；（3）四边形ABCD的两条对角线交点为0,若AAOB, BOC, ACOD. ZkDOA面积分别为Si, S：, S» So试 判断S“ S=, S“ Si的关系，并加以证明；（4）四边形ABCD的两条对角线相等，交点为0, ZBAC=ZBDC,若AOB, AB0C, AC0D, ZDOA面积分 别为S“ Sc, S” Si,试只用S, S或只用心, Si表示四边形ABCD的面积S.11. （2007-）正

21、方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2和，对角线BD和FH都在直线1上，0,、0二分别 是正方形的中心，线段0。的长叫做两个正方形的中心距，当中心0二在直线1上平移时，正方形EFGH 也随之平移（其形状大小没有变化）.（所谓正方形的中心，是指正方形两条对角线的交点：两个正方 形的公共点，是指两个正方形边的公共点）（1）当中心0二在直线1上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距0Qk ：（2）设计表格完成问题：随着中心0：在直线1上平移，两个正方形的公共点的个数的变化情况和相应的 中心距的值或取值国.12. （2007）如图，在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于点E,交BC的延长线于点G.（1）求证：ADEgAXDE；（2）过点C作CH_LCE,交FG于点H,求证：FH=GH：（3）设AD=1, DF=x,试问是否存在x的值，使4ECG为等腰三角形？若存在，请求出x的值：若不存在, 请说明理由.13. （2005-）已知正方形ABCD的边长AB二k（k是正整数），正APAE的顶点P在正方形，顶点E在边AB上, 且AE=1.将APAE在正方形按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、连续地翻 转n次，使顶点P第一次回到原来的起始位置.图1图2（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这