圆心角、弧、弦、弦心距(辅助线方法小结)

1、1初三数学初三数学圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【同步教育信息同步教育信息】一. 本周教学内容： 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系知识要点归纳知识要点归纳 1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。 2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 注意：要正确理

2、解和使用圆心角定理及推论。 （1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等。 如图，同心圆，虽然，但，而且，弦心 AOBCODABCDABCD距也不相切。OCABD （2）要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念与“所对”一词的含义，从而正确运用上述关系。 下面举四个错例： 若 中，则，OACDBCEFDCEADFB 这两个结论都是错误，首先 CE、FD 不是弦，CEA、BFD 不是圆心角，就不可以用圆心角定理推论证明。2OBDACEF （3）同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的“弧”是指

3、同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。 （4）在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对的圆心角相等”，在“同圆中，相等的弦所对的劣弧相等”等。 5. 1的弧：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成 360 份，我们把每一份这样的弧叫做 1的弧。 一般地，n的圆心角对着 n的弧，n的弧对着 n的圆心角，也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。而不是角与弧相等，在书写时要防止出现“”之类的错误。因为角与弧是两个不能比较变量的概念。相等的AOBAB弧一定是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧。 6

4、. 圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系 （1）在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。 当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦心距逐步增大，趋近于半径。 （2）在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心角较大，反之也成立。 注意：不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。 7. 辅助线方法小结： （1）有弦的中点时，常连弦心距，进而可利用垂径定理或圆心角、弦、弧、弦心距关系定理；

5、另外，证明两弦相等也常作弦心距。 （2）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。 （3）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法： （I）连过弧中点的半径；（II）连等弧对的弦；（III）作等弧所对的圆心角。3【典型例题典型例题】 例例 1. 已知：如图，在O 中，弦 AB、CD 的延长线交于 P 点，PO 平分APC。 求证：（1）ABCD；（2）PAPCOAPCMNDB12 例例 2. 如图，在O 中，AB2CD，那么（ ）OBADC A ABCDB ABCDC ABCDD ABCD.2222与的大小关系不可能确定 4 例例 3. 如图，为 的弦，、

6、交于 、 。CDOACBDOAOBCDFE 求证：OEOFOCDABFE 例例 4. 如图，O 中 AB 是直径，COAB，D 是 CD 的中点，DEAB。 求证： ECEA2OABCDE 5 例例 5. 如图，是等边三角形，是 直径，、ABCABOAEEFFBCECF交 AB 于 M、N。 求证：AMMNNBOCABEFMN 【模拟试题模拟试题】一. 选择题。 1. 在O 与O中，若中，则有（ ） AOBA O B A. B. ABA BABA B C. D. 的大小无法比较ABA BABA B与 2. 半径为 4cm，120的圆心角所对的弦长为（ ） A. B. C. D. 5cm4 3c

7、m6cm3 3cm 3. 在同圆或等圆中，如果圆心角BOA 等于另一个圆心角COD 的 2 倍，则下列式子中能成立的是（ ） A. B. ABCD 2ABCD2 C. D. ABCD2ABCD2 4. 在O 中，圆心角AOB90，点 O 到弦 AB 的距离为 4，则O 的直径的长为（ ） A. B. C. 24D. 164 28 2 5. 在O 中，两弦 ABCD，OM、ON 分别为这两条弦的弦心距，则 OM、ON 的关系6是（ ） A. B. OMONOMON C. D. 无法确定OMON 6. 如图，AB 为O 的直径，C、D 是O 上的两点，则BAC20ADCDDAC 的度数是（ ）DA

8、OBC A. 70B. 45C. 35D. 30二. 填空题。 1. 一条弦把圆分成 1：3 两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为_。 2. 一条弦等于其圆的半径，则弦所对的优弧的度数为_。 3. 在半径为 R 的圆中，垂直平分半径的弦长等于_。 4. 在O 中，弦 CD 与直径 AB 相交于 E，且AEC30，AE1cm，BE5cm，那么弦 CD 的弦心距 OF_cm，弦 CD 的长为_cm。 5. 已知O 的半径为 5cm，过O 内一已知点 P 的最短的弦长为 8cm，则OP_。 6. 已知 A、B、C 为O 上三点，若度数之比为 1：2：3，则ABBCCA、AOB_，BOC_，COA_。

9、7. 已知O 中，直径为 10cm，是O 的，则弦 AB_，AB 的弦心距AB14_。三. 解答题。 1. 如图：已知，OA 为O 的半径，AC 是弦，OBOA 并交 AC 延长线于 B 点，OA6，OB8，求 AC 的长。7OACB 2. 如图，中，O 在的三边上所截得的弦长都相等，求BOCABCA70ABC的度数。OABC 3. 已知：如图，在O 中，弦 ABCD，且 ABCD 于 E，BE7，AE3，OGAB 于G，求：OG 的长？8OABCDGE 4. 已知：如图，求OFE 的度数。ABCDOE ABOF CDOEF，25OFEBDCA 5. 如图，C 是O 的直径 AB 上一点，过点

10、 C 作弦 DE，使 CDCO，使的度数为AD40，求的度数。BE9OCABDE 6. 如图：已知，O 中，OB、OC 分别交 AC、DB 于 M、N。ABBCCD 求证：是等腰三角形。OMNOCBADNM 107. 如图，O 中弦 ABCD，且 AB 与 CD 交于 E。求证：DEAE。OACEBD例例 1 分析：分析：要证明两弦相等，可利用弧、圆心角、弦心距之中的一种相等来证，由于已知角平分线 PO 过圆心，利用弦心距相等可以解决。 证明：证明：（1）过 O 点作 OMAB 于 M，ONCD 于 N PO 平分APC OMON ABCD（在同圆中，相等的弦心距所对的弦相等） 此题还有几种变

11、式图形，道理是一样的。 弦 AB、DC 的交点在圆上，即 B、P、D 三点重合。 若 PO 平分APC，求证：PAPC。11OAPC 弦 AB、CD 交于 P 点（P 点在圆内） PO 平分APC，求证：ABCD。OBADCP 此题还可将题设与结论交换一下，即已知 ABCD，求证：PO 平分APC，证法与上面一样，利用弦心距等。 （2）在 RtPOM 和 RtPON 中， 12OMPONPOPOP POMPONAAS() PMPN12 AMABCNCDABCD1212， AMCN PMAMPNCN 即 PAPC例例 2 分析：分析：要比较与的大小，可以用下面两种思路进行：ABCD2 （ ）把的

12、一半作出来，然后比较与的大小；112ABABCD （ ）把作出来，变成一段弧，然后比较与的大小。222CDCDAB 解法一：解法一： 过 点作于 ，则，OOF ABEAFFBABAEEBAB1212 ABCDAECDAB212， AFFBAFFB，（等弧对等弦） 在中，AFBAFFBABAFAB2 AFCD 222AFCDABCD，即 故选 A。OBAFEDC 解法二：解法二： 如图，作弦，连结，则DECDCEDECDCE12 在中，有CDECDDECE 2CDCE13 ABCDABCE2， ABCEABCD，2OBADEC例例 3. 证法一：证法一：连结 OC、OD OCODCD ， ACB

13、DCOABOD ，（等弧所对的圆心角相等） COFDOE OEOFOCDABFE 证法二：证法二：过 O 点作 OMCD 于 N 交O 于 M14 CMMD 又，CABDAMMB AOMBOM 又， FNOENOONON90 OFNOEN OFOEOCDABFEMN 例例 4. 分分在同圆中，要证，考虑分别求出和的度数，而弧的ECEAECEA2度数又等于它们所对的圆心角的度数，则关键是求出COE、AOE 的度数。 证明：证明：连结 OE EDABCO AB/ /， ED CO DCO是中点 OEOCODOEDEO，1230 EOD903060 EC的度数是60 EOADEO30 AE 的度数是

14、30 ECEA215OABCDE例例 5. 解析一：解析一：由于 、 是半圆的三等分点，故连结，知，因而也为等边三角形。所以，即，则，可求得，知是直径的三等分之一，同理，也是的三分之一，故问题得证。EFAEBOEAOEAOEEABCBAAEBCAMEBMCAMBMAMABBNAB 6012/OCABEFMN 证法一：证法一：连结 OE、AE，设等边ABC 的边长为 2a ABOAEEFFB为 直径，16 EOAAEB等于的度数13 EOAAOEOa1318060 ， AOE为等边三角形 AEAOa 又， EAOCBAAEBC60/ AMEBMC AMBMAEBCaa212 AMAB13 同理，

15、BNAB13 MNABABAB2313 AMMNNB 解析二：解析二： 连结，易知，也可求得，进而可求得与半径的比。OEOEACAMMOAM/ 证法二：证法二： 如图，连结 OE，设 AC2a，则 ACAB2OE2a CAMAOEACOE60 ，/ OMAMOEACaa212 OMAMAMAMOA3223，即 故AMAB13 31ABBN同理， AMMNNB 解析三：解析三： 要证 AMMNNB，即证 AM：MO2：1，故联想到三角形的重心性质，若能证明M 是ACG 的重心，问题得证。（三角形的重心即为三角形三条中线的交点到顶点的距离等于交点到对边中点距离的 2 倍）17OCABEFMNG 证

16、明三：证明三： 连结 AE，并延长交 CO 的延长线于 G 设 AC2a，则有 AEOAa（证法一中已证明AOE 为等边三角形） ACBC，AOOB AOCG，CABGAO60，AOAO AOCAOG OCOG，且 AGAC2a AEa，AEEGa 即 E 为 AG 中点，O 为 CG 中点 M 为ACG 的重心 AMAOaAB232313 同理，NBAB13 AMMNNB18试题答案试题答案一. 选择题。 1. D2. B3. D4. B5. A6. C二. 填空题。 1. 902. 3003. 4. 3R14 2， 5. 3cm6. 60，120，1807. 5 2522，三. 解答题。 1. 过 O 点作 ODAB 于 D ADACAB1210， 根据射影定理：OAAD AB2 ADAC3672.，ACOBD 2. BOC125 提示：提示：O 是中B、C 的角平分线交点。ABC 3. OG2 过