线性代数期末试题

1、kx y 2z 0 x ky 2z 0有非零解，且k21,那么k的值为。kx y kz 03.假设4X 4阶矩阵A的行列式|A 3, A是A的伴随矩阵那么A =。4.A为n n阶矩阵，且A23A 2E，贝U A1。5.i,2,3和i,2,3是R3的两组基，且131223,21223,321223,假设由基1,2,3至基1,2,3的基变换公式为(1,2,3) = (1,2,3)A,贝UA=222 .9.二次型fX1,X2,X3X13X22X3的正惯性指数为4 2 010.矩阵A 2 4、单项选择每题2分，共12分、填空题12351.行列式(每题232034004000线性代数试题附答案,共20分

2、6.向量a( 1,0,3, 5),(4, 2,0,1),其内积为_3111117.设A 212 , B 210 ,那么AB之迹tr(AB)12311 18.假设3 3阶矩阵A的特征值分别为2.假设齐次线性方程组1, 2,3,那么A1的特征值分别为A、1B、2C、3D、4X3X40的根底解系中含有解向量的个数是x2x302.齐次线性方程组X12X22x1A、1B、2C、3D、43.向量组a1(1,1,1,0),a2( )(0,k,0,1),a3(2,2,0,1),a4(0,0,2,1)线性相关， 那么A、-1B、-2C、0D、14. A、B均为n阶矩阵，且ABA B A2B2，那么必有A、B=E

3、B、A=EC、A=BD、AB=BA2 1 15.a (1, k,1)T是矩阵A1 2 1的特征向量，那么k 1 1 2A、1或2B、-2 016.卜夕0矩阵中与矩阵012001或-2C、1或-2D、-1或200合同的是51003 00A、020B、0 20002100C、01 00 052 0 0D0 2 0k1.矩阵AaQa20a3bia4b1aib2a2b2aab2a4b2aibaa2b3ajb3a4baaAa2b4aab4a4b4，其中a,0,b0,i1,2,3,4,那么r(A)三、计算题每题9分， 共63会a。bib2bnGa001 .计算行列式C20a20Cn00an0,i1,2,n

4、)其中aixx22x33x412.当a取何值时，线性方程组x13x26 x3x43有解？在力程组有解时,x15x210 x3x453x15x210 x37x4a用其导出组的根底解系表示方程组的通解。3.给定向量组ai(1, 1,0,4), a2(2,1,5,6), a3(1, 1, 2,0), a4(3,0,7, k)。当k为何值时，向量组心且鬲尊线性相关？当线性组线性相关时，求出极大线性无关组，并将其们向量用极大线性无关组线性表示。3 0 0364.设矩阵A011 ,B 11，且满足AX 2X B,求矩阵X014235.A为n阶正交矩阵, 且|A|0。(1)求行列式|A|的值；(2)求行列式

5、|A+E|的值。1 0 16.实对称矩阵A 0 2 0(1)求正交矩阵Q,使Q-1AQ为对角矩阵；(2)求A10。7.将二次型f(x1,x2,x3) x122x2x22x1x22x1x34x2x3化为标准形，并写 出相应的可逆线性变换。四、证明题(5分)A、B均为n阶矩阵，且A、B、A+B均可逆，证明:(A-1+B-1)-1=B (A+B)-1A1m1，那么(2A)14.非齐次线性方程组AmnXn1禹1有唯一解的充分必要条件是5.向量a3,1 T在基11,2T,22,1丁下的坐标为6.假设n阶矩阵A、B、C有ABC=E,E为n阶单位矩阵那么C17.假设n阶矩阵A有一特征值为2,那么A 2E、填

6、充题 每题2000100200n 100n0001n1=001.2.分，共20分n为正整数 。、13.设A= 08.假设A、B为同阶方阵，那么A B)(A B)AB2的充分必要充分条件是.9.正交矩阵A如果有实特征值,那么其特征值2x1x22x1x3是正定的，那么t的取1百范围是_。二、单项选招f每/、题2分，共10分a22a101.假设a11a12a21a226,那么a222a210的值为021A、12B、-12C、18AB O,那么以下一定成立的是A、A=0或B=0B、A、B都不可逆10.二次型f(xi,x2,x3)D、02.设A、B都是n阶矩阵且2x2223x2tx33.向量组ai, 8

7、2, a、线性相关的充分必要条 件是A、81,82,as中含有零向量B、ai,a2,as中有两个向量的对应分量成比例C、ai,a2,as中每一个向量都可用其余s 1个向量线性表示D、ai,a2,as中至少有一个向量可由其余s 1个向量线性表示4.由R3的基81282383,282,383到基8,82,83的过渡矩阵为1 2310 0A、0 20B、2 1 00 033 0 11231 0 0C、010D、2 1 00013 0 15.假设n阶矩阵A与B相似，那么B、它们具有相同的特征向量D、存在可逆矩阵C,使CTAC B三、计算题每题9分, 共63分123n 111001.计算行列式0220n

8、00C、A、B中至少有一个不可逆D、A+B=OA、它们的特征矩阵相似C、它们具有相同的特征矩阵2x1X2x3x41X1X2x3x427x12x22x34x487x1X2x35x4b当a、b为何值时有解，在有解的0002n000n 12线性方程组情况下，求其全部解用其导出组的根底解系线性表示3.求向量组81(2,1,1,1),a2( 1,1,7,10),83(3,1, 1, 2),84(8,5,9,11)的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示。正准交基，并求向量a 3,2,1T在所求的标准正交基之下的坐标。2227.化二次型fX1, X2, X3x15y2x34X1X22X

9、1X3为标傕形，与出相对应的非奇异线性变换。并指出二次型的秩、正惯性指数及符号差。四、证明题7分列上去，得010114.设AX B X,其中A111,B201 01531 1 000 05.矩阵A 1 1 0与B03 0,相似0 0 300 X1求X；2求可逆矩阵P,使P1APB6给定R3的基司(1,1,1)T,a2(1,0,1)T 23(1,2,3),求XT,将其化为R3的一组标准、如果A是n阶矩阵n2),且r(A)n 1,试证r(A ) 1、填空题每题2分,共20分1.1602.-23.274.5.216.-9217.78.1,1213、单项选择每题9.110.31.A2.B3.C4.D2

10、分, 共12分5.C6.B、计算题每题9分,共63分1.将第2列的号倍,第3列的电倍a21列的勺倍统统加到第1an原式biGb2C2bnCnbb2bnaa2an0a0000a20000ana。aia2an(a0)i 1Si2.先对方程组的增广矩阵进行初等行变换i(0, 2,1,0)T( 4,1,0,1 )T，原方程组的全部解为X0ki ik2 2,ki,k2为任意常数。3.由向量组司足且回为列向量组作矩阵1121131 01023103310211031A052 705270 022460 k024k 120 04 k101 2131 2041 0020 1010 1010 1010 0110

11、 0110 0110 00k 140 00 k140 00k 14当k14时,向量组ai,a2,a3,a4线性相关。向量组的极大线性无关组是ai,a2,a3,且a42aia2a3,4.由AX=2X+B得，(A-2E) X=B110036112311 1231-136130 2422A1510150 484435107a0 242a 31 123110 0400 242201 2110 000a 500 00a 50 000000 000所以，当a印寸，方程组有解，特解(0,1,0,0),T其导出的根底解系为所以有X=(A 2E)1B=01111012231,因为，|A 0,所以A1.AAAAT

12、6.A(E AT)A|EATA E,所以,E A (2)2,所以A的4特征值为10的特征向量(1,0 1)T,标准正交化32的特征向量(1,01)T,0,2G,0,(0,1,0)T,标准正交化,对应与特征丁(0,1,0)To由此可得正交矩阵Q(a1,a2,a3)120121.2012使得Q1AQQTAQ0 0 00 2 0A为对角矩阵29A10QA10Q10290 0 20292100029a3O(X1X22X2X3)27.二次型f(XMX)2X2X3(* X2X3)2(X2X3)22X3.,2)Ta2；对应丁特征值11 T(F7,0,)，.一2、2yX1X2X3Y2X2X3y3X3所作的可逆

13、线性变换为X1yy2X2y2y3X3y3可将原二次型化为标准型222fV1 V2 y.四、证明题(5分)证明：(A1B1)B(A B)1A A1B(AB)1AB1B(AB)1A1B(AB)1AA1A(AB)1A1(BA)1(AB)1A或B(A B)1AA1(AB)B1A1AB1BB1、填空题1.(E2.试题二3.12124.r(A)r(Ab) n1 55.(-)3 3二、单项选择题6.AB7.08.AB=BA9.1或-110.tI1. A 2.C3.D三、计算题4. B5. An(n 1)23n 1201001原式=02200002 n000n 1 1100220n(n 1)2002 n00n

14、 1 1(1广匝旦(n1)! ( 1)nn0n0n00001(n1)!22. A1112100231331301111993a1430000a5662b140000b810008时线性方程组有解全部解为XrCI1C2 2C1,C2为任意常数。213811八413151 0153311150312八12A171 9060 1-24331 10,a2是向量组2 11a， a2,a3,acccc0 0000 9360 0004的一个极大线性无关组(123.a,1,0,0)T,(0,1,1,0)T,r (1,2,1,0,3)T且a34a1矣233133a123a24.由AX+B=X(E-A)即X=(EA)1B(EA)X (EA)1B2323131313135.由丁A与B相似，M E AE B,可得x 2所以，A的特征值为0,23,32对丁0,A对应的特征向量为a1(1, 1,0)T对丁23,A对应的特征向量为a2(0,0,1)T对丁32,A对应的特征向量为a3(1,1,0)T10 111 0 1 ,使P AP B01 06.先正交化得,令y2X22X3，即作线性变换X2y22y3y3X3222可将二次型化为标傕形fyy26y3二次型的秩是3,正惯性指数是2,符号差是1四、证明题A的每一列向量均为AX。的