两个变量的线性相关

1、2.3变量间的相关关系2.3.1 变量之间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关内容要求1.理解两个变量的相关关系的概念（易错点）.2.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系（重点）.3.会求线性回归方程（难点）.知识点1变量间的相关关系1 .变量之间常见的关系函数关系变量之间的关系可以用函数表示相关关系变量之间有f的联系，但不能完全用函数表示2.相关关系与函数关系的区别与联系类别区别联系函函数关在f的条件卜口以相互数系中两个变量可世-种确定性关系；函转化，对于具有线性相关关关数是一种因果关系，有这样的因，必有这系的两个变量来说，当求得系样的果.例如，圆的半径由1增大为2,

2、其其线性回归方程后，可以用面积必然由冗增大到4冗一种确定性的关系对这两个 变量间的取值进行评估； 相关关系在现实生活中大 量存在，从某种意义上讲， 函数关系是一种理想的关系相关关模型，而相关关系是一种更相系是一种非确定性关系.例如，吸烟与患 肺癌之间的关系，两者之间虽然没有确定为一般的情况关的函数关系，但吸烟多的人患肺癌的风险关会大幅增加，两者之间即是一种非确定性系的关系；相关关系不f是因果关系，也可能是伴随关系【预习评价】(正确的打“，”，错误的打“X”)(1)相关关系和函数关系都具有确定性.()粮食产量和当年的降雨量是一种函数关系.()圆的面积与其半径是函数关系.()提示(1)X 函数关系

3、具有确定性，相关关系不具有确定性.2 2) X 粮食产量和当年的降雨量是相关关系.，由S= /可知圆的面积与其半径是函数关系.知识点2散点图及正、负相关的概念1 .散点图将样本中n个数据点(x, yi)(i = 1,2,，n)描在平面直角坐标系中，以表示具有 相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.2 .正相关与负相关(1)正相关：散点图中的点散布在从左上鱼到右上负的区域.(2)负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域.【预习评价】观察下列散点图，具有相关关系的是()A.B.C.D.解析 是函数关系，是相关关系，是相关关系，不具有任何关系 答案 D知识点3回归直线方程1 .回归直

4、线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.2 .回归方程：回归直线对应的方程叫做回归直线的方程,简称回归方程.A A A3 .最小二乘法：求回归直线方程y=bx+ a时，使得样本数据的点到回归直线的距 离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. AA4 .用最小二乘法求回归方程中的a, b有下面的公式：nxi x yi yA 匚1b;nxiyi nx yi = 1n一xi xi=1nx2 nx2i =1nyi.i = 1a= y bx,.1 n其中x= xi , ni1这样，回归方程的斜率为b,纵截距为a,即回归方程为y= bx+

5、a.【预习评价】过(3,10), (7,20), (11,24)三点的回，日方程是()人A.y= 1.75+ 5.75x人B.y= 1.75+5.75x人C.y=5.75+1.75x人D.y= 5.75 1.75x解析 x = 7, y=18,回归方程一定过点(x, y),代入A, B, C, D选项可知,选C.答案 C题型一相关关系的判定【例1】(1)下列变量之间的关系不是相关关系的是()A.二次函数y=ax2+bx+c中，a, c是已知常数，取b为自变量，因变量是判别 式 A= b24acB.光照时间和果树亩产量C.降雪量和交通事故发生率D.每亩田施肥量和粮食亩产量解析 在A中，若b确定，

6、则a, b, c都是常数，A= b24ac也就唯一确定了,因此，这两者之间是确定性的函数关系；一般来说，光照时间越长，果树亩产量 越高；降雪量越大，交通事故发生率越高；施肥量越多，粮食亩产量越高，所以B, C, D是相关关系.故选A.答案 A（2）以下是在某地搜集到的不同楼盘房屋的销售价格y（单位：万元）和房屋面积x（单位：m2）的数据：房屋间积x/m211511080135105销售价格y/万元49.643.238.858.444画出数据对应的散点图；判断房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系，如果有相关关系，是正相关还是负相关？ 解 数据对应的散点图如图所示通过以上数据对应的散点图可

7、以判断，房屋的销售价格和房屋面积之间具有相关关系，并且是正相关.规律方法 判断两个变量的相关性的常用方法散点图法：通过画散点图，观察图中点的分布特征，直观给出判断.表格、关系式法：通过表格或关系式直接进行判断 .【训练1】 观察下列关于两个变量x和y的三个散点图，它们从左到右的对应关系依次为（）A.正相关、负相关、不相关B.负相关、不相关、正相关C.负相关、正相关、不相关D.正相关、不相关、负相关x与y正相关，第二个图中的点杂乱无解析 由第一个图可知整体呈上升趋势,章，不具有相关性，第三个图整体呈下降趋势，x与y负相关选D.答案 D题型二求回归自.线的上行【例2】 某种产品的广告费支出x（单位

8、：百万元）与销售额y（单位：百万元）之 间有如下对应数据:x24568y3040605070画出散点图；（2）求回归方程.解（1）散点图如图所示(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算I12345xi24568yi3040605070xiy601603003005602 xi416253664552x=5, y=50,xi = 145,xiyi = 1 380i = 1i = 1Xiyi 5 x y于是可得，b =-11 380 5X5X50145 5 X52=5x2 5x2i= 1a=y bX = 50 6.5 X5 = 17.5.于是所求的回归方程是y = 6.5x+17.5.【迁移11

9、 若例2的条件不变，利用例2中所求得的回归方程，计算若广告费支出增加一个单位，销售额增加多少？人解 由回归万程y= 6.5x+17.5可知，当x增加一个单包时，y大约增加6.5.【迁移2】若例2的条件不变，要使销售额提升到100(单位：百万元)，则广告费至少要支出多少？解 由6.5x+ 17.5=100,解得x= 12.7,即广告费至少要支出12.7(单位：百万元).规律方法1.求线性回归方程的步骤第一步，计算平均数x, y;nn第二步，求和 xiyi,X2；i = 1 i =1第三步，计算xi x yi yA i = 1b ;n2xi xi = 1nxiyi-nx yi =1a=y bx;

10、八八八第四步，写出回归直线方程V= bx+ a.2.求线性回归方程的注意事项(1)利用散点图判定两个变量是否具有线性相关关系，注意不要受个别点的位置 的影响.一一 A A . A A .(2)求回归方程，关键在于正确求出系数 a, b,由于a, b的计算量大，计算时应 仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生的错误 .【训练2】已知x, y之间的一组数据：x1234567y2.93.33.64.44.85.25.9则y关于x的线性回归方程为解析因为x1+2+3+4+5+6+7二z=4,2.9+ 3.3+ 3.6+ 4.4 + 4.8+ 5.2 + 5.9= 4.3,7所以(xi 4)(yi 4.3

11、)= 3X ( 1.4) 2X ( 1)+ 0.7+ 0.5+ 2X 0.9+ 3X 1.6=i=114,7(xi 4)2 = 9 + 4+1 + 1 + 4+9 = 28,则b=0.5, a=4.3 0.5X4 = 2.3,所以所求的线卜t回归方程为y = 0.5x + 2.3. 人答案 y= 0.5x+2.3题型三利用回归方程对总体进行估计【例3】某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据:年份20082010201220142016需求量/万吨236246257276286利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y=bx+ a;利用(1)中所求出的直线方程预测该地 2018

12、年的粮食需求量.解(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的.对数据预处理 如下:年份2012一 4-2024需求量257-211101929对预处理后的数据，容易算得x = 0, y=3.2,-4 X -21 + 2 X -11 +2X19+4X29 260-4 2+ -2 2 + 22+4240=6.5.八 一 一a= y b x = 3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为y257 =b (x-2 012) +a = 6.5(x 2 012) +3.2.gPy= 6.5(x- 2 012) +260.2.利用直线方程，可预测 2018年的粮食需求量为6.5 X(2 01

13、8 2 012) +260.2 = 6.5 X6 + 260.2 = 299.2（万吨）.规律方法 用线性回归方程估计总体的一般步骤（1）作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；A A如果散点在一条直线附近，用公式求出a, b,并写出线性回归方程.（3）根据线性回归方程对总体进行估计.【训练3】 为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关 系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y与x之间有 线性相关关系，设其回归直线方程为y=bx+ a.已知；xi = 225, iB1yi = 1 600, b= 4.该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为（）A.

14、160 B.163 C.166 D.170解析 由已知得x = 22.5, y = 160,二回归直线方程过样本点中心（x, y）,又二七 =4, ； 160= 4X22.5+ a,解得a= 70.；回归直线方程为 y= 4x+70,当 x=24 时， A，y=166.故选 C.答案 C课堂达标1.下面哪些变量是相关关系（）B.房屋面积与房屋价格D.铁块的体积与质量A.出租车费与行驶的里程C.身高与体重解析 A, B, D中的两个变量都是函数关系答案 C2.对变量x, y有观测数据(xi, y)(i = 1, 2,，10),得散点图(1);对变量u, v 有观测数据(ui, vi)(i=1,2

15、,，10),得散点图(2).由这两个散点图可以判断()A.变量x与y正相关，u与v正相关B.变量x与y正相关，u与v负相关C.变量x与y负相关，u与v正相关D.变量x与y负相关，u与v负相关解析 图(1)中的数据y随着x的增大而减小，因此变量x与变量y负相关；图(2) 中的数据随着u的增大，v也增大，因此u与v正相关.答案 C3 .已知x与y之间的一组数据：x0123y1357则y与x的线性回归方程为y= bx+ a必过点()A.(2,2)B.(1,2)C.(1.5,0)D.(1.5,4)解析 易得x = 1.5, y = 4,由于回归直线过样本点的中心(x, y),故选D.答案 D4 .小学

16、生身高y与年龄x之间的线性回归直线方程为v= 8.8x+65,预测一名10 岁的小学生的身高为.人解析 当乂= 10时，y=8.8X 10+65=153.答案 1535 .如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图：(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合 (2)建立y关于t的回归方程(系数精确到 处理量.y与t的关系，请用相关系数加以说明;0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化7i = 10.55,币=2.646.7参考数据：yi = 9.32,i = 1yi-yn _ti ti= 1,回归方程y=a+bt中斜率和n _ ti ti = 1截距最小二乘估

17、计公式分别为b=yi-y,a= y b t . n _ti - t 2i = 1解(1)由折线图中数据和附注中参考数据得0.55,7_7_t = 4,(ti - t )2 =(ti 一 t )(yi - y) = ty t)=40.17-89,.55X22892.646 i=1= 0.99.因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高，从而可 以用线性回归模型拟合y与t的关系.7_* * 一 ti - t yi 一 yi= 1(2)由 y = 7=1.331 及(1)得 6 = =0.103.a = y - £ tti-7 2i=1= 1.331 0.103X

18、4=0.92.所以y关于t的回归方程为夕=0.92+ 0.10t.将2016年对应的t = 9代入回归方程得y=0.92+0.10X 9=1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨.课堂小结1 .判断变量之间有无相关关系，简便可行的方法就是绘制散点图.根据散点图，可看出两个变量是否具有相关关系，是否线性相关，是正相关还是负相关.2 .求回归直线的方程时应注意的问题(1)知道x与y呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检 验.如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显 著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量

19、也是不可信的 用公式计算a, b的值时，要先算出b,然后才能算出a.3 .利用回归方程，我们可以进行估计和预测.若回归方程为y=bx+ a,则x=x。处的估计值为y0 = bx0+a.基础过关1.在下列各图中，两个变量具有较强正相关关系的散点图是 （）解析 A是函数关系，B中两个变量具有较强的正相关关系，C是负相关，D中两个变量不具有任何关系.答案 B人2.工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为v= 60+ 90x,下列判断正 确的是（）A.劳动生产率为1千元时，工资为50元B.劳动生产率提高1千元时，工资提高150元C.劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元D.劳动生产率为1

20、千元时，工资为90元人解析 因工人月工资依劳动生产率变化的回归万程为y=60+90x,当x由a提图A A至Ua+1 时，/yi = 60+ 90（a+1） 6090a= 90.答案 C3 .在2018年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量 及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所A.-24B.35.6D.40C.40.5解析 由题意得回归直线过样本点的中心（x, y）,经计算得x=10, y=8,代入A人 .Ay= - 3.2x+ a,得a = 40.答案 D4 .下列各组变量中是函数关系的有 ;是相关关系的有;没有关 系的是.（Kff号）

21、电压U与电流I;自由落体运动中位移s与时间t;粮食产量与施肥量； 人的身高与体重；广告费支出与商品销售额；地球运行的速度与某个人行 走的速度.5 .已知x, y的值如下表所示:x234y546如果y与x呈线性相关且回归直线方程为v= bx+ 3.5,那么b=解析 由表可知x=3, y = 5,代入y=bx+3.5得b = 0.5.答案 0.56 .从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月10101010储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得 x = 80, yi = 20, xiyi = 184, x2=720.（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y

22、=bx+a;（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄八 八 人、附：线性回归方程y= bx+ a中，nxiyi n x y人 i=1aab =, a=y bx,其中x, y为样本平均值.x2 n x2i= 11 n 80斛 （1）由题息知 n=10, x= xi = y0=8, i = 1-I10 20。y'0 y=10=2,10xiyi 10x yi = 1i 118410X 8X 2 24720 10X82 =80 = 03 a = y bx = 2 0.3X 8=-0.4,人故所求回归方程为y= 0.3x 0.4.人（2）由于

23、变量y的值随x值的增加而增加（b=0.3>0）,故x与y之间是正相关.（3）将x= 7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y= 0.3 X 7 0.4= 1.7（千元）.7 .下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：x3456Y2.5344.5xiyi n x ya=y bxa i= 1b二,nx2 nx2i = 1(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a; 已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据(1)求出的线性 回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技

24、术改造前降低多少吨标准煤？ -4_ _4 2-2斛 (1)由已知，可求 x=4.5, y=3.5,xiyi = 66.5, 4x y =63,xi =86,4xa = 0.35,所以线性回归方程为y=0.7x+ 0.35.，a 66.5- 63= 81,所以 b=a> * =0.7, 86 - 8 1(2)因为y=0.7X 100+0.35= 70.35,90 70.35 =19.65,所以预测生产 100 吨甲产 品的生产能耗比技术改造前降低了19.65吨标准煤.能力提升8 .已知变量x和y满足关系y= 0.1x+ 1,变量y与z正相关，下列结论中正确 的是()A.x与y正相关，x与z

25、负相关8 .x与 y正相关，x 与 z正相关C.x与y负相关，x与z负相关D.x与y负相关，x与z正相关解析 因为变量x和y满足关系y= 0.1x+ 1, 一次项系数一0.1 <0,所以x与0.1y负相关；变重y与z正相关，设y= kz(k>0),所以kz= - 0.1x+1,得到z= ,k1x+ k，一次项系数小于0,所以z与x负相关.答案 C9 .已知x与y之间的几组数据如下表:x123456y021334假设根据上表数据所彳#线性回归方程为 v= bx+ a.若某同学根据上表中的前两组 数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y=b' x+a',则以下结论正

26、确的是()A.b>b' , a>a'B.b>b' , a<a'C.b<b' , a>a'D.b<b' , a<a'解析 由(1,0), (2,2)求 b' , a'.2-0b'=2, a' =0 2X1 = 2.2-1人6求a, b时，xiyi = 0+ 4+3+12+15+24= 58,i=172,13VF6x2=1 + 4+9+ 16 + 25+ 36= 91,i = 1 a = 13-7x2 = 131=-3, - b<bz , a>

27、a，二 b=7 1358-6x2x¥7 2 7 91-6X 22答案 C10 .已知x, y间的一组数据如表:x23456y34689对于表中数据，现给出如下拟合直线： v= x+ 1;y=2x 1；丫;1x2; 553.一. 一 、丫:2x.则根据最小二乘法思想可得拟合程度最好的直线是 .(填序号)解析 线性回归直线必过点(x, y),又x = 4, y = 6,当x=4时，y= 5,不成立；当x= 4时，y=7,不成立；当x=4时，y= 6,当x= 6时，y= 9.2;当x=4时，y= 6,当x=6时，y= 9,所以拟合程度最好的直线是 答案 11 .期中考试后，某校高三（9）班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩 人y对总成绩x的回归方程为v= 6+0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差 分.解析令两人的总成绩分别为xi, X2.则对应的数学成绩估计为AAyi = 6+ 0.4xi, y2 = 6+0.4x2, A A所以 |yi- y2|= |0.4仅i x2）|= 0.4X