专题训练蚂蚁爬行的最短路径(含答案)解读

1、蚂蚁爬行的最短路径1. 一只蚂蚁从原点 0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5,-3, +10, -8, -9, +12,-10.-109-7-6-5-4-3-2-1 0 I 2 3 4 5 7 T 9W回答下列问题：(1)蚂蚁最后是否回到出发点 0；(2)在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻.解：(1)否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3 ,故没有回到 0;(2) (|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|) X2=114 粒2 .如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最

2、短距离是解：如图将正方体展开，根据两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线.3 . ( 2006?茂名)如图，点 A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点 B的最短路程是 cm解：由题意得，从点 A沿其表面爬到点 B的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4.4 .如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是（）A. A? P? BD. A? S? B第23页共19页解：根据两点之间线段最短可知选A.故选A.5 .如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2,蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程

3、是（）解：如图，AB=匚2 2 1210 .故选C.6 .正方体盒子的棱长为 2,BC的中点为M,一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（）解：展开正方体的点 M所在的面,.BC的中点为M,所以 MC= 1BC=1 , 2在直角三角形中 AM 二 祗?十11+2产=VI3.7 .如图，点 A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在cm。盒子表面由AB=CD=DF + FC= 1 EF+ 1 GF =1 X20+1 >20=20cm .2222故选C.8.正方体盒子的棱长为2, BC的中点为 M, 一只蚂蚁从 A点爬行到 M点的最短距离解：将正方体展开，连接 M、

4、D1, 根据两点之间线段最短，MD = MC+CD=1+2=3 ,MD1=MD2 DD12 .32 22139.如图所示一棱长为 3cm的正方体，把所有的面均分成 3q个小正方形.其边长都为1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm,则它从下底面点 A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用 2.5秒钟.解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最的路线.(1)展开前面右面由勾股定理得(2)展开底面右面由勾股定理得AB= 一一：=' cmAB=尸=5cm；所以最短路径长为 5cm,用时最少：5妥=2.5秒.10 . （2009?恩施州）如图，长方体的长为15,宽为1

5、0,高为20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是解：将长方体展开，连接 A、B,根据两点之间线段最短，AB=限再而=25 .11 .如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为CiAiDDi解：正面和上面沿 AiBi展开如图，连接 ACi, ABCi是直角三角形,AC1= . ab2 bc1242 1 2 242 32 5D312 .如图所示：有一个长、宽都是 2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从 A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为解：由题意得, 路径

6、一 ：AB= 依+2)43= V59 ；路径二：AB=I； =5;路径三：AB=依+2y+22 = V59 ;<29 >5,5米为最短路径.13.如图，直四棱柱侧棱长为 4cm,底面是长为5cm宽为3cm的长方形.一只蚂蚁从顶点 A出发沿棱柱的表面爬到顶点B.求：(1)蚂蚁经过的最短路程;(2)蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一条棱)的最长路程.解：(1) AB的长就为最短路线.然后根据 若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为45+3户+4?=质(cm)；若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为攸4+3尸+52 =修(cm), 或成4+5)斗色=百(5)所以蚂蚁经过的最短路程是4网cm.(2

7、)5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm,最长路程是30cm.14.如图，在一个长为50cm,宽为40cm,高为30cm的长方体盒子的顶点 A处有一只蚂蚁,它要爬到顶点B处去觅食，最短的路程是多少？解：图 1 中，二主=40泗cm.图 2 中，=:gO+aO” = 30i/IC 电9生7 cm.图3中， AE二板江丽 二20住用775 cm.采用图3的爬法路程最短，为 2DVI5cm15 .如图，长方体的长、宽、高分别为 6cm, 8cm, 4cm. 一只蚂蚁沿着长方体的表面从点 爬到点B.则蚂蚁爬行的最短路径的长是 。解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个

8、平面, 则这个长方形的长和宽分别是12cm和6cm,则所走的最短线段是的广国=6 V5 cm；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是10cm和8cm,所以走的最短线段是以一-'= ；cm;第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形,则这个长方形的长和宽分别是14cm和4cm,所以走的最短线段是i - =2cm；三种情况比较而言，第二种情况最短.20cm、3cm、2cm. A 和 B 是这B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着16 .如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 个台阶上两个相对的端点，点 A处有一只蚂蚁，想到点台阶面爬行到点

9、B的最短路程为 cm解：三级台阶平面展开图为长方形，长为 20cm,宽为(2+3) X3cm, 则蚂蚁沿台阶面爬行到 B点最短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xcm,由勾股定理得：x2=202+ (2+3) X32=252, 解得x=25.故答案为25.5cm, 3cm 和 1cm, A 和 B17 .如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到 B点，最短线路是 cm。解：将台阶展开，如下图，因为 AC=3X3+1X3=12, BC=5,

10、所以 AB2=AC2+BC2=169,所以 AB=13 (cm),所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm.答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm.18 . （2011湃眇卜）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达 Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为 cm.解:. PA=2X (4+2) =12, QA=5 .PQ=13.故答案为：13.19 .如图，一块长方体醇宽 AN=5cm,长ND=10cm, CD上的点B距地面的高 BD=8cm,地面上A处的一只蚂蚁到 B处吃食，需要爬行的最短路径是多少？解：如图1,在砖的侧面展开图 2上，连接AB,则AB的

11、长即为A处到B处的最短路程.解：在RtAABD中,因为 AD=AN + ND=5+10=15 , BD=8,所以 AB2=AD2+ BD2=152+82=289=172.所以 AB=17cm.故蚂蚁爬行的最短路径为 17cm.20 . （2009?佛山）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角 A处沿着木柜表面爬到柜角Ci处.（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;（2）当AB=4, BC=4, CCi=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长;（3）求点Bi到最短路径的距离.解：（1）如图,木柜的表面展开图是两个矩形 ABC'iDi和ACCiAi

12、.故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AiC'i和ACi . （2分）（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段 AiBi到Ci,爬过的路径的长是 h=2+0-57二府.（3分）蚂蚁沿着木柜表面经线段BBi到Ci ,爬过的路径的长是1口 二也4+4尸+5?二屈（4 分）1i>12,故最短路径的长是 匕二匹.（5分）（3）作 BiE± ACi 于巳则= 7t7? &4=去？ 5=能慌为所求.（8分）21.有一圆柱体如图，高 4cm,底面半径5cm, A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到 C处，求蚂 蚁爬行的最短距离.解：AC的长就是蚂蚁爬行的最短距离.C, D分别是BE, AF的

13、中点.AF=2 T?5=10Tt. AD=5 兀AC= AD2 CD2= 1cm.故答案为：16cm.22.有一圆形油罐底面圆的周长为24m,高为6m, 一只老鼠从距底面 1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为解：AB= 52 122 13 m23 .如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AAi的端点A到达Ai ,若圆柱底面半径为 ,高为5,则蚂蚁爬行的最短距离为 解：因为圆柱底面圆的周长为2 7tx =12,高为5,所以将侧面展开为一长为 12,宽为5的矩形, 根据勾股定理，对角线长为 付1F=13. 故蚂蚁爬行的最短距离为 13.24 .如图，一圆柱体的底面周长为24cm,高A

14、B为9cm, BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,则蚂蚁爬行的最短路程是解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为 24cm,1贝U AD=24X =12cm.2又因为 CD=AB=9cm,所以 AC= r =15cm.故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是15cm.故答案为：15.25. （2006湃1州）有一圆柱体高为 10cm,底面圆的半径为 4cm, AAi , BBi为相对的两条母 线.在AAi上有一个蜘蛛 Q, QA=3cm；在BBi上有一只苍蝇 P, PB二2cm,蜘蛛沿圆柱体 侧面爬到P点吃苍蝇，最短的路径是 cm.（结果用带 兀和根号的

15、式子表示）解：QA=3, PBi=2,即可把PQ放到一个直角边是 4兀和5的直角三角形中,根据勾股定理得:QP= ，1.一一26 .同学的茶杯是圆柱形，如图是茶杯的立体图，左边下方有一只蚂蚁，从A处爬行到对面的中点B处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图.问题：某正方体盒子，如图左边下方A处有一只蚂蚁，从 A处爬行到侧棱 GF上的中点M点处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图.解：如图，将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图示，则A、B分别位于如图所示的位置,连接AB,即是这条最短路线图.如图，将正方体中面 ABCD和面CBFG展开成一个长方形，如图示，则A、M分别位于如图所示的位

16、置，连接 AM,即是这条最短路线图.27 .如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm,假若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点 P处的食物，那么它爬行的最短路程解：圆锥的底面周长是 4国则4声n=180。即圆锥侧面展开图的圆心角是第5题n 4180180°,，在圆锥侧面展开图中 AP=2, AB=4,/ BAP=90° ,，在圆锥侧面展开图中 BP二这只蚂蚁爬行的最短距离是故答案是：2 V 5 cm.28.如图，圆锥的底面半径R=3dm,母线l=5dm, AB为底面直径,C为底面圆周上一点,/COB=150° , D为VB上一点

17、，VD二 #dm .现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点 C爬到D.则蚂蚁爬行的最短路程是（）设弧BC所对的圆心角的度数为 n,5 TV 71nM 目 =解得n=90,CVD=90°,.cd= Vs+7=4 g ,29.已知圆锥的母线长为 5cm,圆锥的侧面展开图如图所示，且/ AOAi=120°, 一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点 A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A.则蚂蚁爬行的最短路程长.AA' =AC=5 禽.解：连接 AA',彳OCAA于C,圆锥的母线长为 5cm, /AOAi=120°,30.如图，底面半径为1,母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出

18、发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是解：由题意知，底面圆的直径为2,故底面周长等于2兀.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°,4n根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，24-n180解得n=90° ,所以展开图中圆心角为 90。，根据勾股定理求得到点 A的最短的路线长是："16 16 v132 4/2 .31. （2006?南充）如图，底面半径为 1,母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从 A点出发，绕 侧面一周又回到 A点，它爬行的最短路线长是 。解：由题意知底面圆的直径=2,故底面周长等于2兀.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°,4n根据底面周长

19、等于展开后扇形的弧长得2声”一180解得n=90° ,所以展开图中的圆心角为90。，根据勾股定理求得它爬行的最短路线长为4J2 .32. （2009?乐山）如图，一圆车B的底面半径为2,母线PB的长为6, D为PB的中点.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D,则蚂蚁爬行的最短路程为 1解：由题意知，底面圆的直径 AB=4, 故底向周长等于 4 7t.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n根据底面周长等于展开后扇形的弧长得解得 n=120° ,所以展开图中/ APD=120°妥=60° ,根据勾股定理求得 AD= 3J3,所以蚂蚁爬行的最短距离为3J3 .33.如图，圆锥底面半径为 r,母线长为4心6。6.3r,底面圆周上有一蚂蚁位于 A点，它从A点出发沿圆锥面爬彳L周后又回到原出发点，请你给它指出-解：把圆锥沿过点 A的母线展成如图所示扇形，则蚂蚁运动的最短路程为 AA'（线段）.条