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文档简介
1、试卷主标题姓名:_ 班级:_考号:_一、选择题(共8题)1、 若向量 ,则 的坐标为( ) A ( 2 , 3 ) B ( 0 , 3 ) C ( 0 , 1 ) D ( 3 , 5 ) 2、 用力 推动一物体水平运动 ,设 与水平面的夹角为 ,则对物体所做的功为( ) A B C D 3、 若 ,则 ( ) A B C D 4、 哥德巴赫猜想是 “ 每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数 ( 素数指大于 1 的自然数中,除了 1 和它本身以外不再有其他因数的自然数 ) 的和 ” ,如 18=7+11 ,在不超过 16 的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于 16 的概率是( &
2、#160; ) A B C D 5、 如图, 中, , , 分别是 的三等分点,若 ,则 ( ) A B 2 C 3 D 6 6、 已知平面向量 与 的夹角为 , , ,则 的值为( ) A B C D 7、 如图,正方体 的棱长为 2 , 、 、 分别为 、 、 的中点,则( ) A 平面 B 三棱锥 的体积为 2 C 异面直线 与 所成角的正切值为 3 D 点 到平面 的距离是点 到平面 的距离的 3 倍 8、 设 , , 为复数, . 下列命题中正确的是( ) A 若 ,则 B 若 ,则 C 若 ,则 D 若 ,则 二、填空题(共4题)1、
3、若 m 、 n 是两条不重合的直线, 为两个不重合的平面,给出下列命题: 若 ,则 ; 若 ,则 ; 若 ,则 ; 若 ,则 上面命题中,真命题的序号是 _ (写出所有真命题的序号) 2、 在 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,若 , ,则 _ 3、 已知非零向量 , 满足 ,且 ,则 与 的夹角的余弦值为 _. 4、 一个数字不重复的三位数的百位、十位、个位上的数字依次记为 , , ,当且仅当 , , 中有两个不同数字的和等于剩下的一个数字时,称这个三位数为 “ 有缘数 ” (如 213 , 341 等)现从 1 , 2 , 3 , 4 这四个数字中任取三个数组
4、成一个数字不重复的三位数,则这个三位数为 “ 有缘数 ” 的概率是 _ 三、解答题(共4题)1、 如图所示,圆台母线 长为 ,上、下底面半径分别为 和 ,从母线 的中点 M 拉条绳子绕圆台侧面转到 B 点,求这条绳长的最小值 2、 如图,已知 平面 , , , , , ,点 分别是 的中点 ( 1 )求证: 平面 ; ( 2 )求直线 与平面 所成角的大小 3、 斜三棱柱 中,侧面 的面积为 S ,且它与侧棱 的距离为 h ,求此三棱柱的体积 . 4、 求函数 的最小值,以及 y 取最小值时的 x 的值 . 设想,把原函数改为 ,能够形成怎样的问题?如何求解? =参考答案=一、选择题1、 B
5、【分析】 直接根据向量加法的坐标运算法则计算可得; 【详解】 解:因为 ,所以 故选: B 2、 D 【分析】 直接用向量的数量积即可求得 . 【详解】 力 对物体所做的功为 . 故选: D. 3、 B 【分析】 根据因为 ,利用复数的除法化简求解 . 【详解】 因为 , 所以 , 所以 , 故选: B 4、 B 【分析】 确定不超过 16 的素数,写出任取 2 上的基本事件,同时得出和为 16 的基本事件,由概率公式计算概率 【详解】 不超过 16 的素数有 2 、 3 、 5 、 7 、 11 、 13 ,满足 “ 和 ” 等于 16 的有 (3 , 13) 、 (5 , 11) 共有 2
6、 组, 总的有 (2 , 3) 、 (2 , 5) 、 (2 , 7) 、 (2 , 11) 、 (2 , 13) 、 (3 , 5) 、 (3 , 7) 、 (3 , 11) 、 (3 , 13) 、 (5 , 7) 、 (5 , 11) 、 (5 , 13) 、 (7 , 11) 、 (7 , 13) 、 (11 , 13) , 所以 , 故选: B 5、 D 【分析】 以 为基底,表示出 ,根据数量积公式代入数据化简即可 . 【详解】 由题意得, ,所以 . 所以 , 故选 :D 6、 B 【分析】 先求出 ,由平面向量的数量积可求得 ,计算 的值,再开方即可求解 . 【详解】 因为 ,
7、所以 , 所以 , 所以 , 所以 , 故选: B. 7、 AC 【分析】 作出完整的截面 ,证明 得线面平行,判断 A ;用换顶点法求棱锥体积判断 B ,证明异面直线 与 所成的角为 或其补角,在梯形 中求出 的正切值判断 C ;利用 与 的交点间距离的比值可得 到平面 的距离比,从而判断 D 【详解】 连接 ,连接 ,因为 所在棱中点,因此 , 又正方体中易得 ,所以 ,因此平面 即为截面 , 是 中点,则 与 、 平行且相等, 是平行四边形, , 平面 , 平面 ,因此有 平面 , A 正确; , , B 错; 由 ,因此异面直线 与 所成的角为 或其补角, 在梯形 中, , , ,它是
8、等腰梯形, 所以 , C 正确; 如图,在矩形 中, , 是 中点得, ,所以 到平面 的距离等于 到平面 距离的 2 倍, D 错 故选: AC 8、 BC 【分析】 对于 A :取特殊值 判断 A 不成立; 对于 B 、 C 、 D :直接利用复数的四则运算计算可得 . 【详解】 对于 A :取 ,满足 ,但是 不成立,故 A 错误; 对于 B :当 时 , 有 ,又 ,所以 , 故 B 正确 ; 对于 C :当 时 , 则 , 所以 , 故 C 正确 ; 对于 D :当 时 , 则 , 可得 . 因为 ,所以 . 故 D 错误 故选: BC 二、填空题1、 【分析】 根据线面平行和垂直的
9、判断和性质依次分析即可得出 . 【详解】 解:对于 ,若 ,则 或 ,故选项 错误; 对于 ,若 ,则 与 平行或相交,如图所示,故选项 错误; 对于 ,若 ,根据两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直这个平面,故 ,故选项 正确; 对于 ,若 ,直线 m , n 的方向向量即为平面 的法向量,因为 ,则两个平面的法向量垂直,故 ,故选项 正确 所以真命题的是 . 故答案为: 2、 2 【分析】 根据题意,结合余弦定理得 ,再根据正弦定理边角互化即可得答案 . 【详解】 解:根据题意, ,及 所以得 ,解得 , 故 故答案为: 3、 【分析】 由 ,得到 ,再由 ,求得 , ,再由夹
10、角公式求解 . 【详解】 因为 , 所以 ,即 , 又 , 所以 , , 所以 , 故答案为: 4、 【分析】 求出任意三位数的个数,再确定两个数字和等于第三个的 3 个数的数组,从而求得 “ 有缘数 ” 的个数,然后可计算出概率 【详解】 从 1 , 2 , 3 , 4 这四个数字中任取三个数组成一个数字不重复的三位数的个数为 , 1 , 2 , 3 , 4 这四个数字中两个的和等于第三个的有 123 , 134 ,因此 “ 有缘数 ” 个数为 , 所示概率为 故答案为: 三、解答题1、 【分析】 作出圆台的侧面展开图,根据 与 相似,得到 ,设 ,求得 的长度 为所在圆周长的 ,得到 ,结
11、合勾股定理,即可求解 . 【详解】 作出圆台的侧面展开图,如图所示, 由轴截面中 与 相似,得 ,可求得 设 ,由于 的长与底面圆 Q 的周长相等,而底面圆 Q 的周长为 , 扇形 的半径为 , 扇形 所在圆的周长为 所以 的长度 为所在圆周长的 ,所以 所以在 中, , 所以 ,即所求绳长的最小值为 2、 ( 1 )证明见解析;( 2 ) 30°. 【分析】 推导出 ,从而 平面 ,进而 ,由此能证明 平面 ; (2 ) 取 中点 和 中点 ,连接 , , ,推导出四边形 是平行四边形,从而 , 进而 平面 , 即为直线 与平面 所成角,最后根据已知条件求出来即可 . 【详解】 (
12、 1 ) 证明: AB = AC , E 为 BC 中点, AE BC 平面 ABC , / 平面 ABC AE 又 BC = B AE 平面 如图, 取 中点 和 中点 ,连接 , , N 和 E 分别为 和 BC 的中点, , 四边形 是平行四边形 又 平面 平面 即为直线 与平面 所成角, 在 中,可得 = 2 = = 2 且 又由 在 中, 在 中, , 即直线 与平面 所成角的大小为 3、 【分析】 解法一:以侧面 为公共面补上一个三棱柱 ,使两个三棱柱拼成一个平行六面体 ,然后以 为底面求解; 解法二:连接 、 ,则截面 将此三棱柱分割成一个三棱锥 和一个四棱锥 求解 . 【详解】 解法一:如图所示: 以侧面 为公共面补上一个三棱柱 ,使两个三棱柱拼成一个平行六面体 , 以 为底面,则 到平面 的距离即为平行六面体的高 . ,故 . 解法二:如图所示: 连接 、 ,则截面 将此三棱柱分割成一个三棱锥 和一个四棱锥 . ,又 平面 , . 故 . 4、 答案见解
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