2021-2022学年度高中数学必修第二册练习题（1）含详解

1、试卷主标题姓名：_ 班级：_考号：_一、选择题（共8题）1、 若向量 ，则 的坐标为（ ） A （ 2 ， 3 ） B （ 0 ， 3 ） C （ 0 ， 1 ） D （ 3 ， 5 ） 2、 用力 推动一物体水平运动 ，设 与水平面的夹角为 ，则对物体所做的功为（ ） A B C D 3、 若 ，则 （ ） A B C D 4、 哥德巴赫猜想是 “ 每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数 ( 素数指大于 1 的自然数中，除了 1 和它本身以外不再有其他因数的自然数 ) 的和 ” ，如 18=7+11 ，在不超过 16 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 16 的概率是（  &

2、#160; ） A B C D 5、 如图， 中， ， ， 分别是 的三等分点，若 ，则 （ ） A B 2 C 3 D 6 6、 已知平面向量 与 的夹角为 ， ， ，则 的值为（ ） A B C D 7、 如图，正方体 的棱长为 2 ， 、 、 分别为 、 、 的中点，则（ ） A 平面 B 三棱锥 的体积为 2 C 异面直线 与 所成角的正切值为 3 D 点 到平面 的距离是点 到平面 的距离的 3 倍 8、 设 ， ， 为复数， . 下列命题中正确的是（    ） A 若 ，则 B 若 ，则 C 若 ，则 D 若 ，则 二、填空题（共4题）1、

3、若 m 、 n 是两条不重合的直线， 为两个不重合的平面，给出下列命题： 若 ，则 ； 若 ，则 ； 若 ，则 ； 若 ，则 上面命题中，真命题的序号是 _ （写出所有真命题的序号） 2、 在 中，角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，若 ， ，则 _ 3、 已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角的余弦值为 _. 4、 一个数字不重复的三位数的百位、十位、个位上的数字依次记为 ， ， ，当且仅当 ， ， 中有两个不同数字的和等于剩下的一个数字时，称这个三位数为 “ 有缘数 ” （如 213 ， 341 等）现从 1 ， 2 ， 3 ， 4 这四个数字中任取三个数组

4、成一个数字不重复的三位数，则这个三位数为 “ 有缘数 ” 的概率是 _ 三、解答题（共4题）1、 如图所示，圆台母线 长为 ，上、下底面半径分别为 和 ，从母线 的中点 M 拉条绳子绕圆台侧面转到 B 点，求这条绳长的最小值 2、 如图，已知 平面 ， ， ， ， ， ，点 分别是 的中点 （ 1 ）求证： 平面 ； （ 2 ）求直线 与平面 所成角的大小 3、 斜三棱柱 中，侧面 的面积为 S ，且它与侧棱 的距离为 h ，求此三棱柱的体积 . 4、 求函数 的最小值，以及 y 取最小值时的 x 的值 . 设想，把原函数改为 ，能够形成怎样的问题？如何求解？ =参考答案=一、选择题1、 B

5、【分析】 直接根据向量加法的坐标运算法则计算可得； 【详解】 解：因为 ，所以 故选： B 2、 D 【分析】 直接用向量的数量积即可求得 . 【详解】 力 对物体所做的功为 . 故选： D. 3、 B 【分析】 根据因为 ，利用复数的除法化简求解 . 【详解】 因为 ， 所以 ， 所以 ， 故选： B 4、 B 【分析】 确定不超过 16 的素数，写出任取 2 上的基本事件，同时得出和为 16 的基本事件，由概率公式计算概率 【详解】 不超过 16 的素数有 2 、 3 、 5 、 7 、 11 、 13 ，满足 “ 和 ” 等于 16 的有 (3 ， 13) 、 (5 ， 11) 共有 2

6、 组， 总的有 (2 ， 3) 、 (2 ， 5) 、 (2 ， 7) 、 (2 ， 11) 、 (2 ， 13) 、 (3 ， 5) 、 (3 ， 7) 、 (3 ， 11) 、 (3 ， 13) 、 (5 ， 7) 、 (5 ， 11) 、 (5 ， 13) 、 (7 ， 11) 、 (7 ， 13) 、 (11 ， 13) ， 所以 ， 故选： B 5、 D 【分析】 以 为基底，表示出 ，根据数量积公式代入数据化简即可 . 【详解】 由题意得， ，所以 . 所以 ， 故选 :D 6、 B 【分析】 先求出 ，由平面向量的数量积可求得 ，计算 的值，再开方即可求解 . 【详解】 因为 ，

7、所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 故选： B. 7、 AC 【分析】 作出完整的截面 ，证明 得线面平行，判断 A ；用换顶点法求棱锥体积判断 B ，证明异面直线 与 所成的角为 或其补角，在梯形 中求出 的正切值判断 C ；利用 与 的交点间距离的比值可得 到平面 的距离比，从而判断 D 【详解】 连接 ，连接 ，因为 所在棱中点，因此 ， 又正方体中易得 ，所以 ，因此平面 即为截面 ， 是 中点，则 与 、 平行且相等， 是平行四边形， ， 平面 ， 平面 ，因此有 平面 ， A 正确； ， ， B 错； 由 ，因此异面直线 与 所成的角为 或其补角， 在梯形 中， ， ， ，它是

8、等腰梯形， 所以 ， C 正确； 如图，在矩形 中， ， 是 中点得， ，所以 到平面 的距离等于 到平面 距离的 2 倍， D 错 故选： AC 8、 BC 【分析】 对于 A ：取特殊值 判断 A 不成立； 对于 B 、 C 、 D ：直接利用复数的四则运算计算可得 . 【详解】 对于 A ：取 ，满足 ，但是 不成立，故 A 错误； 对于 B ：当 时 , 有 ，又 ，所以 , 故 B 正确 ; 对于 C ：当 时 , 则 , 所以 , 故 C 正确 ; 对于 D ：当 时 , 则 , 可得 . 因为 ，所以 . 故 D 错误 故选： BC 二、填空题1、 【分析】 根据线面平行和垂直的

9、判断和性质依次分析即可得出 . 【详解】 解：对于 ，若 ，则 或 ，故选项 错误； 对于 ，若 ，则 与 平行或相交，如图所示，故选项 错误； 对于 ，若 ，根据两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面，故 ，故选项 正确； 对于 ，若 ，直线 m ， n 的方向向量即为平面 的法向量，因为 ，则两个平面的法向量垂直，故 ，故选项 正确 所以真命题的是 . 故答案为： 2、 2 【分析】 根据题意，结合余弦定理得 ，再根据正弦定理边角互化即可得答案 . 【详解】 解：根据题意， ，及 所以得 ，解得 ， 故 故答案为： 3、 【分析】 由 ，得到 ，再由 ，求得 ， ，再由夹

10、角公式求解 . 【详解】 因为 ， 所以 ，即 ， 又 ， 所以 ， ， 所以 ， 故答案为： 4、 【分析】 求出任意三位数的个数，再确定两个数字和等于第三个的 3 个数的数组，从而求得 “ 有缘数 ” 的个数，然后可计算出概率 【详解】 从 1 ， 2 ， 3 ， 4 这四个数字中任取三个数组成一个数字不重复的三位数的个数为 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 这四个数字中两个的和等于第三个的有 123 ， 134 ，因此 “ 有缘数 ” 个数为 ， 所示概率为 故答案为： 三、解答题1、 【分析】 作出圆台的侧面展开图，根据 与 相似，得到 ，设 ，求得 的长度 为所在圆周长的 ，得到 ，结

11、合勾股定理，即可求解 . 【详解】 作出圆台的侧面展开图，如图所示， 由轴截面中 与 相似，得 ，可求得 设 ，由于 的长与底面圆 Q 的周长相等，而底面圆 Q 的周长为 , 扇形 的半径为 ， 扇形 所在圆的周长为 所以 的长度 为所在圆周长的 ，所以 所以在 中， ， 所以 ，即所求绳长的最小值为 2、 （ 1 ）证明见解析；（ 2 ） 30°. 【分析】 推导出 ，从而 平面 ，进而 ，由此能证明 平面 ； (2 ) 取 中点 和 中点 ，连接 ， ， ，推导出四边形 是平行四边形，从而 , 进而 平面 , 即为直线 与平面 所成角，最后根据已知条件求出来即可 . 【详解】 (

12、 1 ) 证明： AB = AC ， E 为 BC 中点， AE BC 平面 ABC ， / 平面 ABC AE 又 BC = B AE 平面 如图， 取 中点 和 中点 ，连接 ， ， N 和 E 分别为 和 BC 的中点， ， 四边形 是平行四边形 又 平面 平面 即为直线 与平面 所成角， 在 中，可得 = 2 = = 2 且 又由 在 中， 在 中， , 即直线 与平面 所成角的大小为 3、 【分析】 解法一：以侧面 为公共面补上一个三棱柱 ，使两个三棱柱拼成一个平行六面体 ，然后以 为底面求解； 解法二：连接 、 ，则截面 将此三棱柱分割成一个三棱锥 和一个四棱锥 求解 . 【详解】 解法一：如图所示： 以侧面 为公共面补上一个三棱柱 ，使两个三棱柱拼成一个平行六面体 ， 以 为底面，则 到平面 的距离即为平行六面体的高 . ，故 . 解法二：如图所示： 连接 、 ，则截面 将此三棱柱分割成一个三棱锥 和一个四棱锥 . ，又 平面 ， . 故 . 4、 答案见解