【2019最新】精选高三数学(理)人教版一轮训练：第八篇第6节曲线与方程

1、【 2019 最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第八篇第 6 节曲线与方程【选题明细表】知识点、方法题号曲线与方程、直接法求轨迹方程1,10定义法、待定系数法求轨迹方程4,6,8,11,13,15相关点法 ( 代入法 ) 求轨迹方程3,7,9,12,14向量法、参数法求轨迹方程2,5基础巩固 ( 时间 :30 分钟 )1. 方程 (x-y)2+(xy-1)2=0表示的曲线是 (C)(A) 一条直线和一条双曲线(B) 两条双曲线(C) 两个点(D) 以上答案都不对解析 : 由(x-y)2+(xy-1)2=0?解得或故选 C.2. 已知点O(0,0),A(1,2),动点 P 满足 |+|=2

2、, 则 P 点的轨迹方程是(A)(A)4x2+4y2-4x-8y+1=0(B)4x2+4y2-4x-8y-1=0欢迎下载。(C)8x2+8y2+2x+4y-5=0(D)8x2+8y2-2x+4y-5=0解析 : 设 P 点的坐标为 (x,y),则=(x,y),=(x-1,y-2),+=(2x-1,2y-2).所以 (2x-1)2+(2y-2)2=4,整理得 4x2+4y2-4x-8y+1=0. 故选 A.3.(2017 ·二模 ) 动点 P 在抛物线 y=2x2+1 上移动 , 若 P 与点 Q(0,-1)连线的中点为 M,则动点 M的轨迹方程为 (B)(A)y=2x2 (B)y=4

3、x2(C)y=6x2 (D)y=8x2解析 : 设 PQ中点 M为 (x,y), 则 P(2x,2y+1) 在抛物线 y=2x2+1 上, 即 (2y+1)=2(2x)2+1, 所以 y=4x2. 故选 B.4. 设圆 (x+1)2+y2=25 的圆心为 C,A(1,0) 是圆内一定点 ,Q 为圆周上任一点 . 线段 AQ的垂直平分线与 CQ的连线交于点 M,则 M的轨迹方程为(D)(A)-=1(B)+=1(C)-=1(D)+=1解析 : 因为 M为 AQ垂直平分线上一点 , 则|AM|=|MQ|, 所以 |MC|+|MA| =|MC|+|MQ|=|CQ|=5, 故 M的轨迹是以定点 C,A

4、为焦点的椭圆 .所以 a=,c=1, 则 b2=a2-c2=,【2019最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第八篇第节曲线与方程所以椭圆的方程为 +=1. 故选 D.5. 设过点 P(x,y) 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A,B两点 , 点 Q与点 P 关于 y 轴对称 , O 为坐标原点 . 若=2, 且· =1, 则点 P的轨迹方程是 (A)(A) x2+3y2=1(x>0,y>0)(B) x2-3y2=1(x>0,y>0) (C)3x2-y2=1(x>0,y>0) (D)3x2+y2=1(x>0,y>0

5、)解析 : 设 A(a,0),B(0,b),a>0,b>0.由=2,得(x,y-b)=2(a-x,-y),所以即 a=x>0,b=3y>0. 点 Q(-x,y),故由· =1, 得(-x,y)·(-a,b)=1,即 ax+by=1. 将 a,b 代入 ax+by=1 得所求的轨迹方程为 x2+3y2=1(x>0,y>0). 故选 A.6.(2017 ·安徽二模 ) 在 ABC中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出 ABC满足的条件 , 就能得到动点 A的轨迹方程 .下表给出了一些条件及方程 :条件方程 ABC周长为

6、 102C:y =251 ABC面积为 10C2:x 2+y2=4(y 0) ABC中, A=90°C3: +=1(y 0)3/113/11则满足条件 , , 的轨迹方程依次为 (A)(A)C3,C1,C2 (B)C1,C2,C3(C)C3,C2,C1 (D)C1,C3,C2解析 : ABC的周长为 10, 即 AB+AC+BC=10,又 BC=4,所以 AB+AC=6>BC,此时动点 A 的轨迹为椭圆 , 与 C3对应 ; ABC的面积为 10,所以 BC·|y|=10,即|y|=5, 与 C1对应 ;因为 A=90°,所以· =(-2-x,-y

7、)·(2-x,-y)=x2+y2-4=0,与 C2对应 .故选 A.7. 直线 +=1 与 x,y 轴交点的中点的轨迹方程是解析 : 直线 +=1 与 x,y 轴的交点为 A(a,0),B(0,2-a),.设 AB 的中点为M(x,y), 则 x=,y=1-, 消去 a, 得 x+y=1. 因为 a0 且 a2, 所以 x0 且x1.答案 :x+y=1(x 0 且 x1)8. 已知圆的方程为x2+y2=4, 若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线, 则抛物线的焦点轨迹方程是.解析 :设抛物线焦点为F, 过A,B,O作准线的垂线AA1,BB1,OO1,则|AA1|+

8、|BB1|=2|OO1|=4,由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,所以|FA|+|FB|=4,故 F 点的轨迹是以 A,B 为焦点 , 长轴长为 4 的椭圆 ( 去【2019最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第八篇第节曲线与方程掉长轴两端点 ).答案 :+=1(y0)能力提升( 时间 :15分钟 )9. 如图所示 , 在平面直角坐标系xOy 中,A(1,0),B(1,1),C(0,1),f 将 xOy平面上的点 P(x,y) 对应到另一个平面直角坐标系uOv映射上的点 P(2xy,x2-y2), 则当点 P 沿着折线 ABC 运动时 , 在映射 f 的作用下 , 动

9、点 P的轨迹是 ( D )解析 : 当 P 沿 AB运动时 ,x=1.设 P(x ,y ), 则(0 y1),所以 y=1-(0 x 2,0 y 1).当 P 沿 BC运动时 ,y=1, 则(0 x1),所以 y=-1(0 x 2,-1 y 0),由此可知 P的轨迹如 D所示 . 故选 D.10.(2017 ·湖南联考 ) 设点 P(x,y) 是曲线 a|x|+b|y|=1(a>0,b>0)上 的 动 点 , 且 满 足 + 2, 则a+b 的 取 值 范 围 为(A)(A)2,+ )(B)1,2(C)1,+ )(D)(0,2解析 : 设 F1(0,-1),F2(0,1)

10、,则满足 +=2 的点 P 的轨迹是以 F1(0,-1),F2(0,1)为焦点的椭圆 , 其方5/115/11程 为 +=1. 曲 线a|x|+b|y|=1(a>0,b>0)为 如 图 所 示 的 菱 形ABCD,C(,0),D(0,).由于 +2,所以菱形 ABCD在椭圆上或其内部 ,所以 1, ,即 a1,b .所以a+b1+×=2. 故选A.11.(2017·江苏盐城模拟) ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),ABC的内切圆圆心在直线x=3上, 则顶点C的轨迹方程是.解析 :如图 ,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,

11、所以 |CA|-|CB|=8-2=6.根据双曲线定义 , 所求轨迹是以 A,B 为焦点 , 实轴长为 6 的双曲线的右支, 故方程为 -=1(x>3).答案 :-= 1(x>3)12. 已知点 A,B 分别是射线l1:y=x(x0),l2:y=-x(x0) 上的动点,O为坐标原点, 且 OAB的面积为定值2,则线段AB 中点M的轨迹方程为.解析 :由题意可设A(x1,x1),B(x2,-x2),M(x,y),其中x1>0,x2>0,【2019最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第八篇第节曲线与方程则因为 OAB的面积为定值 2,所以 SOAB=OA·OB=

12、 (x1)(x2)=x1x2=2. 2- 2 得 x2-y2=x1x2, 而 x1x2=2, 所以 x2-y2=2.由于 x1>0,x2>0, 所以 x>0,即所求点 M的轨迹方程为 x2-y2=2(x>0).答案 :x2-y2=2(x>0)13.(2017 ·一模 ) 已知定圆 M:(x-3)2+y2=16 和圆 M所在平面内一定点 A, 点 P 是圆 M上一动点 , 线段 PA的垂直平分线 l 交直线 PM于点 Q.(1) 讨论 Q 点的轨迹可能是下面的情形中的哪几种 : 椭圆 ; 双曲线 ;抛物线 ; 圆 ; 直线 ; 一个点 .(2) 若定点 A

13、(5,0), 试求 QMA的面积的最大值 .解:(1) 由题意知 |QP|=|QA|,当 A 在圆 M外时 ,|MA|>4, 且|QA|-|QM|=|PM|=4<|MA|,所以 Q点的轨迹是以 M,A 为焦点的双曲线 , 见图 (1).当A在圆M内,且与M不重合时,|MA|<4,且|QA|+|QM|=|MP|=4>|MA|,所以 Q点的轨迹是以 M,A 为焦点的椭圆 , 见图 (2).当 A 在圆 M上时 ,l 过定点 M,l 与 PM的交点 Q就是点 M,所以点 Q的轨迹就是一个点 , 见图 (3).7/117/11当 A与 M重合时 ,l与 PM的交点 Q就是 PM

14、的中点 , 所以点 Q的轨迹就是圆 , 见图 (4).综上所述 ,Q 点的轨迹可能是四种.(2) 因为 A(5,0) 在圆 M内,由(1) 知, 点 Q的轨迹是以 M,A为焦点的椭圆 ,且|MA|=2=2c,|MP|=4=2a,所以 b=,由椭圆的几何性质可知,Q 为短轴端点时 , 最大 ,所以 SMQA的最大值为· 2c·b=.14.(2017 ·二模 ) 如图 , 抛物线 E:y2=2px(p>0) 与圆 O:x2+y2=8 相交于 A,B 两点 , 且点 A 的横坐标为 2. 过劣弧 AB上的动点 P(x0,y0) 作圆 O 的切线交抛物线 E 于 C

15、,D 两点 , 分别以 C,D 为切点作抛物线 E 的切线 l1,l2,l1 与 l2 相交于点 M.(1) 求 p 的值 ;(2) 求动点 M的轨迹方程 .解:(1) 由点 A 的横坐标为 2, 可得点 A 的坐标为 (2,2),代入 y2=2px, 解得 p=1.(2) 设 C(,y1),D(,y2),y10,y2 0.切线 l1:y-y1=k(x-),代入 y2=2x 得 ky2-2y+2y1-k=0,由=0 解得 k=,【2019最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第八篇第节曲线与方程所以 l1 方程为 y=x+, 同理 l2 方程为 y=x+.联立解得因为 CD方程为 x0x+y

16、0y=8, 其中 x0,y0 满足 +=8,x0 2,2,联立方程得 x0y2+2y0y-16=0, 则代入可知 M(x,y) 满足所以代入 +=8 得-y2=1,考虑到 x02,2,知 x-4,-2.所以动点 M的轨迹方程为 -y2=1,x -4,-2.15.(2018 ·一模 ) ABC中,O 是 BC的中点 ,|BC|=3, 其周长为 6+3, 若点 T 在线段 AO上, 且|AT|=2|TO|.(1) 建立合适的平面直角坐标系 , 求点 T 的轨迹 E 的方程 ;(2) 若 M,N是射线 OC上不同的两点 ,|OM| ·|ON|=1, 过点 M的直线与 E交于 P,

17、Q两点 , 直线 QN与 E交于另一点 R,证明 : MPR是等腰三角形 .(1) 解: 以 BC所在直线为 x 轴,O 为坐标原点 , 建立平面直角坐标系 , 则9/119/11|AB|+|AC|=6>|BC|,所以点 A 的轨迹是以 B,C 为焦点的椭圆 ,所以 2a=6,2c=3,所以 a=3,c=,所以 b2=a2-c2=,所以点 A 的轨迹方程为 + =1(y 0).设 T(x,y), 点 T 在线段 AO上, 且|AT|=2|TO|,所以 A(3x,3y),代入轨迹方程 ,整理可得点 T 的轨迹 E 的方程是 x2+2y2 =1(y 0).(2) 证明 : 根据题意 , 设 M(m,0),(m>0), 由|OM|·|ON|=1,得 N