【2019最新】精选高三数学(理)人教版一轮训练：第八篇第3节椭圆

1、【 2019 最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第八篇第 3节椭圆【选题明细表】知识点、方法题号椭圆的定义与标准方程1,3,6,7,10椭圆的几何性质2,4,5,8椭圆定义、标准方程及几何性质的综合应用9,11,12,13,14基础巩固 ( 时间 :30 分钟 )1.(2017 ·泉州质检 ) 已知椭圆 +=1 的长轴在 x 轴上 , 焦距为 4, 则 m等于(A)(A)8(B)7(C)6(D)5解析 : 因为椭圆 +=1 的长轴在 x 轴上 ,所以解得 6<m<10.因为焦距为 4, 所以 c2=m-2-10+m=4,解得 m=8.2. 椭圆 +=1 的离心率为

2、, 则 k 的值为 (C)(A)-21(B)21 (C)-或 21(D) 或 21解析 : 若 a2=9,b2=4+k, 则 c=, 由=,欢迎下载。即=, 得 k=-;若 a2=4+k,b2=9, 则 c=, 由=,即=, 解得 k=21. 故选 C.3. 椭圆 +=1 上一点 M到焦点 F1 的距离为 2,N 是 MF1的中点 , 则|ON| 等于(B)(A)2(B)4(C)8(D)解析 : 如图 , 连接 MF2,已知 |MF1|=2,又|MF1|+|MF2|=10,所以 |MF2|=10-|MF1|=8.由题意知 |ON|=|MF2|=4.故选 B.4.(2017 ·一模 )

3、 如图所示 , 一个圆乒乓球筒 , 高为 20 厘米 , 底面半径为 2 厘米 , 球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球 , 乒乓球与球筒底面及侧面均相切 ( 球筒和乒乓球厚度均忽略不计 ), 一个平面与两个乒乓球均相切 , 且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆 , 则该椭圆的离心率为( B )(A)(B)(C)(D)解析 : 不妨设椭圆方程为 +=1(a>b>0),由球筒的轴截面图形得椭圆的长轴长为AD=AC+CD=AF+EA=EF=20-4,【2019最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第八篇第节椭圆短轴长为球筒的直径4, 所以解得a=8,b=2, 所 以c=2, 所 以

4、该椭 圆 的离 心 率为e=. 故 选B.5. 若点 O 和点 F 分别为椭圆 +=1 的中心和左焦点 , 点 P 为椭圆上的任意一点 , 则·的最大值为 (C)(A)2(B)3(C)6(D)8解析 : 由椭圆 +=1, 可得点 F(-1,0),点 O(0,0),设 P(x,y),-2 x2,则·=(x,y) ·(x+1,y)=x2+x+y2=x2+x+3(1-)=x2+x+3= (x+2)2+2, 当且仅当 x=2 时, ·取得最大值 6. 故选 C.6.(2017 ·宁夏二模 ) 椭圆 C:+=1(a>b>0) 上的任意一点 M

5、 到两个焦点的距离和是 4, 椭圆的焦距是 2, 则椭圆 C 的标准方程是.解析 : 椭圆 C:+=1(a>b>0) 上的任意一点M 到两个焦点的距离和是4,焦距是 2, 则有 2a=4,2c=2,即 a=2,c=1, 所以 b2=a2-c2=3,椭圆的标准方程为 +=1.答案 :+=13/113/117.(2017 ·一模 ) 已知 ABC的顶点 A(-3,0) 和顶点 B(3,0), 顶点 C 在椭圆 +=1 上, 则=.解析 : 由椭圆 +=1 知长轴长 2a=10, 短轴长 2b=8,焦距 2c=6, 则顶点 A,B 为椭圆的两个焦点 . 如图 ABC中,|AB|

6、=6,|BC|+|AC|=10, 由正弦定理可知 =2R,所以 =, 即=,则=3.答案 :3能力提升 ( 时间 :15 分钟 )8.(2017 ·四模 ) “神舟”五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行,实现了人民的航天梦想, 某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆, 地球在椭圆的一个焦点上 , 如图所示 , 假设航天员到地球的最近距离为 d1, 到地球的最远距离为 d2, 地球的半径为 R,我们想象存在一个镜像地球 , 其中心在“神舟” 飞船运行轨道的另外一个焦点上 , 若在此焦点上发射某种信号 , 需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到 ,则信号传导到地球人的最短距离为(D)

7、(A)d1+d2+R(B)d2-d1+2R(C)d2+d1-2R (D)d1+d2【2019最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第八篇第节椭圆解析 : 设椭圆的方程为 +=1(a>b>0), 半焦距为 c, 两焦点分别为 F1,F2, 运行中的航天员为 P,由已知得则 2a=d1+d2+2R,最短距离为 |PF1|+|PF2|-2R=2a-2R=d1+d2. 故选 D.9.(2017 ·广州一模 ) 已知 F1,F2 分别是椭圆 C:+=1(a>b>0) 的左、右焦点 , 椭圆 C上存在点 P使 F1PF2为钝角 , 则椭圆 C的离心率的取值范围是(A)(

8、A)(,1)(B)(,1)(C)(0,)(D)(0,)解析 : 法一设P(x0,y0),则 |x0|<a,又 F1(-c,0),F2(c,0),且 F1PF2为钝角 , 当且仅当· <0 有解 ,即 (-c-x0,-y0)· (c-x0,-y0)=(-c-x0)(c-x0)+<0,即 有c2>+ 有解,即 c2>(+)min.当(+) 最小时|PO|=最小,此时点P为短轴端点,所以(+)min=b2,所以 c2>b2,c2>a2-c2, 所以 >, 即 e>.又 0<e<1, 所以 <e<1. 故

9、选 A.法二由椭圆图形知 , 短轴端点对两焦点的张角F1BF2最大 , 需满足5/115/11题意 , 这个张角的范围是 (90 °,180 °), 如图 .当这个角为 90°时 , F1BF2为等腰直角三角形 ,大于 90°时 , BF2O<45°, 所以 e=cosBF2O>cos 45°=, 结合 e<1得<e<1. 故选 A.10.(2017 ·模拟 ) 已知点 F,A 是椭圆 C:+=1 的左焦点和上顶点 , 若点 P是椭圆 C上一动点 , 则 PAF周长的最大值为.解析 : 设椭圆右

10、焦点为F2, 椭圆 C:+=1,a=4,由椭圆的定义 |PF|+|PF2|=2a=8,|AF|+|AF2|=2a=8,所以 PAF周长为 |AF|+|PF|+|PA|AF|+|PF|+|PF2|+|AF2|=4a=16,当且仅当 AP过 F2 时 PAF周长取最大值 ,所以 PAF周长的最大值为16.答案 :1611.(2017 ·张家界一模 ) 已知 A,B,F 分别是椭圆 x2+=1(0<b<1) 的右顶点、上顶点、左焦点 , 设 ABF的外接圆的圆心坐标为(p,q).若 p+q>0,则椭圆的离心率的取值范围为.解析 : 如图所示 , 线段 FA的垂直平分线为

11、x=, 线段 AB的中点 (,).因为 kAB=-b, 所以线段 AB的垂直平分线的斜率 k=, 所以线段 AB的垂直平分线方程为 y-= (x-).【2019最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第八篇第节椭圆把 x=p 代入上述方程可得y=q.因为 p+q>0,所以 +>0,化为 b>.又 0<b<1, 解得 <b2<1,即-1<-b2<-,所以 0<1-b2<,所以 e=c=(0,).答案 :(0,)12.(2017 ·兰州模拟 ) 已知椭圆 C:+=1(a>b>0) 的一个顶点为A(2,0),离心

12、率为 . 直线 y=k(x-1) 与椭圆 C交于不同的两点M,N.(1) 求椭圆 C的方程 ;(2) 当 AMN的面积为时 , 求 k 的值 .解:(1) 由题意得解得 b=,所以椭圆 C的方程为 +=1.(2) 由得 (1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.7/117/11设点 M, N 的坐标分别为 (x1,y1),(x2,y2),则 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2=,x1x2=,所以 |MN|=.又因为点A(2,0) 到直线y=k(x-1) 的距离d=, 所以 AMN的面积为S=|MN|·d=,由=,解得 k=±1.13.(2017 &#

13、183;一模 ) 已知椭圆 C:+=1(a>b>0) 的左右顶点分别为 A1,A2, 上下顶点分别为 B2,B1, 左右焦点分别为 F1,F2, 其中长轴长为 4, 且圆O:x2+y2=为菱形 A1B1A2B2的内切圆 .(1) 求椭圆 C的方程 ;(2) 点 N(n,0) 为 x 轴正半轴上一点 , 过点 N作椭圆 C 的切线 l, 记右焦点 F2 在 l 上的射影为 H,若 F1HN的面积不小于 n2, 求 n 的取值范围.解: (1) 由题意知 2a=4, 所以 a=2,所以 A1(-2,0),A2(2,0),【2019最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第八篇第节椭圆因

14、为 B1(0,-b),B2(0,b),所以直线 A2B2的方程为 +=1, 即 bx+2y-2b=0,所以 =, 解得 b2=3,故椭圆 C的方程为 +=1.(2) 由题意 , 可设直线 l 的方程为 x=my+n,m0,联立消去 x 得(3m2+4)y2+6mny+3(n2-4)=0.由直线 l 与椭圆 C 相切 , 得=(6mn)2-4 ×3×(3m2+4)(n2-4) =0,化简得 3m2-n2+4=0.(*)设点 H(mt+n,t),由(1) 知 F1(-1,0),F2(1,0),则· =-1,解得 t=-,所以 F1HN的面积= (n+1) -=,把*

15、式代入 , 消去 n 化简得 =|m|,所以 |m| n2=(3m2+4),解得 |m| 2,即 m24,9/119/11从而 4, 又 n>0,所以 n4,故 n 的取值范围为 ,4.14.(2017 ·一模 ) 已知椭圆 C1:+=1(a>b>0) 的离心率 e=, 且过点 (2,),直线 l1:y=kx+m(m>0) 与圆 C2:(x-1)2+y2=1相切且与椭圆 C1交于 A,B两点 .(1) 求椭圆 C1 的方程 ;(2) 过原点 O 作 l1 的平行线 l2 交椭圆于 C,D 两点 , 设|AB|= |CD|,求的最小值 .解:(1) 由题意得结合 a2=b2+c2,解得 a=4,b=2,故椭圆 C1的标准方程为 +=1.(2) 联立得