导数及其应用

1、1第第 1 讲讲变化率与导数、导数的计算变化率与导数、导数的计算知 识 梳 理1.导数的概念(1)函数 yf(x)在 xx0处的导数一 般 地 ， 函 数 y f(x) 在 x x0处 的 瞬 时 变 化 率 是0limx yx0limx f（x0 x）f（x0）x， 我们称它为函数 yf(x)在 xx0处的导数， 记作 f(x0)或 y|xx0，即 f(x0)0limx f（x0 x）f（x0）x.(2)函数 f(x)的导函数如果函数 yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数 f(x)0limx f（xx）f（x）x为 f(x)的导函数

2、.2.导数的几何意义函数 yf(x)在点 x0处的导数的几何意义，就是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率，过点 P 的切线方程为 yy0f(x0)(xx0).3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)C(C 为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axln af(x)ln xf(x)1xf(x)logax(a0，且 a1)f(x)1xln a4.导数的运算法则2若 f(x)，g(x)存在，则有：(1)f(x)g(x)f(x)g

3、(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)f（x）g（x） f（x）g（x）f（x）g（x）g（x）2(g(x)0).1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩 PPT 展示(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同.()(2)求 f(x0)时，可先求 f(x0)，再求 f(x0).()(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.()(4)若 f(x)a32axx2，则 f(x)3a22x.()2.(选修 11P75 例 1 改编)有一机器人的运动方程为 s(t)t23t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻 t2 时的瞬时速度为()A.194B.174C.1

4、54D.1343.已知函数 f(x)(2x1)ex，f(x)为 f(x)的导函数，则 f(0)的值为_.4.曲线 y5ex3 在点(0，2)处的切线方程为_.5.已知函数 f(x)ax3x1 的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2，7)，则 a_.考点一导数的计算【例 1】 求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yxx21x1x3；(3)yxsinx2cosx2；(4)ycos xex.【训练 1】 (1)f(x)x(2 017ln x)，若 f(x0)2 018，则 x0等于()A.e2B.1C.ln 2D.e(2)已知函数 f(x)axlnx， x(0， )， 其中 a 为实数，

5、 f(x)为 f(x)的导函数.若 f(1)3，则 a 的值为_.考点二导数的几何意义3(1)已知 f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x)ex1x，则曲线 yf(x)在点(1，2)处的切线方程是_.(2)已知函数 f(x)xlnx，若直线 l 过点(0，1)，并且与曲线 yf(x)相切，则直线l 的方程为()A.xy10B.xy10C.xy10D.xy10【例 22】 (2017西安调研)设曲线 yex在点(0，1)处的切线与曲线 y1x(x0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为_.命题角度三求与切线有关的参数值(或范围)【例 23】 已知直线 y12xb 与曲线 y12xln x 相

6、切，则 b 的值为()A.2B.1C.12D.1(1)若曲线 yxlnx 上点 P 处的切线平行于直线 2xy10，则点 P 的坐标是_.(2)函数 f(x)lnxax 的图象存在与直线 2xy0 平行的切线，则实数 a 的取值范围是_.基础巩固题组一、选择题1.设 yx2ex，则 y()A.x2ex2xB.2xexC.(2xx2)exD.(xx2)ex2.已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足 f(x)2xf(1)ln x，则 f(1)等于()A.eB.1C.1D.e3.曲线 ysin xex在点(0，1)处的切线方程是()A.x3y30B.x2y20C.2xy10D.3xy104.

7、(2017成都诊断)已知曲线 yln x 的切线过原点，则此切线的斜率为()A.eB.eC.1eD.1e45.(2017昆明诊断)设曲线 y1cos xsin x在点2，1处的切线与直线 xay10 平行，则实数 a 等于()A.1B.12C.2D.2二、填空题6.若曲线 yax2ln x 在点(1，a)处的切线平行于 x 轴，则 a_.7.如图，yf(x)是可导函数，直线 l：ykx2 是曲线 yf(x)在x3处的切线， 令g(x)xf(x)， 其中g(x)是g(x)的导函数， 则g(3)_.8.已知曲线 yxlnx 在点(1，1)处的切线与曲线 yax2(a2)x1 相切，则 a_.三、解

8、答题9.已知点 M 是曲线 y13x32x23x1 上任意一点， 曲线在 M 处的切线为 l， 求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线 l 的倾斜角的取值范围.10.已知曲线 yx3x2 在点 P0处的切线 l1平行于直线 4xy10，且点 P0在第三象限.(1)求 P0的坐标；(2)若直线 ll1，且 l 也过切点 P0，求直线 l 的方程.第第 2 讲讲导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用知 识 梳 理51.函数的单调性与导数的关系函数 yf(x)在某个区间内可导，则：(1)若 f(x)0，则 f(x)在这个区间内单调递增；(2)若 f(x)0，则 f(x)在这个区间内单调递减；

9、(3)若 f(x)0，则 f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小， f(a)0，而且在点 xa 附近的左侧 f(x)0，则点 a 叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大， f(b)0，而且在点 xb 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0.()(2)f(x)0 是 f(x)为增函数的充要条件.()(3)对可导函数 f(x)，f(x0)0 是 x0为极值点的充要条件

10、.()(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()2.函数 f(x)的定义域为区间(a，b)，导函数 f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在区间(a，b)内极小值点的个数为()6A.1B.2C.3D.43.(2017郑州调研)函数 y12x2ln x 的单调递减区间为()A.(1，1B.(0，1C.1，)D.(0，)4.(2016四川卷)已知 a 为函数 f(x)x312x 的极小值点，则 a()A.4B.2C.4D.25.若函数 f(x)kxln x 在区间(1，)单调递增，则 k 的取值范围是_.第 1 课时导数与函数的单调性考点一利用导数研究函数

11、的单调性【例 1】 (2016四川卷节选)设函数 f(x)ax2aln x，g(x)1xeex，其中 aR，e2.718为自然对数的底数.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)证明：当 x1 时，g(x)0.【训练 1】 设 f(x)ex(ax2x1)(a0)，试讨论 f(x)的单调性.考点二求函数的单调区间【例 2】 (2015重庆卷改编)已知函数 f(x)ax3x2(aR)在 x43处取得极值.(1)确定 a 的值；(2)若 g(x)f(x)ex，求函数 g(x)的单调减区间.7【训练 2】已知函数 f(x)x4axln x32， 其中 aR， 且曲线 yf(x)在点(1， f(1)处的切线

12、垂直于直线 y12x.(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间.考点三已知函数的单调性求参数【例 3】 (2017西安模拟)已知函数 f(x)ln x，g(x)12ax22x(a0).(1)若函数 h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求 a 的取值范围；(2)若函数 h(x)f(x)g(x)在1，4上单调递减，求 a 的取值范围.【训练 3】 已知函数 f(x)x3ax1.(1)若 f(x)在 R 上为增函数，求实数 a 的取值范围；(2)若函数 f(x)的单调减区间为(1，1)，求 a 的值.基础巩固题组8一、选择题1.函数 f(x)xln x 的单调递减区间为()A.(0

13、，1)B.(0，)C.(1，)D.(，0)(1，)2.(2015陕西卷)设 f(x)xsin x，则 f(x)()A.既是奇函数又是减函数B.既是奇函数又是增函数C.是有零点的减函数D.是没有零点的奇函数3.已知定义在 R 上的函数 f(x)，其导函数 f(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A.f(b)f(c)f(d)B.f(b)f(a)f(e)C.f(c)f(b)f(a)D.f(c)f(e)f(d)4.若函数 f(x)2x33mx26x 在区间(2，)上为增函数，则实数 m 的取值范围为()A.(，2)B.(，2C.，52D.，525.函数 f(x)的定义域为 R，f(1)2，对

14、任意 xR，f(x)2，则 f(x)2x4 的解集为()A.(1，1)B.(1，)C.(，1)D.(，)二、填空题6.已知函数 f(x)(x22x)ex(xR，e 为自然对数的底数)，则函数 f(x)的单调递增区间为_.8.已知 f(x)2lnxx25xc 在区间(m，m1)上为递减函数，则 m 的取值范围为_.三、解答题9.已知函数 f(x)ln xkex(k 为常数， e 是自然对数的底数)， 曲线 yf(x)在点(1， f(1)处的切线与 x 轴平行.(1)求 k 的值；9(2)求 f(x)的单调区间.10.已知函数 f(x)x3ax2xc，且 af23 .(1)求 a 的值；(2)求函

15、数 f(x)的单调区间；(3)设函数 g(x)(f(x)x3)ex，若函数 g(x)在 x3，2上单调递增，求实数 c的取值范围.第 2 课时导数与函数的极值、最值考点一用导数研究函数的极值(多维探究)命题角度一根据函数图象判断极值设函数 f(x)在 R 上可导， 其导函数为 f(x)， 且函数 y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)B.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)D.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)命题角度二求函数的极值【

16、例 12】 求函数 f(x)xaln x(aR)的极值.命题角度三已知极值求参数已知关于 x 的函数 f(x)13x3bx2cxbc 在 x1 处有极值43，试求 b，c 的值.10【训练 1】 设函数 f(x)ax32x2xc(a0).(1)当 a1，且函数图象过(0，1)时，求函数的极小值；(2)若 f(x)在 R 上无极值点，求 a 的取值范围.考点二利用导数求函数的最值【例 2】 (2017郑州模拟)已知函数 f(x)(xk)ex.(1)求 f(x)的单调区间；(2)求 f(x)在区间0，1上的最小值.【训练 2】 设函数 f(x)aln xbx2(x0)，若函数 f(x)在 x1 处

17、与直线 y12相切，(1)求实数 a，b 的值；(2)求函数 f(x)在1e，e上的最大值.考点三函数极值与最值的综合问题【例 3】 已知函数 f(x)ax2bxcex(a0)的导函数 yf(x)的两个零点为3 和 0.(1)求 f(x)的单调区间；11(2)若 f(x)的极小值为e3，求 f(x)在区间5，)上的最大值.【训练 3】 (2017衡水中学月考)已知函数 f(x)ax1ln x(aR).(1)讨论函数 f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数 f(x)在 x1 处取得极值，x(0，)，f(x)bx2 恒成立，求实数b 的最大值.基础巩固题组一、选择题1.下列函数中，既是奇函

18、数又存在极值的是()A.yx3B.yln(x)C.yxexD.yx2x2.若 a0，b0，且函数 f(x)4x3ax22bx2 在 x1 处有极值，若 tab，则t 的最大值为()A.2B.3C.6D.93.已知 yf(x)是奇函数，当 x(0，2)时，f(x)ln xaxa12 ，当 x(2，0)时，f(x)的最小值为 1，则 a 的值等于()A.14B.13C.12D.14.已知函数 f(x)x3ax2(a6)x1 有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围是()A.(1，2)B.(，3)(6，)C.(3，6)D.(，1)(2，)125.设函数 f(x)ax2bxc(a，b，cR)，若 x1 为函数 f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为 yf(x)图象的是()二、填空题6.已知函数 f(x)x3ax23x9，若 x3 是函数 f(x)的一个极值点，则实数 a_.