直线的参数方程及其应用学案

1、直线的参数方程及应用目标点击：1.掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义；2.熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化；3.利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题；根底知识点击：1、 直线参数方程的标准式(1)过点P0(xo, y),倾斜角为的直线l的参数方程是x =Xc 十 t c os一，- .一0(t 为参数)t的几何意义：t表示有向线段PoP的数量，P(x,y)、y = y0+t s i nP P0P=tP=tIP P0P PI=t=t(2)假设P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2,贝U P PlP P2=t=t2t tiIP P

2、1P P2 I= =It t2-t t1 I(3)假设P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、WJ P1P2中点P3的参数为t3=Uk,l P0P3 I= =2(4)假设P0为P1P2的中点，那么t tl +t t2=0,0, t tit t200时，点P在点P0的上方;2当t=。时，点P与点P0重合；3当t0时，点P在点P0的右侧;5当t=。时，点P与点P。重合；6当t xP0t2 ,I= =It2ti I4:4:假设P0为直线l上两点Pi、P2的中点，Pi、P2所对应的参数分别为ti、t2,那么ti、t2之间有何关系？根据直线l参数方程t的几何意义，PiP=ti,P2P

3、=t2, P0为直线l上两点Pi、P2的中点，| PiP|= |P2P|PiP= P2P,即ti = t2, tit20,设这个二次方程的两3、直线1x =1 t.52y -1 t. 5t为参数的斜率和倾斜角分别是A) 2和arctg( 2)C) 2和冗一arctg2B) 1和2D) 1和21 arctg( 1)2,1n arctg 24、直线x =x0+t cosety =y。+tsinat为参数上的点A、B所对应的参数分别为ti,t2，点Px：*t值t、t2,那么|AB|等于5、直线l的方程:t为参数A、B是直线l上的两个点，分别对应参数It1 t2 IB、a2+b2It1 t2 It-t

4、2a2b26、直线l : Jm : x y 2w3=0 交于 P 点，求点t为参数参数方程学案11个根为t1、t2,由韦达定理得t+t2=15, t1t2=-类，由M为线段AB的中点,84参数方程学案12=5.738点拨：利用直线l的标准参数方程中参数t的几何意义，在解决诸如直线l上两点间的距离、直线l上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线l的普通方程来解决显得比拟灵活和简捷.例 7:直线l经过点P 1, 33，倾斜角为兰，31求直线l与直线 l y = x -2 J3 的交点Q与P点的距离| PQ| ;2求直线l和圆 x2 3+ y2= 16的两个交点A , B与P点的距离之积.解

5、：1:直线l经过点P 1, 33 ，倾斜角为兰，二直线l的标准参数方程为x=1七cos?，即XT+Jt为参数代入直线 r：-4兀_2 .3y = -3 J3七sin y = 3 +tI.3 L_22. 3y=x-2/3 侍1+ t - -3/3 + t _ 23 = 0 整理，解侍t=4+2x332t=4+2寸 3 即为直线l与直线l的交点Q所对应的参数值，根据参数t的几何意义可知：|t|=| PQ|, .| PQ|=4+2V3. 把直线l的标准参数方程为0,设此二次方程的两个根为t1、t2那么t1t2=12根据参数t的几何意义，t1、t2分别为直线和圆 x2+y2= 16的两个交点A, B所

6、对应的参数值，M |t1|=| PA|,| t2|=| PB|,所以| PA| - | PB| =|t1t2|=12点拨： 利用直线标准参数方程中的参数 t 的几何意义解决距离问题、 距离的乘 积 或商的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点根据t的几何意义，得| PM| =1516M点的坐标为L +t22.中点M所对应的参数为tM= 15,将此值代入直线的标准参数方程16o3 1541x =25 16164153y = ,=5164(t1 12)-4t 112 |AB| =参数方程学案13坐标再利用两点间的距离公式简便.例8:设抛物线过两点A( 1,6)和B(- 1,-2)

7、,对称轴与 x 轴平行，开口向右, 直线y=2x+7被抛物线截得的线段长是4瑚而，求抛物线方程.解：由题意，得抛物线的对称轴方程为y=2.设抛物线顶点坐标为(a , 2)方程为(y2)2=2P(x-a) (P0)点B(- 1,-2)在抛物线上，.(一2-2)2=2P( 1-a)aP= 8- P代入得(y 2)2=2Px+ 2P+16将直线方程y=2 x +7化为标准的参数方程tga=2, ot为锐角，-0,可设方程的两根为ti、t2,5f(ti+t2)2 4tit2= 4(而*5(12_)2+U竺=(4而)2化简，得(6 P)2=10044 P=16或P=-4(舍去)所求的抛物线方程为(y2)

8、2=32x+ 48点拨：(1)(1)(对称性) 由两点A( 1,6)和B(-1, - 2)的对称性及抛物线的对称 性质，设出抛物线的方程(含P一个未知量，由弦长AB的值求得P).(2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。对丁有些题使用直线的参数方程相对简便些22例9:9:椭圆(xT)+匕=1 , AB是通过左焦点F1的弦，F2为右焦点,43求| F2A| - | F2B|的最大值.解：由椭圆方程知 a= 2, b=V3,c=1, F1(0,0),F2(2,0)，设过的弦所在直线的x = t cosot.参数万程为，(t为参数)代入椭圆万程整

9、理得、y =tsin(3+ sin% ) t2 6 t cos 9=0 , =36cos + 36(3+ sin% ) 0此方程的解为t1、t2,分别为A、B两点.，-、6 cos- 9对应的参数，由韦达正理t1 +t2=-2t1t2= -23sin：3 sin -根据参数t的几何意义，t1、t2分别为过点F1的直线和椭圆的两个交点cos/ =1,sin.： =2.5. 5/曰.直线与抛物线相交丁4212 2P-t +尸t -7 = 0 , |55参数方程学案14A, B所对应的参数值，| F1A| = |t1|F1B|= |t2|参数方程学案150亡(0,兀)，且g |) (1)直线l与圆

10、x2+y2= 5 相交丁B,C将直线l的方程(1)代入圆的方程得t2+2at cosB +a2 5 = 0, =(2acosB )2-4(a2 5)0.即 一 a2sin2e+50(2)tB +tc= 2acosBtBtc=a2 5直线l与抛物线y2=x+7相交丁A,D将直线l的方程(1)代入抛物线的 方程得(sin2e)t2 t cose a 7=0 ,即1+(4a+27) sin% 0+a 一 7tc= -7sin线段Ag线段BC的中点重合，即co展-即-2a=,sin -将sin% =-【代入、2a = coe-4(sin2e)(- a 7)0(3)tA+tD=捋sin2口 乂.|AB|

11、=|CD|tA +tD=tB +tctB2= - 2acossin -. . 0sin勺1JI丰2a+10?02a 27e 亡(0,兀)，且。a 必须满足c_1：0 = -10a -2a 1- 212t +t2)24tit2=- 3 sin :-a = 4F2B|=(4-| FiA|)(4-|FiB|)=16-4|AB|+|FiA| - | FiB|It t2-1 11 I+| t tit t2|=16-4一+一93 sin ：3 sin :-“39=i6-23 sin :25a=i时，| F2A| - | F2B|有最大值一4点拨：求过定点的直线与圆锥曲线相交的距离之积，利用直线的参数方程解

12、题，此题中两定点Fi(0,0),F2(2,0),显然Fi坐标简单，因此选择过Fi的直线的参数方程，利用椭圆的定义将| F2A|F2B|转化为| F1A|F1B|.例10:10:(黄冈习题册：P155，第23题)(2)除书中解法外，补充解法二.解法二：设过点P(a,0)的直线l的参数方程为尸ic。%为参数y =tsin。|AB|=It t2-1 1i I =| FiA| - | FiB| = |ti| - |t2|=| tit2|由椭圆的第一定义| FiA|+|F2A| = 2a= 4, | FiB|+| F2B|=2| F2A| - |=16-4当sin2参数方程学案16点拨：此题利用直线参数

13、方程形式比普通方程求a 的范围运算量相对要小，注意使用直线上两个点的中点的参数.方法总结：利用直线l的参数方程：；：t为参数，给研究直线与 圆锥曲线C: Fx,y=0的位置关系提供了简便的方法.一般地，把l的参数方程代入圆锥曲线C: Fx,y=0后，可得一个关丁t的 一元二次方程，ft=0,1、1当0时，方程 ft=0的两个根分别记为tl、也，把tl、t2分别代入l的参 数方程即可求的l与C的两个交点A和B的坐标.3、 定点P0 x0,y。是弦AB中点 uti+t2=04、l被C截得的弦AB的长|AB| = |t1 12| ;P0A -POB=t1- t2;弦AB中点M点对应的参数为y2； |POM I=22根底知识测试2:xtt为参数与椭圆 x2+2y2=8 交于A、B两点，那么|AB|等于y = -27、直线J参数方程学案17+1A 2.2 B-3C 2 D3x = x0+tcosa, 一t为参数与二次曲线y =y0+t sin