【2019最新】精选高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用检测A

1、【 2019 最新】精选高中数学人教A 版选修 2-2 习题：第一章导数及其应用检测A( 时间 :90 分钟满分 :120 分)一、选择题 ( 本大题共 10 小题 , 每小题 5 分, 共 50 分. 在每小题给出的四个选项中 , 只有一项是符合题目要求的)1 若曲线 y=x2+ax+b 在点 (0,b) 处的切线方程是x-y+1=0, 则()A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1解析 y'=2x+a, 曲线 y=x2+ax+b 在(0,b) 处的切线的斜率为a, 切线方程为 y-b=ax, 即 ax- y+b=0. a=1,b=1.答案 A

2、2 若函数 f(x)=ax5+bx3+c满足 f'(1)=2,则 f'(-1)等于 ()A.-1B.-2C.2D.0欢迎下载。解析 f'(x)=5ax4+3bx2为偶函数 , f'(-1)=f'(1)=2.答案 C3 若函数 f(x)=aln x+x在 x=1 处取得极值 , 则 a 的值为 ()A.B.-1C.0D.-解析 f'(x)=+1,令 f'(x)=0,得 x=-a,易知函数 f(x) 在 x=-a 处取得极值 .所以 a=-1.答案 B4 已知函数 f(x) 的导数 f'(x)=a(x+1)(x-a),且 f(x) 在

3、 x=a 处取得极大值, 则实数 a 的取值范围是()A.(- 1,+ ) B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+ )答案 B5 设 f(x)=f(x)dx等于 ()2【2019最新】精选高中数学人教版选修2-习题：第一章导数及其应用检测A.B.C.D.解析 f(x)dx=x2dx+dx=x3+ln x.故选 A.答案 A6 已知点 P 在曲线 y=上, 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角 , 则 的取值范围是 ()A.B.C.D.解析因为 0>y'= -1, 当且仅当 x=0 时取等号 . 即- 1tan<0, 所以<.答案 D7(ex+2x)dx 等于 ()A.

4、1B.e-1C.eD.e+1解析 (ex+x2)'=ex+2x, (ex+2x)dx=(ex+x2)=(e1+12)-(e0+0)=e.3/133/13答案 C8 设 aR,若函数 y=eax+3x,x R有大于零的极值点 , 则()A.a>-3B.a<-3C.a>-D.a<-解析令 y'=aeax+3=0, eax=-.设 x=x0 为大于 0 的极值点 , =-. a<0,ax0<0. 0<<1,即 0<- <1. a<-3.答案 B9 设 a<b, 函数 y=(x-a)2(x-b)的图象可能是 ()解

5、析 y'=2(x-a)(x-b)+(x-a)2=(x-a)(3x-a-2b),令 y'=0, 得 x=a 或 x=. a<b,a<.当 x=a 时,y 取极大值 0;当 x=时,y 取极小值 , 且极小值小于零 . 故选 C.答案 C4【2019最新】精选高中数学人教版选修2-习题：第一章导数及其应用检测10 若函数 f(x),g(x)满足 f(x)g(x)dx=0,则称 f(x),g(x)为区间 -1,1上的一组正交函数 . 给出三组函数 :f(x)=sin x,g(x)=cos x;f(x)=x+1,g(x)=x-1;f(x)=x,g(x)=x2.其中为区间 -

6、1,1上的正交函数的组数是()A.0B.1C.2D.3解析对于 ,sin x·cos xdx=sin xdx=sin xdx=(-cos x)-cos 1-cos(-1)=(-cos 1+cos 1)=0.故为一组正交函数 ;对于 ,(x+1)(x-1)dx=(x2-1)dx=-1-=-2=- 0,故不是一组正交函数;5/135/13对于 ,x ·x2dx=x3dx=0.故为一组正交函数 , 故选 C.答案 C二、填空题 ( 本大题共 5 小题 , 每小题 5 分, 共 25 分. 把答案填在题中的横线上 )11dx=.解析取 F(x)=-,从而 F'(x)=.则

7、dx=F(-1)-F(-2)=-.答案12 若函数 f(x) 在 x=a 处的导数为 A(aA0), 函数 F(x)=f(x)-A2x2满足F'(a)=0,则 A=.解析由题知 f'(a)=A,又 F'(x)=f'(x)-2A2x,且 F'(a)=f'(a)-2aA2=A-2aA2=0.6【2019最新】精选高中数学人教版选修2-习题：第一章导数及其应用检测 aA0, A=.答案13 已知函数 f(x) 在(0,+ ) 内可导 , 且 f(ex)=x+ex,则f'(1)=.解析令 ex=t, 则 x=ln t,f(t)=ln t+t, f

8、'(t)=+1, f'(1)=2.答案 214 设曲线 y=ex 在点 (0,1) 处的切线与曲线y=(x>0) 上点 P 处的切线垂直, 则点 P 的坐标为.解析曲线 y=ex 在点 (0,1) 处的切线斜率 k=y'=ex|x=0=1; 由 y=, 可得 y'=-,因为曲线 y=(x>0) 在点 P处的切线与曲线y=ex 在点 (0,1) 处的切线垂直 ,所以 -=-1, 解得 xP=1,由 y=, 得 yP=1,故所求点 P的坐标为 (1,1).答案 (1,1)15 已知函数 f(x) 为一次函数 , 其图象经过点 (3,4),且 f(x)dx

9、=1,则函数f(x) 的解析式为.解析设函数 f(x)=ax+b(a 0).7/137/13函数 f(x) 的图象经过点 (3,4), b=4-3a. f(x)dx=(ax+4-3a)dx =a+4-3a=1, a=.b=. f(x)=x+.答案 f(x)=x+三、解答题 ( 本大题共 5 小题 , 共 45 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )16(8 分) 求定积分 dx 的值 .解 dx=dx=dx =1dx-dx=1-2dx=1-2ln(x+2)=1-2ln 2.17(8 分) 已知曲线 f(x)=2x3-3x,过点 M(0,32) 作曲线 f(x) 的切线 , 求切线的

10、方程 .解设切点坐标为N(x0,2-3x0),8【2019最新】精选高中数学人教版选修2-习题：第一章导数及其应用检测由导数的几何意义知切线的斜率k 就是切点处的导数值 , 而f'(x)=6x2-3,所以切线的斜率k=f'(x0)=6-3.所以切线方程为y=(6-3)x+32.又点 N在切线上 , 所以 2-3x0=(6-3)x0+32,解得 x0=-2.故切线方程为y=21x+32.18(9 分) 求函数 y=x3+3-ln x的单调区间 .解函数的定义域为 (0,+ ),y'=x2-.令 y'>0, 则解得 x>1;令 y'<0,

11、则解得 0<x<1.故函数的单调递增区间为(1,+ ), 单调递减区间为 (0,1).19(10 分) 设 f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中 aR,曲线 y=f(x) 在点 (1,f(1)处的切线与 y 轴相交于点 (0,6).9/139/13(1) 确定 a 的值 ;(2) 求函数 f(x) 的单调区间与极值 .解(1) 因 f(x)=a(x-5)2+6ln x,故 f'(x)=2a(x-5)+.令 x=1, 得 f(1)=16a,f'(1)=6-8a,所以曲线 y=f(x) 在点 (1,f(1)处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1),由点 (

12、0,6) 在切线上可得 6-16a=8a-6, 故 a=.(2) 由(1) 知,f(x)=(x-5)2+6ln x(x>0),f'(x)=x-5+.令 f'(x)=0, 解得 x1=2,x2=3.当 0<x<2 或 x>3 时,f'(x)>0,故 f(x)的单调递增区间为(0,2),(3,+); 当 2<x<3 时,f'(x)<0,故 f(x)的单调递减区间为 (2,3).由此可知 f(x) 在 x=2 处取得极大值 f(2)=+6ln 2,在 x=3 处取得极小值 f(3)=2+6ln 3.20(10 分) 已知

13、 f(x)=a(x-ln x)+,aR.(1) 讨论 f(x) 的单调性 ;10【2019最新】精选高中数学人教版选修2-习题：第一章导数及其应用检测(2) 当 a=1 时, 证明 f(x)>f'(x)+对于任意的 x1,2 成立 .解(1)f(x) 的定义域为 (0,+ ). f'(x)=a-.当 a0时,x (0,1) 时 ,f'(x)>0,f(x)单调递增 ,x (1,+ )时,f'(x)<0,f(x)单调递减 . 当 a>0 时,f'(x)=. 0<a<2时,>1,当 x(0,1) 或 x时 ,f'

14、;(x)>0,f(x)单调递增 ,当 x时 ,f'(x)<0,f(x)单调递减 .a=2时,=1, 在 x(0,+ ) 内,f'(x)0,f(x)单调递增. a>2时,0<<1,当 x或 x(1,+ ) 时 ,f'(x)>0,f(x)单调递增 ,当 x时 ,f'(x)<0,f(x)单调递减 .综上所述 , 当 a0时 ,f(x)在(0,1) 内单调递增 , 在(1,+ ) 内单调递减 ;当 0<a<2 时,f(x) 在(0,1) 内单调递增 , 在内单调递减 , 在内单调递增 ;当 a=2 时,f(x) 在(

15、0,+ ) 内单调递增 ;11/1311/13当 a>2 时,f(x) 在内单调递增 , 在内单调递减 , 在(1,+ ) 内单调递增 .(2) 由(1) 知,a=1 时,f(x)-f'(x)=x-ln x+=x-ln x+-1,x 1,2.设 g(x)=x-ln x,h(x)=-1,x 1,2.则 f(x)-f'(x)=g(x)+h(x).由 g'(x)= 0,可得 g(x) g(1)=1,当且仅当 x=1 时取得等号 .又 h'(x)=,设 (x)=-3x2-2x+6,则 (x) 在 x1,2 单调递减 ,因为 (1)=1, (2)=-10,所以 ? x0(1,2),使得x(1,x0