开普勒定律的推导及应用

1、开普勒定律的推导及应用江苏南京师范大学物科院王勇江苏海安曲塘中学周延怀随着人类航天技术的飞速开展和我国嫦娥绕月卫星的发射成功，以大体运动为载体的问题将成为今后考查热点。在现行的高中物理教材中主要引用了开普勒三大定律来描述了大体 的运动的规律，这三条定律的主要内容如下：(1)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上。(2)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。(3)所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值:-2=C至于行星绕太阳的轨道为何是椭圆以及T2中的常量C与那些量相关并无说明。 为了更深入的理解大体和人造卫星的运行规律，本文将

2、以椭圆的性质为根底从理论上推导开普勒定律。一、开普勒第一定律1.地球运行的特点(1)由于地球始终绕太阳运动，那么太阳对地球的万有引力的力矩始终为零，所以地球 在运动过程中角动量守恒。(2)假设把太阳与地球当作一个系统，由于万有引力为保守力且无外力作用在这个系统 上，所以系统机械能守恒。2.地球运行轨迹分析地球在有心力场中作平面运动且万有引力的作用线始终通过太阳,极坐标系，那么所以建立如下图的假设太阳质量为M地球质量为m极径为r时地球运行的运行速度为V。由式3得:由式4可知，当地球的运行速度与极径r垂直时，地球运行的极径r有两解，由于初始假设地球的运行速度与极径垂直，所以r为地球处在近日点和远日

3、点距太阳的距离。考虑到地球的这两个位置在极坐标系中分别相当于COS#=-1和COS。=+1,可把式4中的土号改写为更普遍的形式极坐标方程。1GMmML湖 那么地球的运行轨迹方程为 n十2丽为决定圆锥曲线的开口，必e为偏心率，决定运行轨迹的形状，所以地球的运行轨迹为圆锥曲线。由于地球绕太阳运动时E0,贝朋锥曲线的偏心率0史1,所以地球绕太阳运行的轨迹为椭圆。3.人造星体的变轨当地球的运行速度与极径r垂直时，那么地球运行过程中的角动量(1)假设取无穷远处为引力势能的零参考点,那么引力势能-GMm,地球在运行过程厂1与GMmE=mv中的机械能2(2)1式代入G性-昼02式得：二. L -(3)(4)

4、(5)5式与圆锥曲线的极坐标方程夕吻合，其中GMm2(p道，假设要使人造星体到达预定的轨道， 要在地面跟踪测控网的跟踪测控下， 选择适宜时机向 卫星上的发动机发出点火指令使人造星体的速度增加机械能增加，进而到达改变卫星运-GW妒8 = _- 行轨道的目的。如下图最初人造星体直接由火箭送入近地轨道1,此时22?,偏心率e=0,人造星体运行的轨迹为圆；当到达A点时，人造星体发动机点火，此时元一E0,偏心率0e1,运行的轨迹为椭圆轨道2;当到达B点时，人造星体发动机再次点火，当泌时，偏心率e=0,人造星体将在圆轨道3上运行；当到达B点时人造星发动机再次点火，人造星体将在开口更大的椭圆轨道4上运动，人

5、造星体将离地球越来越远，当地球对它的引力小于其它星体对它的引力时，人造星体将脱离地球的束缚奔向其它星体如嫦娥一号卫星。二、开普勒第二定律行星绕太阳的轨道为椭圆，假设在时刻t行星位于A点，经dt时间后行星位于点B,在1七dS - r此时间内行星的极径r转过的角度为d。，贝U AO眄围的面积21岂小竺%1式除以dt有出2曲2(2)2由于角动量L = mrm33式代入2式得入2 :2m由于L是恒量，所以单位时间内极径所扫过的面积dt也是恒量。所以地球在近日点运行的快，在远地点运行的慢。如图人造星体从轨道1变化到轨道3的过程中，假设点火前后A、B两点的速度分别为ViV2V3.V4,那么点火前后速度Vi

6、M, V3V3;由于人造星体在轨道1。轨道3上做匀速圆周运动，以MM;故V2VV4V3。三、开普勒第三定律行星绕太阳运动椭圆轨道的面积，根据椭圆的性质那么椭圆的面积S二屈a为长轴，b为短轴由于单位时间内极径所扫过的面积力2用_ S局2m危b1 - -= -dS L L贝U周期2机1 T22根据椭圆的性质和开普勒第一定律，半长轴GM好1-/2式得I24那期必4那次%I =-j- =-J-2式代入1式得GMm白1一，3根据椭圆的性质，椭圆的半短轴T34式4代入3式得代3GMC,由此式可知绕同一中心大体运行的人造星体轨道半长轴的三次方跟它们的公转周期的二次方的比值由中心大体的质量所决定。例 飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T,如下图如果飞船要返回地面，可在轨道上的某点A将速度降低到适当的数值，从而使飞船沿着地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球外表在B点相切，求飞船由A点到B点所需的时间。地球半径为R分析：无论飞船是沿圆轨道运行还是沿椭圆轨道运行，飞船都是绕地球运