二项分布中方差的计算

1、项分布中方差的计算 假设EB(n,p),即P0=k =C：pkqn考虑EE (E -1)=EE2-EE而n (n -1) (n -2)!(k -2)!n-2-(k -2)!n_22 - -i i n _i.222 22上式= n(n-1)p , Cn2Pq =n(n-1)p =n p -npi4即E2_E= n2p2- np2,再将EE=np代入上式，得E?2 =n2p2-np2+ np = n2p2十np(1一p)最后得D二E2_(E )2= n2p2np(1 p) (np)2: npq4.2超几何分布例1的图形：nE ( -1)6k(k-1)C；pkqnkOn八k(k-1)k22.n!k!

2、(n -k)!k n_kp qn=k =2nk n上2.k_2 k _2 n_Rp q -n(n -1)pvCn/ p qk =2m z0m z0CN1CnNi!N2!m!(N1m)! (n-m)! (N2-n m)!N1Cn(Ni-1)!N2!(m T)!(N1T m 1)! (n 7 m 1)!(N2 n 1 m T)!设N个元素分为两类，有N1个属于第一类，出个属于第二类(N1+ N2=N).从中不重n个，令E表示这n个中第一类元素的个数，那么E的分布称为超几何分布，m n _mCN1CN2P(=m)=7CN规定:如nn,在保持N1/N不变的#况下N1和 心也会很大，也有Nm, N2n-

3、m,因此有2222Ni(N=1)n(n-1) nNin2N2D E (E -) 2N1(N1-1)n(n -1)N nN1N(N -1) - n2N12(N -1)2N (N -1)nM(N1_1)(n -1)N N(N -1) _nN1(N -1)N2(N -1)2nMNnN - N1N -nN N N -N -nNN nN1N2(N -1)nMI-MN -nN N2nN12N (N -1)nN1N(N - N1) -n(N - N1)nN1(N - N1)(N -n)N1 =n N2N2(N -1)N2N -n N -n npq N N -1 N -12N2(N -1)其中q=1-p另有一

4、种方法计算E的数学期望，假设H是第i次抽到第一类元素的个数，因为只是1次,当然不是1就是0,因此服从0-1分布，且有N1心P(i=1)p, P(i=0)q,NN(i =12,n),贝U E i = -1= p (i =1,2，n) NE，=E(； 2 n) = E1 E； E n因此N1=nEi= n = np N整个方法同二项分布时的相应方法一样，只是各E i间并非相互独立，但和的期望等于期望的和这条性质并不要求和中各项的随机变量相互独立。当N非常大时，远大于抽样数n时，记作Nn超几何分布可以用二项分布来近似。为说明这一点，首先给出一个近似式如下：nNn当Nn时，有CN球里n!CN_ N(N

5、 -1)(N -2) (N -n 1)这是因为Nnn!n!2(1)(1)- (1N N当N很大时，后面每个括号的值近似为1,n!= C：pmq当N趋于无穷时，近似式就成为准确式。4.3普哇松分布普哇松分布的来源是这样，有时候要在一个单位长的时间段内进行大量的二项分布试验，但希望在这个单位长的时间段内事件A发生的平均数量为指定值 入因此将单位长度的时间段平均划分为n段，在每一段做一次独立试验，使事件A发生的概率为p,而因为单位时间长 度内，即n次试验中A平均要发生给定值 入次，而二项分布的均值为np,也就是满足Fnp,或者说在给定试验次数n和均值入的情况下， p= n那么，当n很大时，p必然很小

6、，这时候的二项分布就很接近普哇松分布，当n趋向于无穷大时，必有p趋向于无穷小，即在每个“无穷小的时间段内都做一次独立试验，事件A发生的概率也是无穷小，但积累起来，单位时间内A发生的平均数量还是入在推导时，要用到近似公式e-，：(1 -x)x当x趋向于无穷小时等式严格成立.当给定 在np,且n很大,p=如很小时P( =k) = Cnkpkqnk假设kn因此C：之L那么k!/knk n*(np)P( = k) ： p q(1 -p)k!k!因此我们有定义4.3如果随机变量七的概率密度函数是mP.(m)=P(=m)二e (m = 0,1,.) m!P(二m)工m nmCNiCN2CNmn _mN1N

7、2一m! (n - m)!Nnm!(n m)! ( N J ( N )k! k!其中Q0,那么称七服从普哇松(Poisson)分布.利用级数kX一八e二k卫k!二二二二，m可得、,P (m) =、e-1 - e-e1 =1m mm!数学期望与方差的计算二二mm-1M一 九q一/u 九AE=、m e- -e-m乂m!m4(m -1)!令k = m _1那么二二kE ie，= k z0k!当用普阿松分布来近似二项分布时，九二np ,其数学期望与二项分布的数学期望是一致的。因为. m2, m -2E1- ( -1) -E2-E = m(m1)e = e-mfm!mm-2)!令k=m-2 ,那么k.-ikE ( -1)二二e-=2k=ok!E2=2E = .2.,最后得D = E2-(E )2二人2因此，普阿松分布的期望和方差都是标准差为JT,这给统计带来方便。因为，通常情况下是知道一随机变量服从普阿松分布，但是未知参数是此参数正好是数学期望，因此就统计一段时间，看单位时间内某事件出现的次数的