计算机图形学 第3章 曲线

1、3.3 曲 线 图 形3.3.1 曲线的生成算法1Bezier曲线 （1）Bezier曲线的定义：给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，n），则Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是其中，Pi构成该Bezier曲线的特征多边形，Bi，n(t)是n次Bernstein基函数： （i=0，1，n）niniittBPtP0, 1 , 0),()(iniiniinnittininttCtB)1 ()!( !)1 ()(, 图3-24 三次Bezier曲线P0P1P2P3P0P1P2P3当n=1时，P(t)= P0B0,1(t)+ P1B1,1(t) = P0 (1-t)+ P1t一次B

2、ezier曲线是连接P0与P1的直线段。当n=2时，P(t)= P0B0,2(t)+ P1B1,2(t) + P2B2,2(t) = P0 (1-t) 2-2P1 t (1-t) + P2t2二次Bezier曲线是一条过P0、P2的抛物线。当n=3时，P(t)= P0B0,3(t)+ P1B1,3(t) + P2B2,3(t) + P3B3,3(t) = P0 (1-t) 3+3P1 t (1-t) 2+ 3P2t2(1-t) + P3 t3三次Bezier曲线 Bernstein基函数曲线如图3-25所示。101 tB0,3B1,3B2,3B3,3B图3-25 三次Bezier曲线基函数（2

3、）Bernstein基函数的性质。正性端点性质权性对称性递推性 （i=0，1，n）1,.,2 , 1),1 , 0(01 , 00)(,nitttBniotherwiseitBni001)(,otherwisenitBni01)(,) 1 , 0(, 1)(0,ttBnini)()(,tBtBninni)()()1 ()(1, 11,ttBtBttBninini（3）Bezier曲线的性质。端点性质l曲线端点位置矢量： 当t=0时，P(0)= P0；当t=1时，P(1)= Pn。 Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。l切矢量：当t=0时，P(0)=n (P1- P0

4、)；当t=1时，P (1)=n (Pn- Pn-1)。 Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第1条边及最后一条边的走向一致。对称性：由控制顶点Qi =Pn-i构造出的新Bezier曲线，与原Bezier曲线形状相同，但走向相反。凸包性：在0，1区间变化时，对某一个t值，P(t)是特征多边形各顶点Pi的加权平均，加权因子依次是Bi，n(t)。在几何图形上，曲线落在Pi构成的凸包之中，如图3-26所示。 图3-26 Bezier曲线的凸包性几何不变性：Bezier曲线的位置和形状与其特征多边形顶点的位置有关，它不依赖坐标系的选择。凸包（4）Bezier曲线的程序设计。三次Bezi

5、er曲线的程序设计如下： CDC *pDC=GetDC(); pDC-MoveTo(x0,y0); /移到曲线上的第一个点for(t=0.01;tLineTo(x,y); /用小直线段绘制曲线2Bezier曲线的递推算法kninktPPtkPPkikiiki,.,1 , 0,.,2 , 1)1 (0111上式中： 是定义Bezier曲线的控制点，即为曲线P(t)上具有参数t的点。iiPP 0递推算法程序设计。CDC *pDC=GetDC(); pDC-MoveTo(x0,y0);for(t=0.05;t1.0001;t=t+0.05) for(i=0;i=n;i+) xxi=xi, yyi=y

6、i; for(k=1;k=n;k+) for(int i=0;iLineTo (xx0,yy0);（3）递推算法几何作图当n=3时，递推出的 呈直角三角形，对应结果如图3-29所示。从左向右递推，最右边点 即为曲线上的点。kiP30PP0P1P2P3P01P11P21P02P12P03P0P1P2P3P01P11P21P02P12P03=P(1/3)0 1/3 1图3-29 n=3时niP的递推关系 图3-30 几何作图法求Bezier曲线上一点 （n=3，t=1/3）niP3Bezier曲线的拼接如图3-32，设给定特征多边形的顶点为P0、P1、P2、P3、P4、P5，由它们控制的曲线为5次

7、Bezier曲线（虚曲线）。如果在P2、P3直线上增加一个控制点Q，则P0、P1、P2、Q和Q、P3、P4、P5分别控制两个三次Bezier曲线（实曲线），在连接处具有一阶连续。图3-32 Bezier曲线的拼接P0P1P2QP3P4P54Bezier曲线的升阶与降阶（1）Bezier曲线的升阶。保持Bezier曲线的形状与定向不变，增加控制顶点数，可以提高Bezier曲线的次数。增加控制顶点数，就增加了对曲线进行形状控制的灵活性，还在构造曲面方面有着重要的应用。 （2）Bezier曲线的降阶。降阶是升阶的逆过程。给定一条由原始控制顶点Pi（i=0，1，n）定义的n次Bezier曲线，要求找到

8、一条由新控制顶点（i=0，1，n-1）定义的n-1次Bezier曲线来逼近原始曲线。5反算Bezier曲线控制点 Bezier曲线是由控制点控制的，曲线只经过控制点的起点和终点，如果要构造一条Bezier曲线经过给定n+1个型值点Qi（i=0，1，2，n），可反求该Bezier曲线的控制点。3.3.2 B样条曲线 1B样条的定义B样条曲线方程定义为式中，Pi（i=0，1，n）是控制多边形的顶点，Ni,k (t)（i=0，1，n）称为k阶（k-1次）B样条基函数。 B样条的基函数由递推公式定义为（约定0/0=0） （tk-1ttn+1）式中，ti是节点值，T= t0，t1，tn+k构成了k阶B样

9、条函数的节点矢量，其中的节点是非递减序列。nikiitNPtP0,)()(otherwisettttNiii01)(11 ,2B样条曲线类型的划分B样条曲线按其节点矢量中节点的分布情况，可划分为多种类型。假定控制多边形的顶点为Pi（i=0，1，n），介绍两种常用的简单类型。（1）均匀周期样条曲线。均匀：节点向量ti =i（i=0，1，2，n+k）， ti ti +1=常数。周期：所有基函数形状一样，可由其中一个基函数平移得到。 Ni,k(t)= Ni-1,k(t-1)= Ni+1,k(t+1)图3-34 二次Ni，3基函数曲线二次均匀周期B样条曲线P (t)= Pi N0,3 (t +2)+P

10、i +1N 0,3 (t +1)+Pi +2N 0,3 (t) （0t1，i = 0，1，2，n-2）N0,3 (t +2)=(3-( t +2)2/2=(1-t)2/2N0,3 (t +1)= -(t +1)2+3(t +1)-3/2=-t 2+t +1/2N0,3 (t)= t 2/2例如：给定如图3-35所示的5个控制点，则由它们控制的二次B样条曲线有3段，由P0、P1、P2控制的二次B样条曲线为P (t)= P0(1-t)2/2+P1(-t2+t+1/2)+ P2 t2/2当t=0时，P(0)= 0.5P0+0.5P1 （为P0 P1的中点。）当t=1时，P(1)= 0.5P1+0.5

11、P2 （为P1 P2的中点。）同理由P1、P2、P3控制的二次B样条曲线为P(t)= P1(1-t)2/2+P2(-t2+t+1/2)+ P3 t2/2由P2、P3、P4控制的二次B样条曲线为P(t)= P2(1-t)2/2+P3(-t2+t+1/2)+ P4 t2/2可见二次B样条曲线经过控制多边形各边的中点，各段曲线在各边的中点处一阶连续，其所共有的切线就是控制多边形的边。P0P1P2P4P3P(0)P(1)P(2)图3-35 均匀周期二次B样条曲线示意图主要VC程序代码为： CDC *pDC=GetDC(); x1 = (x0 + x1) * 0.5; y1 = (y0 + y1) *

12、0.5;pDC-MoveTo (x1,y1);for(i=0; in-2; i+)for(t=0.01; tLineTo (x1,y1);三次均匀周期B样条曲线。对于三次B样条曲线，需要计算N0，4(t)，可以得出N0，4(t)是一个4段函数，因此每段三次B样条曲线由4个控制点控制，其表达式为P(t)= PiN0,4 (t+3)+Pi+1N 0,4 (t+2)+Pi+2N 0,4 (t+1)+ Pi+3N 0,4 (t) （0t1，i=0，1，2，n-3）N0,4 (t+3)=(-t3+3t2+3t+1)/6N0,4 (t+2)=(3t3-6t2+4)/6N0,4 (t+1)=(-3t3+3t

13、2-3t+1)/6N0,4 (t)=t3/6P3P1P(0)P0P2P4P(1)P(0)P(1)图3-36 三次均匀周期B样条曲线其主要VC程序代码为： CDC *pDC=GetDC(); x1 = (x0 + x2) * 0.5 / 3 + 2 * x1 / 3; y1 = (y0 + y2) * 0.5 / 3 + 2 * y1 / 3; pDC-MoveTo (x1,y1); for(i=0;in-3;i+) for(t=0.01; tLineTo (x1,y1); （2）准均匀非周期的B样条曲线。与均匀周期B样条曲线的差别在于：两端节点具有重复度k，基函数不是周期出现。节点向量的定义：

14、 tk-1ttn+1niknnikkikiti210设n=5（6个控制点）时，k取不同值时的节点向量值：k=2：节点向量为（0，0，1，2，3，4，5，5） 0t5k=3：节点向量为（0，0，0，1，2，3，4，4，4） 0t4k=4：节点向量为（0，0，0，0，1，2，3，3，3，3） 0t3k=5：节点向量为（0，0，0，0，0，1，2，2，2，2，2） 0t2k=6：节点向量为（0，0，0，0，0，0，1，1，1，1，1，1） 0t1 如图3-37所示，它显示出不同k值的B样条曲线。当k=2时，准均匀非周期B样条曲线就是控制多边形本身；当k=6时，准均匀非周期B样条曲线就是Bezier曲

15、线。图3-37 不同阶次的准均匀非周期B样条曲线示意图基函数 准均匀非周期二次B样条曲线的基函数如图3-38所示。 0 1 1NN0,3N1,3N2,3N3,32t图3-38 准均匀非周期二次B样条曲线的基函数示意图 均匀B样条曲线没有保留Bezier曲线端点的几何性质，即样条曲线的首末端点不再是控制多边形的首末端点。采用准均匀的B样条曲线就是为了解决这个问题，使曲线在端点的行为有较好的控制，如图3-39所示。图3-39 准均匀三次B样条曲线 （3）非均匀B样条曲线。在这种类型里，任意分布的节点矢量T=t0，t1，tn+k，只要在数学上成立（节点序列非递减，两端节点重复度k，内节点重复度k-1）都可选取。这样的节点矢量定义了非均匀B样条基函数。3B样条曲线的性质（1）局部性。 移动该曲线的第i个控制顶点Pi至多影响到定义在区间（ti，ti+k）上那部分曲线的