关于积分上函数的小结

1、关于积分上限函数x 积分上限函数(或变上限定积分) F(x) a f (t) dt的自变量是上限变量 x， a在求导时，是关于 x求导，但在求积分时，则把 x 看作常数，积分变量 t在积分区间 a, x 上变动。弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运 算的前提。1 关于积分上限函数的理论x定理 1 如果 f (x)在a,b上可积，则 F(x)f(t)dt 在a, b上连续.ax定理 2 如果 f(x)在a,b上连续，则 F(x) f(t)dt在a,b 上可导，且 adxF (x) d a f (t)dt f (x).dx a注：()从以上两个定理可看出，对 f(x) 作变上限积分

2、后得到的函数，性 质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。这是积分 上限函数的良好性质。而我们知道，可导函数 f(x) 经过求导后，其导函数 f (x) 甚至不一定是连续的。()定理( 2)也称为原函数存在定理。它说明：连续函数必存在原函 数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。我们知道，求原函数是求 导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的 极限，是积分学的问题。定理( 2 )把两者联系了起来，从而使微分学和积分 学统一成为一个整体，有重要意义。db推论 1 f (t)dt f(x)dx xd (x)推论 2 c f (t)dt f (x) (

3、x)dx cd (x)推论3 ddx (xx) f (t)dt f (x) (x) f (x) (x)2 积分限函数的几种变式x(1) 比如 F(x) (x t)f (t)dt(被积函数中含 x , 但 x 可提到积分号外面来 .)xxxx在求 F (x)时，先将右端化为xf(t)dt tf(t)dt x f(t)dt tf(t)dt 的形0000式，再对 x 求导。x(2)比如 F(x) 0tf (t x)dt( f 的自变量中含 x, 可通过变量代换将 x 置换到 f 的外面来 )在求 F ( x)时，先对右端的定积分做变量代换 u t x(把 x看作常数)，此时，dt du，t 0时，

4、ux；t x时，u 0，这样， F(x) 就化成了以 u 作为12)积分变量的积分下限函数：0F(x) x(x u) f(u)du0x f (u)dux0x uf (u)du ，然后再对 x 求导。(这是含参数 x 的定积分 , 可通过变量代换将x 变换到积分限的位置上去 )在求 F (x) 时，先对右端的定积分做变量代换u xt (把 x 看作常数)，此时，dt du ，t 0时， u 0；t 1时， u x， x于是， F ( x)就化成了以 u 作为积分变量的积分上限函数： F(x)1xf (u)du ，然后再对 x 求导。 x03 有积分限函数参与的题型举例1) 极限问题：x 2 3

5、sin ( 3 ) 比如 F(x) 0 f (xt)dt tdt 例 1 lxim0 x 0 (答：x 0 0 t(t sin t )dtxsint dt例2求。lim 0 xx 答： 2 )提示：本题用洛必达法则求不出结果，可用夹逼准则例3已知极限 limx0x0e1bx a 0 stintc dt 1，试确定其中的非零常数 a,b,c.答： a 1,b1,c1.)2)求导问题例4已知t(10t0cosu ) du,dy求ddxy . (答:2 t(1 cost)sin tsin udu.例5已知0 etdt0xycostdt00.求ddyx. (答: eyycos(xy) )x cos(

6、xy)例6求ddxxsin(xt)2dt例7sin x2 )设 f (x) 在 () 内连续且 f(x) 0, 求证x0 tf (t)dt(x) 0x在 (0, )0 f (t)dt内单调增加 .(3) 最大最小值问题例8 在区间1,e上求一点 , 使得下图中所示的阴影部分的面积为最小(提示: 先将面积表达为两个变限定积分之和 : A(x)xln tdt1ex(1 lnt)dt ,f (u)(xu)duxu00 f(t)dtdu.然后求出 A (x),再求出其驻点. 答:e.)例 9 设x 0， n为正整数. 证明 f(x) 0 (t t例 11 设 f(x) 在 ( , ) 内连续 , 证明

7、)sin2ntdt 的最大值不超过1(提示 : 对右端的积分施行分部积分法 .)x 0 x 1,x例12 设 f(x) 2 x 1 x 2, 求 (x) 0 f (t)dt在( , )内的表达 0 x 0, x 2.式.(说明 : 这类题在概论课中求连续型随机变量的分布函数时会遇到 . 求表达式 时, 注意对任一取定的 x, 积分变量 t在0,x内变动.0x0,12 x0x1,答:(x) 21121.)(x 2) 22x2,1x2(5) 含有未知函数的变上限定积分的方程(称为积分方程)的求解问题例 13 设函数 (x) 连续，且满足x x x(x) ex 0 t (t)dt x 0 (t)dt

8、. 求 (x).(x) 1 (cosx sinx ex)说明：这类问题总是通过两端求导，将所给的积分方程化为微分方程，然后求解 . 注意初值条件隐含在积分方程内 . 答: (x) cosx sinx)例 14 设 f(x) 为正值连续函数 , f (0) 1, 且对任一 x 0, 曲线 y f(x) 在区间0, x上的一段弧长等于此弧段下曲边梯形的面积 , 求此曲线方程 . (说明: 根据题设列出的方程将含有 f (x)的积分上限函数 .xx答: f (x) e e (x 0)2(6) 利用积分上限函数构造辅助函数以证明积分不等式等例 15 设 f (x), g(x)均在a,b 上连续 , 证

9、明以下的 Cauchy-Swartz 不等式:b2( a f(x)g(x)dx)2ab 2 b 2f 2 (x)dx g 2(x)dx. aab说明: 本题的通常证法是从不等式 f(x) tg(x)dx 0出发, 由关于t的二 a次函数非负的判别条件即可证得结论 . 但也可构造一个积分上限函数 , 利用 该函数的单调性来证明 . 提示如下 :x 2 x 2 x 2令F(x) a f(t)g(t)dt2 a f 2(t)dt a g2(t)dt. 则F(a) 0. a a a求出F (x)并证明F (x) 0. 从而F (x)单调减少, 于是得 F(b) F(a) 0. 由此可得结论 . 这种证

10、法有一定的通用性 . 例如下例 .例16 设 f ( x)在0,1上连续且单调减少 . 证明: 对任一 01, 有10 f (x)dx 0 f (x)dx.1x0 f(x)dx 0 f(x)dx 0 f (t)dt(提示: 即证 0 0 . 于是作 F(x) 0 , 只需证 F(x)单 1x调减少即可得结论 .)利用积分上限函数构造辅助函数 , 还常用于证明与微分中值定理有关 的某些结论 . 比如下题 .例 17 设 f (x), g(x)在a,b上连续 . 求证: 存在(a,b), 使bf ( ) g(x)dx g( ) a f (x)dx.axb(提示: 令F(x)f(t)dt g(t)d

11、t. 对F(x)在a,b上用Rolle 定理即可证ax得结论) 关于积分限函数的奇偶性与周期性x定理 3 设 f x 连续， xf t dt.如果 f x 是奇(偶)函数，则 x 是0偶(奇)函数；如果如果 f x 是周期为 T 的函数，且 T f x dx 0,则 x 是相 同周期的周期函数 .证 设f x 奇, 则x t u x f t dt 0x 为偶函数 .设f x 偶, 则x t u x f t dt 0x 为奇函数 .T若 f x dx00，则xT0(x) 为周期为Tf t dtududxf t dt0T 的周期函数 .例 18 设 f (x) 在 (Tf t dt) 内连续 , F(x)f奇u duu duf偶x0 (2t(a) 如果 f(x)是偶函数 , 则F ( x)也是偶函数 ;xf u du0xf u du0Tf t dt0x)f(t)dt . 证明:(b) 如果 f (x) 是单调减少函数 , 则 F(x) 也是单调减少函数x,x,x,1