数系的扩充与复数的引入新题培优练

1、刷好题练水平昌£5満毎*升扃兜战根底题组练1 . 2021长春监测设i为虚数单位,那么1+ i1 + i=B. - 2iC. 2解析：选 D.( 1 + i)(1 + i) = - 1-i + i + i2=- 1 1 = - 2应选 D.2 . 2021高考全国卷II设z=- 3+ 2i,那么在复平面内 z对应的点位于B.第二象限A.第一象限C.第三象限D. 第四象限解析：选C.由题意,得z =- 3 2i,其在复平面内对应的点为一3,- 2,位于第三象限,应选C.为纯虚数,那么实数 a=a3 . 2021福州模拟假设复数z=+ 1-+ 1 = |+ 1 为纯虚数,C. 1解析：选

2、A.由于复数z=汁广1= 1 +1 - i1 = 0且|工0,解得a =- 2.应选A.4 . 2021南昌模拟复数z满足1 + iz= 2,那么复数z的虚部为解析:选 B.法一：由于1+ iz= 2,所以 z=总=1 +1 1-i那么复数z的虚部为一1应选B.法二:设 z= a + bi(a, b R),那么(1 + i)(a+ bi) = a- b+ (a+ b)i = 2,a b= 2,解得 aa + b= 0,=1, b =- 1,所以复数z的虚部为1应选B.那么共轭复数z =2021石家庄质量检测假设复数z满足亡 =i,其中i为虚数单位,-1-i解析：选B.由题意,得z= i1 i

3、= 1 + i,所以z = 1 i,应选B.26.21 + 2 = a + bi(a, b R, i 为虚数单位,那么a + b=()C.- 4 解析：选 A.由于 1 + - 2= 1 + 4 + 4 =-3 - 4i,ii i2所以一3 4i = a+ bi,贝U a =- 3, b=- 4, 所以a+ b=- 7,应选A.7.2021 肥质量检测i为虚数单位,那么(2 + i)( 3-4i)=(5iC.712.5-寸7+ 12.-5+耳解析:选A.法一:2 + i)( 3 4i)= 5,应选 A.法二:(2+ i)( 3-4i)( 2+ i) 2 (3-4i)(3+ 4i)( 3-4i)

4、(2 + i)( 2-i)=5,应选A.& 2021河北“五个一名校联盟模拟假设复数z满足z1 + i = 2ii为虚数单位,那么|z|C. 22i ( 1-i)解析：选C.由于z=总=1 + i ；- i =1 + i,所以 |z|= ,2.应选 C.9.a R, i是虚数单位.假设z= a + .3i, z-z = 4,贝U a=()A.1或一1C. I： 3解析：选A.法一：由题意可知z = a - . 3i,所以z = (a + . 3i)(a . 3i) = a2+ 3 = 4,故a= 1或1.法二：z -z = |zp= a2 + 3= 4,故 a= 1 或一1.10.设z

5、= 1+ ii是虚数单位,贝U z2- 2=A. 1 + 3iB . 1 - 3iC . 1 + 3iD . 1-3i解析：选 c.由于 z=1 + i,所以 z2=(1 + i)2= 1 + 2i + i2= 2i,2=f = (1 + ()1( 1-i)= 1-匚那么 Z2-!= 2i - (1-i)= - 1 + 3i.应选 C.11.假设复数z满足3 4iz=|4+ 3i|,那么z的虚部为C. 44D.4解析：选 D.由于 |4+ 3i| = 42 + 32 = 5,所以 z-55 (3 + 4i) (3 4i)( 3+ 4i)3+ 4i 3 +54 4耳,所以z的虚部为5.12 .设

6、复数Z1, Z2在复平面内对应的点关于实轴对称,Z1右2+i,那么 7=(3 ,.B.3+5i4c. 1 + 5i4D . 1 + 3i解析：选B.由于复数Z1, z2在复平面内对应的点关于实轴对称,Z1= 2 + i,所以Z2= 2Z12 + i ( 2+ i) 23 , 4.丄,、亠 _所以Z2=芦= 3 + 4i,应选B.13.设复数z满足z = |1 i|+ ii为虚数单位,那么复数z=解析：复数z满足z = |1 i|+ i = 2+ i,那么复数z= 2 i.答案：2 i14.设 z=+ ii为虚数单位,那么|z|=1+ i解析:由于11 i1 i1 1z=不 + i =( 1 +

7、 i)(1 i) + i =+ i=2+刁,所以 |z|=2211-+ _22答案:15.复数z=4 + 22i为虚数单位在复平面内对应的点在直线x 2y + m = 0上,解析：z=+n=即二笃?八=12i,复数z在复平面内对应的点的坐标为 (1, 2),将其代入 x 2y+ m= 0,得 m= 5.答案：54i16.当复数z= (m+ 3) + (m 1)i(m R)的模最小时, 解析：Z|= : (m+ 3) 2+( m 1) 2 ='2m2 + 4m + 10= '2 (m+ 1) 2+ 8, 所以当m= 1时, Z|min =2 '2,所以41=舄 4i (2

8、+ 2i)z 2 2i=-1 + i.答案：1 + i1.(综合型)假设实数a, b,=x|x= b + c,贝U AQ ?rB 为(综合题组练c满足 a2+ a+ bi<2 + ci(其中 i2= 1),集合 A = x|x= a, BB. 0C. x| 2<x<1D. x| 2<x<0 或 0<x<1解析：选D.由于只有实数之间才能比拟大小,故a2+ a+ bi<2 + ci? a + *<2,解得b = c= 0,2<a<1,因此 A= x| 2<x<1 , B = 0,故 AQ ?rB= x| 2<x&

9、lt;1 Q x|x R ,0 = x|b= c= 0,2<x<0 或 0<x<1.2.(综合型)假设虚数(x 2) + yi(x, y R)的模为3,那么y的最大值是()bFc.2D. .'3解析：选D.由于(x 2)+ yi是虚数,所以沪0,又由于 |(x 2) + yi|= .3, 所以(x 2)2 + y2= 3.由于y是复数x+ yi对应点与原点连线的斜率,10I二所以 y= tan/ AOB = 13,x max所以x的最大值为b3. 3+ 2i 是方程 2x2 + px+ q= 0 的一个根,且 p, q R,贝卩 p+ q=解析：由题意得 2(

10、3 + 2i)2+ p( 3+ 2i) + q= 0,即 2(5 - 12i) - 3p+ 2pi + q= 0,即(10-3p+ q) + (-24 + 2p)i = 0,所以p = 12,q = 26,所以 p+ q = 38.10 3p + q = 0, -24 + 2p = 0.答案：384复数z= I+ ' + |' + 凹8,那么复数z在复平面内对应点的坐标为 解析：由于 i4n+1 + i4n+ 2+ i4n+ 3+ i4n+ 4= i + i2+ i3+ i4= 0,而 2 018= 4x 504 + 2,所以z=i + i21 + i-1 + i1 + i1

11、+ ii + i2+ i3+ + i2 018=1+i=(1 + i)( 1 i) 2i =号=i,对应的点为(0, 1) (1 + i)( 1 - i)2答案：(0, 1)32一5.复数 Z1 =+ (10 - a2)i, z2=+ (2a- 5)i,假设 z 1+ Z2是实数,求实数 a 的值.a+ 51-a一32解：z 1 + z2=+ (a2- 10)i + (2a- 5)ia+ 51 -a32=云 + + (a2-10)+ (2a-5)ia 13(a+ 5)( a- 1)+ (a2+ 2a - 15)i.由于z 1 + Z2是实数, 所以 a2+ 2a- 15= 0, 解得a=- 5或a = 3.由于a+ 5工0, 所以- 5,故a = 3.6假设虚数z同时满足以下两个条件：5 z+ -是实数；z z+ 3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在？假设存在,求出z;假设不存在,请说明理由.解：这样的虚数存在,z=- 1 - 2i或z=- 2- i.设 z= a+ bi(a, b R 且 0),z+ 5 = a+ bi +za+ bi5 (a bi)=a+ bi + a2+b25a5b=a + a2