10三角函数的图象与性质(教师版)

1、第十、十一讲三角函数的图象与性质第1页(共5页)第#页(共5页)高考在考什么【考题回放】1.已知函数 f(x)二asi nxbcosx ( a、b 为常数,a = 0 , x R)在x处取得最小值，则函43tt数 y = f ( x)是(d )4(A) 偶函数且它的图象关于点(B) 偶函数且它的图象关于点(C) 奇函数且它的图象关于点(D) 奇函数且它的图象关于点(二,0)对称(,0)对称2(3 ,0)对称2(二，0)对称2 定义在R上的函数f (x)既是偶函数又是周期函数,f (x)的最小正周期是二，且当x ：= 0,时,25兀f (x) =sin x，贝U f ()的值为1(B)2(C)(

2、D71.4 .1存在区间(a, b)使y二cosx为减函数而 sinx v 0 tan x在其定义域内为增函数存在卅 5 (0,)使 sin a cosa2=cos2x sin( x)既有最大、最小值，又是偶函数2ji二sin | 2x |最小正周期为 n6以上命题错误的为4:5把函数y=cos(x+二-)的图象向右平移 $个单位，所得的图象正好关于y对称，则0的最小正值6.设函数f (x) =asin w x+bcos w x ( 3 > 0)的最小正周期为 n，并且当x= n时，有最大值f ()12 12 =4.(1 )求a、b、w的值；(2)若角：、3的终边不共线，f (门=f (

3、 3 ) =0,求tan (:B )的值.第#页(共5页)【专家解答】（1）由2n = n ,由x= n时，f （x）的最大值为12求其解析式。3 >0 得 3 =2./ f (x) =asin2 x+bcos2x.曰 R'a2 +b2 =4吕=2,4,得/r二丿 -3十宙3匕=4 b = 2寸3.Z2(2 a + 上)=4sin (23 + 上)=0.33(2 )由(1)得 f (x) =4sin ( 2x+n ),依题意 4sin3 sin ( 2 a +n ) sin (2 3 + n ) =0./ cos ( a + 3 +n ) sin ( a 3 ) =0333Ta、

4、3的终边不共线，即a 3工k n (k Z), 故sin ( a 30.'3 - a + 3 =k n + n (k Z) . - tan (a + 3 )=.63高考要考什么【考点透视】本专题主要涉及正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质.掌握两种作图方法：“五点法”和变换作图（平移、对称、伸缩）；三角函数的性质包括定义域、值域（最值），单调性、奇偶性和周期性.【热点透析】三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来 本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用常见题型：1 考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角

5、函数图象的基础上要 对三角函数的性质灵活运用2 三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强3 三角函数与实际问题的综合应用此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用突破重难点【范例1】右图为y=Asin（ -x+ ）的图象的一段， 解析 法1以M为第一个零点，则 2、. 3 , 川=2所求解析式为y w3sin（2）点M （ ,0）在图象上，由此求得=332：二 所求解析式为y=U3sin（2x-）3法 2.由题意 A=、3 , - =2，则 y

6、 = 3sin(2x )；图像过点（工二3） 、3二、3sin（?二）12 6 3 =、-3sin（7 第 W）即-2k；- - -2k二.取二66233-所求解析式为 y = '、3sin（2x -亠）3【点晴】1.由图象求解析式时，”第一零点”的确定很重要，尽量使A取正值.2.由图象求解析式 y =Asin(x k或由代数条件确定解析式时，应注意：一 1振幅A=(ymax -min )21(2) 相邻两个最值对应的横坐标之差，或一个单调区间的长度为丄T ,由此推出的值.2(3) 确定值，一般用给定特殊点坐标代入解析式来确定【范例2】已知函数f (x) = log 1 (sinx-c

7、osx)，2(1) 求它的定义域和值域；(2)求它的单调区间；(3)判断它的奇偶性； (4 )判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期。解析 (1)由题意得 sinx-cosx > 0 即、一 2sin(x )0,4JI从而得 2k 二：:x2k 二二，4函数的定义域为(2-,2) k Z ,441t 0 : sin(x - ) _1，故 0vsinx- cosx < . 2，所有函数 f(x)的值域是/:-)。42(2) 单调递增区间是2k： ,2 )kZ44o-'单调递减区间是(2小+二,2"十)k= Z ,44(3) 因为f(x)定义域在数轴上对应

8、的点不关于原点对称，故f(x)是非奇非偶函数。(4) f(x 2二)"ogjsin(x 2二)-cos(x 2二)=f (x)2函数f(x)的最小正周期 T=2n。【点睛】此题主要是考察对数函数与三角函数复合而成的复合函数的性质【范例3】设函数f (x) = ab，其中向量a = (m, cos2x) , b = (1 sin 2x,1), x R，且y = f (x)的图象经(I)求实数m的值；(n)求函数f (x)的最小值及此时 x值的集合.解：(I) f (x)二 a b 二 m(1 sin 2x) cos2x ,由已知叫cos；=2，得z.第3页(共5页)(n)由(I)得 f

9、 (x) = 1 sin 2x cos2x = 1、2 sin 2x ,I 4丿.当sin 2x n-1时，f (x)的最小值为1 - .2 ,I 4丿由 sin，2x + n= -1，得 x 值的集合为xx = kn 3n,z.I 4 丿I8J2x x32【范例 4】设函数 f (x) = -cos x -4t sin cos 4t t -3t 4 , x 三 R ,2 2其中t < 1，将f (x)的最小值记为g(t).(I )求g(t)的表达式；(II )讨论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.14本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项

10、式函数的导数，函数 的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力.本小题满分分.解：(I )我们有2x x 32f(x)二-cos x4tsin cos 4t t3t 42 22 2 2=sin x -1 - 2t sin 4t t -3t 4=sin2x -2tsin x t2 4t3 -3t 3二(sinx -t)2 4t3 3t 3 .由于(sin x t)2 > 0 , t < 1,故当sin x =t时，f (x)达到其最小值g(t)，即g(t) =4t3 -3t 3 .2(II )我们有 g (t) =12t -3 = 3(2t 1)(

11、2t -1), < t ： 1.列表如下：t.T, 一一I 2丿121 2 2丿12(1 _一12丿gt)+00+g(t)极大值g_丄1 2丿1极小值g丄12丿由此可见，g(t)在区间 _1,_-和-,单调增加，在区间 一1，-单调减小，极小值为g - L2 ,I 2丿 12 丿(2 2丿12；极大值为g4 .I 2丿-【范例5】已知二次函数f (x)对任意x R,都有f (1- x)= f (1 + x)成立，设向量a = ( sin x, 2) , b= (2sin x, 彳 -),c= (C0S2X, 1), d = (1, 2)，当 x 0 ,冗时，求不等式 f ( a b)&g

12、t; f ( c d )的解集.2解析：设f(x)的二次项系数为m其图象上两点为(1-x,y )、B (1 + x,y2)因为°X)一X)二1 ,2f (1 -x) = f (1 x)，所以y1二y2，由x的任意性得f (X)的图象关于直线 x= 1对称，若m> 0，则x>1 时，f ( x)是增函数，若 RK 0,贝y x > 1时，f (x)是减函数.11 1 2 11a b= (si n x, 2) (2si n x ,)=2sin x 1_1 , cd= (cos2x, 1) (1 , 2)2二 cos2x 2_1 , h当 m 0 时,f (a b)f(c d) ：= f (2sin2 x 1) f (cos2x 1)22 sin x 1 cos 2x 2 = 1 - cos2x 1 cos2x 2=2 cos2x : 0：=cos2x : O u 2k n - 2x ： 2k n 3n , k Z .2 20 _x _ 冗，当m ： 0时，同理可得冗 3 nx ：44冗 3冗0空x或x空n.44第5页(共5页)综上f (a b) - f (c d)的解集是当m 0时，为x|- < x ：；44冗3冗当 m：0 时，为x|0_x ，或 x_ n .44【点晴】此题是三角函数与平面向量的综合问题。禾U用函数的单调性解不等式是该题的重