18届东北师范大学附属中学高三第五次模拟考试数学（文科）试题（解析版）

1、2018届东北师范大学附属中学高三第五次模拟考试数学（文科）试题此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1已知复数 ，若，则=A 2 B C D 52已知集合，则A B C D 3已

2、知向量,满足，则 A B C D 4我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部尺，重斤，尾部尺，重斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤”A 6斤 B 7斤 C 斤 D 斤5在区间上随机取两个数x，y，记P为事件“”的概率，则A B C D 6在中，则A B C D 7已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是A B C D 8一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为A B C D 9执行如图

3、所示的程序框图，如果输入的，则输出的值的取值范围是 A 或 B C 或 D 或10已知双曲线方程为，它的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为A B C D 11直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，若线段的长分别为，则的最小值是A 10 B 9 C 8 D 712已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为A B C D 二、填空题13已知，则_14已知实数满足则的最小值为_ .15棱长均为的直三棱柱的外接球的表面积是 _16已知函数， 当时，有最大值； 对于任意的，函数是上的增函数； 对于任意的，函数一定存在最小值； 对于任意的，都有其中正确结论的序号是_（写出所有正确结论的序号）三、

4、解答题17已知数列的前项和，且（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和18长春市统计局对某公司月收入在元内的职工进行一次统计，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示职工月收入在区间内，单位：元）.（）请估计该公司的职工月收入在内的概率；（）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数和平均数.19如图，四棱锥中，平面 底面，是等边三角形，底面为梯形，且，.（）证明：；（）求到平面的距离.20已知椭圆的离心率为，点在上（）求椭圆的方程；（）过点作直线交椭圆于另外一点，交轴于点，为椭圆上一点，且，求证：为定值21已知函数（）求函数的单调区间与极值；（）

5、若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；（）求证：.22选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C:为参数）和定点，是曲线C的左，右焦点.（）求经过点且垂直于直线的直线的参数方程；（）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程.23已知函数（）（）若，求不等式的解集；（）若，证明2018届东北师范大学附属中学高三第五次模拟考试数学（文科）试题数学 答 案参考答案1C【解析】【分析】首先求得 x,y的值，然后求解复数z的模即可.【详解】由复数相等的充分必要条件有：，即，则，.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数模的计算公式等知识，意在考查学生的转

6、化能力和计算求解能力.2B【解析】【分析】首先求得集合A，然后逐一考查所给选项是否正确即可.【详解】求解一元二次不等式可得，据此可知，选项A错误；，选项B正确；集合AB之间不具有包含关系，选项CD错误；本题选择B选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的包含关系，交集、并集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3A【解析】【分析】由题意结合平面向量数量积的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：，则.本题选择A选项.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意

7、数量积运算律的应用4D【解析】【分析】将原问题转化为等差数列的问题，然后利用等差数列的性质求解即可.【详解】原问题等价于等差数列中，已知，求的值.由等差数列的性质可知：，则，即中间三尺共重斤.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查等差数列的实际应用，等差数列的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5D【解析】【分析】由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可.【详解】如图所示，表示的平面区域为，平面区域内满足的部分为阴影部分的区域，其中，结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为.本题选择D选项.【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法用图解题的关键：

8、用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.6A【解析】【分析】由题意结合正弦定理首先求得b的值，然后利用余弦定理求解c的值即可.【详解】由正弦定理可得，且，由余弦定理可得：.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围7B【解析】【分析】首先求得的值，然后结合三角函数的性质和图象确定的值即可.【详解】由函数的最小正周期公式可得

9、：，则函数的解析式为，将的图象向右平移个单位长度或所得的函数解析式为：，函数图象关于轴对称，则函数为偶函数，即当时：，则， 令可得：，其余选项明显不适合式.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数的平移变换，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8C【解析】【分析】首先确定几何体的空间结构，然后求解其表面积即可.【详解】由三视图可知，其对应的几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径为，圆锥的高，其母线长，则该几何体的表面积为：.本题选择C选项.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几

10、何体中各元素间的位置关系及数量关系(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和9C【解析】由题意知，该程序的功能是求函数的值域当时，在区间上单调递增，即；当时，当且仅当，即时等号成立综上输出的值的取值范围是或选C10A【解析】方法一：双曲线的渐近线方程为，则，圆的方程，圆心为，所以，化简可得，则离心率.方法二：因为焦点到渐近线的距离为，则有平行线的对应成比例可得知，即则离心率为. 选A.11B【解析】【分析】由题意结合抛物线焦点弦的性质结合均值不等式的

11、结论求解的最小值即可.【详解】由抛物线焦点弦的性质可知：，则，当且仅当时等号成立.即的最小值是9.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查抛物线焦点弦的性质，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12D【解析】【分析】将原问题转化为函数单调性的问题，然后求解实数的取值范围即可.【详解】不等式即，结合可得恒成立，即恒成立，构造函数，由题意可知函数在定义域内单调递增，故恒成立，即恒成立，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增；则的最小值为，据此可得实数的取值范围为.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的性质，导函数处理恒成立问题，等价转化的数学思想等知识，意

12、在考查学生的转化能力和计算求解能力.131【解析】【分析】原式分母看作“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，将的值代入计算即可求出值.【详解】，原式.故答案为：1.【点睛】(1)利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化(2) 注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.14【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分，将化为，作出直线并平移，使之经过可行域，易知经过点时，纵截距最小，此时。考点：线性规划问题。15【解析】【分析】首先确定外接球半径，然后求解其表面积即可.【详解】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为，

13、则外接球的半径，则外接球的表面积为.【点睛】本题主要考查三棱柱的空间结构特征，多面体与球的外接问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16 【解析】【分析】由题意利用导函数研究函数的性质即可.【详解】由函数的解析式可得：，当时，单调递增，且，据此可知当时， 单调递增，函数没有最大值，说法错误；当时，函数均为单调递增函数，则函数是上的增函数，说法正确；当时，单调递增，且，且当，据此可知存在，在区间上，单调递减；在区间上，单调递增；函数在处取得最小值，说法正确；当时，由于，故，说法错误；综上可得：正确结论的序号是.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，对数的运

14、算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17（）；（）.【解析】【分析】（）由题意可得则利用通项公式与前n项和的关系可得 （） 由（1）可知，结合等比数列前n项和公式计算可得数列的前项和.【详解】（）由 得所以当时，当时，所以 检验符合 （） 由（1）可知所以.设数列的前项和为，则： 所以数列的前项和为.【点睛】本题主要考查数列通项公式与前n项和公式的关系，等比数列前n项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18（）0.3；（）中位数和平均数的估计值都是.【解析】【分析】（）由频率分布直方图计算可得职工月收入在内的概率为；（）利用面积相等可得中位数的估

15、计值为；利用平均数公式计算可得平均数的估计值为.【详解】（）职工月收入在内的概率为 ；（）根据条件可知，从左至右小矩形的面积分别是、，因此，中位数的估计值为；平均数的估计值为.综上可知，中位数和平均数的估计值都是.【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.19（）见解析；（）.【解析】【分析】（）由题意结合勾股定理和几何体的空间结构可证得平面，则.（）设到平面的距离为利用等体积法可求得

16、.【详解】（）由余弦定理得， .又平面 底面，平面 底面 ，底面，平面，又平面，.（）设到平面的距离为取中点，连结,是等边三角形，.又平面 底面，平面 底面 ，平面，底面，且，由（）知平面，又平面，.，即××2× ×1××.解得.【点睛】本题主要考查线面垂直的判断定理与定义的应用，等体积法求解点到平面的距离的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20（）；（）证明见解析.【解析】【分析】（）由题可得则椭圆程为.（）设直线联立直线方程与椭圆方程，结合弦长公式可得,，令直线为且令联立椭圆方程结合韦达定理计算可得，即为定值.【详

17、解】（）由题可得，且：，所以所以椭圆程为.（） 设直线，由韦达定理可得：，则,，令直线为且令得可得韦达定理：，所以，所以定值为【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值21（）见解析；（）；（）见解析.【解析】【分析】（）函数的定义域为.且 ，据此列表讨论可知：的单调递增区间为，单调递减区间为.的极大值为，无极小值.（）由题意可得恒成立，令 ，由导函数可得当时函数有最大值，所以.（）由（）知，则 ，据此结合不等式的性质利用放缩法即可证得.【详解】（）定义域为. ，令，得.0增极大值减由上

18、图表知：的单调递增区间为，单调递减区间为.的极大值为，无极小值.（） ，令 又，令解得，当x在内变化时，变化如下表：x)+0由表知，当时函数有最大值，且最大值为，所以.（）由（）知， ，又 ， ，即.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考