克莱姆法则及证明

1、第7节 克莱姆(Cramer)法贝。欧阳引擎(2021.01.01)一线性方程组"元线性方程组是指形式为：&內+如心+孤兀=$、耳內+务2勺+务届=氏(J )的方程组，其中几心吗代表"个未知量，也是方程的个数， 旬，°=12冲；厂12)称为方程组的系数，坊心T2")称 为常数项。线性方程组的一个解杲指扑个数组成的有序数组(也，当“个未知量心心忌分别用5®，心 代入后，式(1)中每个等式都成为恒等式。方程组(1)的解 的全体称为它的解集合，如果两个线性方程组有相同的解集 合，就称它们是同解方程组。为了求解一个线性方程组，必须 讨论以下一些

2、冋题：(1) 这个方程组有没有解？(2) .如果这个方程组有解，有多少个解？(3) .在方程组有解时,解之间的关系，并求出全部解。本节讨论方程的个数与未知量的个数相等（即加7）的情形。二. 克莱姆法则定理1 （克莱姆法则）如果线性方程组&內+如心+©”兀=玄两无十如花十十也叭=坊+叫（2）的系数行列式:那么这个方程组有解，并且解是唯一的.这个解可表示成:(3)其中A是把。中第z列换成常数项对A/-A所得的行列式，即分析：定理一共有3个结论：方程组有解；2。解是唯一的；癸解由公式（3）给出。因此证明的步骤是：第一，把舌=*° = 12丿）代入方程组，验证它确实是解。

3、这样就证明了方程组有解，并且（3）是一个解，即证明了结论 与歹。第二，证明如果xZEfkj是方程组（2）的一个 解，那么一定有 口 。口。这就证明了解的唯一性，即证明了结论2°。证明：先回忆行列式的一个性质，设"阶行列式站，则 有：接下来证明定理。首先，证明（3）确实是（2）的解。将行列 式耳按第，列展开得：耳=勺九乜均十空心（212异）9其中吗杲行列式。中元素知的代数余子式（心=1,2,间。现把代入第上个方程的左端，得：这说明将（3）代入第冷=12一）个方程后，得到了一个恒等 式，所以（3）是（2）的一个解。其次,设“宀是方程组（2）的一个解，那么，将吗乜代入（2）后，得

4、到个恒等式:©21+如巾+孤5 =矗严口十仔2十十如qp角口乜”2勺+务心=给(4)用系数行列式的第掩=12同列的代数余子式乐俎地依次去 乘(4)中卷个恒等式，得到：将此尬个等式相加，得：从而有:d .4,72,"*)。这就是说，如果(井”,q)是 方程组(2)的一个解，那么一定有甘卞GW/),所以方程 组只有一个解。三. 齐次线性方程组在线性方程组中，有一种特殊的线性方程组，即常数项全 为零的方程组，称为齐次线性方程组。显然，齐次线性方程组 总是有解的，因为召卫)就是它的解，这个解称为零 解；其他的，即吗不全为零的解(如果还有的话),称为非零 解。所以，对于齐次线性方程组

5、，需要讨论的问题，不杲有没 有解，而杲有没有非零解。这个冋题与齐次线性方程组解的个 数是有密切关系的。如果一个齐次线性方程组只有零解，那么 这个方程组就只有唯一解；反之，如果某个齐次线性方程组有 唯一解，那么由于零解杲一个解，所以这个方程组不可能有非 零解。对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克莱姆法则，有推论1如果齐次线性方程组內+ 02 +如心=0角內+ a护2+备 =0（5）的系数行列式不等于零，那么（5）只有零解。推论2齐次线性方程组有非零解的必要条件是它的系数行列式等于零。四. 例子例1解线性方程组解：方程组的系数行列式：所以根据克莱姆法则，这个线性方程组有唯一解。又因

6、所以这个线性方程组的唯一解为：例2解线性方程组解：方程组的系数行列式：所以根据克莱姆法则，这个线性方程组有唯一解。又因所以这个线性方和组的唯一解为：例3 已知三次曲线尹=儿)5 +时也宀界在四个点 "±1,工=±2处的值分别为：/(!)=/(-!)=/=仍(-2) = -6,试求 其系数恥宀宀。解：将三次曲线在4点处的值代入其方程，得到关于宀宀 的线性方程组：它的系数行列式是范德蒙行列式：所以根据克莱姆法则，这个线性方程组有唯一解。又因所以咧=站】=-1宀=迄吗=1,即所求的三次曲线方程为/(x) = 8-x-2x2 +x3o例4如果齐次线性方程组有非零解，那么。上必须满足什么条件？解：由克莱姆法则知，齐次线性方程组有非零解的必要条件是 其系数行列式等于零，因此有又由:11D =1101001001-4a -1=（小）2_呢 b 一 a从而上必须满足的条件为（"1）7。注 用克莱姆法则求解系数行列式不等于零的丸元非齐次线 性方程组，需要计算方十1个那介行列式，它的计算工作量很大。 实际上关于数字系数的线性方