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1、第7节 克莱姆(Cramer)法贝。欧阳引擎(2021.01.01)一线性方程组"元线性方程组是指形式为:&內+如心+孤兀=$、耳內+务2勺+务届=氏(J )的方程组,其中几心吗代表"个未知量,也是方程的个数, 旬,°=12冲;厂12)称为方程组的系数,坊心T2")称 为常数项。线性方程组的一个解杲指扑个数组成的有序数组(也,当“个未知量心心忌分别用5®,心 代入后,式(1)中每个等式都成为恒等式。方程组(1)的解 的全体称为它的解集合,如果两个线性方程组有相同的解集 合,就称它们是同解方程组。为了求解一个线性方程组,必须 讨论以下一些

2、冋题:(1) 这个方程组有没有解?(2) .如果这个方程组有解,有多少个解?(3) .在方程组有解时,解之间的关系,并求出全部解。本节讨论方程的个数与未知量的个数相等(即加7)的情形。二. 克莱姆法则定理1 (克莱姆法则)如果线性方程组&內+如心+©”兀=玄两无十如花十十也叭=坊+叫(2)的系数行列式:那么这个方程组有解,并且解是唯一的.这个解可表示成:(3)其中A是把。中第z列换成常数项对A/-A所得的行列式,即分析:定理一共有3个结论:方程组有解;2。解是唯一的;癸解由公式(3)给出。因此证明的步骤是:第一,把舌=*° = 12丿)代入方程组,验证它确实是解。

3、这样就证明了方程组有解,并且(3)是一个解,即证明了结论 与歹。第二,证明如果xZEfkj是方程组(2)的一个 解,那么一定有 口 。口。这就证明了解的唯一性,即证明了结论2°。证明:先回忆行列式的一个性质,设"阶行列式站,则 有:接下来证明定理。首先,证明(3)确实是(2)的解。将行列 式耳按第,列展开得:耳=勺九乜均十空心(212异)9其中吗杲行列式。中元素知的代数余子式(心=1,2,间。现把代入第上个方程的左端,得:这说明将(3)代入第冷=12一)个方程后,得到了一个恒等 式,所以(3)是(2)的一个解。其次,设“宀是方程组(2)的一个解,那么,将吗乜代入(2)后,得

4、到个恒等式:©21+如巾+孤5 =矗严口十仔2十十如qp角口乜”2勺+务心=给(4)用系数行列式的第掩=12同列的代数余子式乐俎地依次去 乘(4)中卷个恒等式,得到:将此尬个等式相加,得:从而有:d .4,72,"*)。这就是说,如果(井”,q)是 方程组(2)的一个解,那么一定有甘卞GW/),所以方程 组只有一个解。三. 齐次线性方程组在线性方程组中,有一种特殊的线性方程组,即常数项全 为零的方程组,称为齐次线性方程组。显然,齐次线性方程组 总是有解的,因为召卫)就是它的解,这个解称为零 解;其他的,即吗不全为零的解(如果还有的话),称为非零 解。所以,对于齐次线性方程组

5、,需要讨论的问题,不杲有没 有解,而杲有没有非零解。这个冋题与齐次线性方程组解的个 数是有密切关系的。如果一个齐次线性方程组只有零解,那么 这个方程组就只有唯一解;反之,如果某个齐次线性方程组有 唯一解,那么由于零解杲一个解,所以这个方程组不可能有非 零解。对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组,应用克莱姆法则,有推论1如果齐次线性方程组內+ 02 +如心=0角內+ a护2+备 =0(5)的系数行列式不等于零,那么(5)只有零解。推论2齐次线性方程组有非零解的必要条件是它的系数行列式等于零。四. 例子例1解线性方程组解:方程组的系数行列式:所以根据克莱姆法则,这个线性方程组有唯一解。又因

6、所以这个线性方程组的唯一解为:例2解线性方程组解:方程组的系数行列式:所以根据克莱姆法则,这个线性方程组有唯一解。又因所以这个线性方和组的唯一解为:例3 已知三次曲线尹=儿)5 +时也宀界在四个点 "±1,工=±2处的值分别为:/(!)=/(-!)=/=仍(-2) = -6,试求 其系数恥宀宀。解:将三次曲线在4点处的值代入其方程,得到关于宀宀 的线性方程组:它的系数行列式是范德蒙行列式:所以根据克莱姆法则,这个线性方程组有唯一解。又因所以咧=站】=-1宀=迄吗=1,即所求的三次曲线方程为/(x) = 8-x-2x2 +x3o例4如果齐次线性方程组有非零解,那么。上必须满足什么条件?解:由克莱姆法则知,齐次线性方程组有非零解的必要条件是 其系数行列式等于零,因此有又由:11D =1101001001-4a -1=(小)2_呢 b 一 a从而上必须满足的条件为("1)7。注 用克莱姆法则求解系数行列式不等于零的丸元非齐次线 性方程组,需要计算方十1个那介行列式,它的计算工作量很大。 实际上关于数字系数的线性方

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