第八讲 矩阵转置、方阵的行列式

1、1 1 1第三讲第三讲一、矩阵的转置一、矩阵的转置二、方阵的行列式二、方阵的行列式第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 2 2 2一、转置矩阵一、转置矩阵定义定义 把矩阵把矩阵A的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作AT. .例例,854221 A;825241 TA ,618 B.618 TB3 3 3转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质 ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 4 4 4例例1 1 已知已知,102324171,231102 BA .TAB求求解法解法1 10232417123

2、1102AB,1013173140 .1031314170 TAB5 5 5解法解法2 2 TTTABAB 213012131027241.1031314170 6 6 6对称矩阵和反对称矩阵：对称矩阵和反对称矩阵：定义定义 设设A为为 n 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足A= AT ，即，即那末那末A称为称为对称阵对称阵. n,j , iaajiij21 .A为对称阵为对称阵例如例如 6010861612对称阵的特点是对称阵的特点是:它的元素以对角线为对称轴，对应相等它的元素以对角线为对称轴，对应相等.7 7 7.称称为为反反对对称称的的则则矩矩阵阵如如果果AAAT 说明：说明：若若A为反对

3、称矩阵为反对称矩阵, ,则则), 2 , 1,(njiaajiij .021206160为为反反对对称称阵阵例例如如 A反对称阵的特点是反对称阵的特点是:它的主对角线上的元素全为零，其它它的主对角线上的元素全为零，其它的元素以对角线为对称轴，对应互为相反数的元素以对角线为对称轴，对应互为相反数.8 8 8例例2 2 证明任一证明任一 n 阶矩阵阶矩阵 A 都可表示成对称阵都可表示成对称阵与反对称阵之和与反对称阵之和.证明证明TAAC 设设 TTTAAC 则则AAT ,C 所以所以C为对称矩阵为对称矩阵.,TAAB 设设 TTTAAB 则则AAT ,B 所以所以B为反对称矩阵为反对称矩阵.22T

4、TAAAAA ,22BC 命题得证命题得证.9 9 9二、方阵的行列式二、方阵的行列式定义定义 由由 n 阶方阵阶方阵 A 的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式，叫做方阵叫做方阵 A 的行列式，记作的行列式，记作|A| 或或detA8632 A则则. 2 特别注意特别注意方阵与行列式是两个不同的概念，方阵是一个方阵与行列式是两个不同的概念，方阵是一个数数表表，而行列式则是一个，而行列式则是一个数数. 23 68A 如如101010 23103,.6813ABABAB例例设设计计算算解：解：23102,3,6813AB 235AB 2 3103 36 8135 5A B 330.55AB.

5、ABAB可可见见111111由由A确定确定detA - -运算规则运算规则: :;AAT ;,为数为数 AAn .,同阶方阵同阶方阵与与BABAAB 注意注意:BABA )1nijkakA)( 但但nnnAkkA )2)3BAAB 但但BABAAB 4332A 4332TA4332 A4332 TA 4332A 4332A 4332 AA224332 设设A、B均为均为 n 阶方阵，则阶方阵，则121212矩阵运算与行列式运算比较矩阵运算与行列式运算比较: :2,;nAAAA）应应为为;ABAB1).ABA B3)443,2AAA 例例设设 为为 阶阶方方阵阵，且且求求解：解：44222348.AA 131313定义定义 方阵方阵A行列式行列式 |A| 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 Aij 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵 nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111称为矩阵称为矩阵A 的的伴随矩阵伴随矩阵.伴随矩阵伴随矩阵: :1414142314A ，2383514=A 如如：111221224132AAAA ，.112112224312AAAAA 234350141205AAA E可以验证可以验证: :A AA E性质性质.EAAAAA 151515小结：小结： 矩阵