一元函数微积分预备知识

1、欢迎各位到欢迎各位到石家庄铁道学院石家庄铁道学院欢迎各位欢迎各位听我讲数学课听我讲数学课主讲人：王永亮主讲人：王永亮电话：电话：87935513（办公室）（办公室） 81597091（小灵通）（小灵通）电邮：电邮：教学班：数学分级教学班：数学分级A5班班教室：一教教室：一教114上课时间：周二、四上午上课时间：周二、四上午答疑时间：周三晚答疑时间：周三晚7点点9点点答疑地点：一教二楼教师休息室答疑地点：一教二楼教师休息室高等数学高等数学和和线性代数与几何线性代数与几何学习高等数学的目的、学习高等数学的目的、作用、内容及方法作用、内容及方法为什么要学习高等数学？为什么要学习高等数学？ 高等数学是

2、高等学校许多专业学生必修高等数学是高等学校许多专业学生必修的重要基础理论课程。数学主要是研究的重要基础理论课程。数学主要是研究现实世界中的现实世界中的“数量关系数量关系”与与“空间形空间形式式”。世界上任何客观存在都有其。世界上任何客观存在都有其“数数”与与“形形”的属性特征，并且一切事物都的属性特征，并且一切事物都发生变化，遵循量变到质变的规律。发生变化，遵循量变到质变的规律。为什么要学习高等数学？为什么要学习高等数学？ 凡是研究量的大小、量的变化、量与量凡是研究量的大小、量的变化、量与量之间关系以及这些关系的变化，就少不之间关系以及这些关系的变化，就少不了数学。同样，客观世界存在有各种不了

3、数学。同样，客观世界存在有各种不同的空间形式。因此，宇宙之大，粒子同的空间形式。因此，宇宙之大，粒子之微，光速之快，世事之繁，之微，光速之快，世事之繁，无处无处不用数学。不用数学。 为什么要学习高等数学？为什么要学习高等数学？ 数学不但研究空间形式与数量关系，还数学不但研究空间形式与数量关系，还研究现实世界中的任何形式和关系，只研究现实世界中的任何形式和关系，只要这种形式和关系能抽象出来，用清晰要这种形式和关系能抽象出来，用清晰准确的方式表达，即所谓化为数学模型准确的方式表达，即所谓化为数学模型 为什么要学习高等数学？为什么要学习高等数学？ 要辩证而又唯物地了解自然，就必须掌要辩证而又唯物地了

4、解自然，就必须掌握数学握数学恩格斯恩格斯 数学是打开科学大门的钥匙数学是打开科学大门的钥匙培根培根 德国大数学家、天文学家、物理学家德国大数学家、天文学家、物理学家高高斯斯说：说：“数学是科学的皇后，她常常屈数学是科学的皇后，她常常屈尊去为天文学和其它自然科学效劳，但尊去为天文学和其它自然科学效劳，但在所有的关系中，她都堪称第一。在所有的关系中，她都堪称第一。”为什么要学习高等数学？为什么要学习高等数学？ 一种科学，只有当它成功地运用数学时，一种科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步才能达到真正完善的地步马克思马克思 培根培根曾说：曾说：“数学使人精细数学使人精细” 所有思想研

5、究工作的主宰所有思想研究工作的主宰罗蒙诺索夫罗蒙诺索夫 伽里略、惠更斯、牛顿伽里略、惠更斯、牛顿都认为：都认为：“科学科学工作中的演绎数学部分所起的作用比实工作中的演绎数学部分所起的作用比实验部分所起的作用要大验部分所起的作用要大”为什么要学习高等数学？为什么要学习高等数学？ 第一个诺贝尔物理奖得主第一个诺贝尔物理奖得主伦琴伦琴在回答在回答“科学家需要什么样的修养科学家需要什么样的修养”这一问题这一问题时，说：时，说：“第一是数学，第二是数学，第一是数学，第二是数学，第三还是数学。第三还是数学。” 被誉为被誉为“计算机之父计算机之父”的的冯冯诺伊曼诺伊曼认为认为“数学处于人类智慧的中心领域数学

6、处于人类智慧的中心领域” 高等数学主要学些什么？高等数学主要学些什么？ 高等数学的内容有微积分学和级数、常高等数学的内容有微积分学和级数、常微分方程，但主要部分是微积分学。微分方程，但主要部分是微积分学。 微积分学研究的对象是函数，而极限则微积分学研究的对象是函数，而极限则是微积分学的基础，也是最主要的推理是微积分学的基础，也是最主要的推理方法。方法。高等数学主要学些什么？高等数学主要学些什么？ 微积分对于许多工程技术的重要性就像微积分对于许多工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。一样。 微积分是学好其它理工课程（如大学物微积分是学好其它

7、理工课程（如大学物理、理论力学、材料力学、电工基础等）理、理论力学、材料力学、电工基础等）的基础，也是学好专业课（如量子力学、的基础，也是学好专业课（如量子力学、流体力学、自动控制等）的工具。流体力学、自动控制等）的工具。 高等数学主要学些什么？高等数学主要学些什么？ 通过高等数学的学习，要使同学们获得以下通过高等数学的学习，要使同学们获得以下方面的基本理论和基本运算技能，为学习后方面的基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础：学基础： 1、 函数、极限、连续；函数、极限、连续； 2、 一元函数微积分学；一元函数微积分学

8、； 3、 多元函数微积分学；多元函数微积分学； 4、 无穷级数；无穷级数； 5、 常微分方程。常微分方程。线性代数与几何主要学些什么？线性代数与几何主要学些什么？ 通过线性代数与几何的学习，要使同学们获通过线性代数与几何的学习，要使同学们获得以下方面的基本理论和基本运算技能，为得以下方面的基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础：要的数学基础： 1、 行列式和矩阵；行列式和矩阵； 2、 向量的线性相关和线性无关向量的线性相关和线性无关 ； 3、 求解一般线性方程组求解一般线性方程组 ； 4、 矩阵的对角化和二次型；矩阵的

9、对角化和二次型； 5、 向量代数和空间解析几何。向量代数和空间解析几何。怎样才能学好数学？怎样才能学好数学？ 数学具有三个显著的特点：数学具有三个显著的特点：（1）高度的抽象性）高度的抽象性（2）严谨的逻辑性）严谨的逻辑性（3）广泛的应用性）广泛的应用性怎样才能学好大学数学？怎样才能学好大学数学？ 大学数学的教学与中学数学的教学相比，有大学数学的教学与中学数学的教学相比，有以下三个显著的差别：以下三个显著的差别： 1、课堂大、课堂大。100200人合班上课，一般不可人合班上课，一般不可能提问，同学之间在学习基础、水平、理解能提问，同学之间在学习基础、水平、理解能力上差别大。能力上差别大。 2、

10、时间长、时间长。每一次课一般是连续讲授两节课。每一次课一般是连续讲授两节课。 3、进度快、进度快。由于高等数学的内容极为丰富，。由于高等数学的内容极为丰富，而学时又有限，因此，平均每次课要讲授教而学时又有限，因此，平均每次课要讲授教材材8-10页。页。基本要求基本要求 1.硬件硬件 教材、指导讲义和练习册教材、指导讲义和练习册 参考书：同济大学和清华大学编参考书：同济大学和清华大学编 笔记本和（或）练习本（装订起来的纸）笔记本和（或）练习本（装订起来的纸） 2.软件软件 预习、听课（适当记笔记）、总结复习预习、听课（适当记笔记）、总结复习（做作业，看课外书）（做作业，看课外书）先修知识先修知识

11、 1.小学、初中和高中数学基础小学、初中和高中数学基础 2.尤其不等式、解析几何和函数尤其不等式、解析几何和函数 3.高等数学高等数学要求初等函数知识多；要求初等函数知识多；线性代数与几何线性代数与几何要求小学计算和观要求小学计算和观察多，有一些与察多，有一些与“常识常识”不一样的规律。不一样的规律。石家庄铁道学院主页下石家庄铁道学院主页下 http:/ 2008年精品课栏目下：年精品课栏目下：高等数学高等数学和和线性代数与几何线性代数与几何资源：教学大纲，教案和讲稿，教学资源：教学大纲，教案和讲稿，教学录象等等。录象等等。预备知识预备知识1.集合集合：集合，元素，属于集合，元素，属于，不属于

12、，不属于 ，空集，空集 子集子集 ，并集，并集，交集，交集，差集，差集2.区间区间：开区间，闭区间，半开半闭区间开区间，闭区间，半开半闭区间有限区间，无限区间有限区间，无限区间3.邻域邻域：点点a的的邻域邻域U(a,)(a-,a+)Preparation 4.函数的定义函数的定义： f :A B初中定义，高中定义，一般定义。初中定义，高中定义，一般定义。定义域定义域D，值域，值域R( f )或或f (D)约定：约定：函数的定义域就是自变量所能取的函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数。使算式有意义的一切实数。函数的两个要素：定义域和法则函数的两个要素：定义域和法则 Prepara

13、tion 5.几个特殊函数几个特殊函数：狄里克雷狄里克雷(Dirichlet)函数函数符号函数符号函数取整函数取整函数x：int(x) 不超过不超过x的最大整数的最大整数10( )0010 xSgn xxx1( )0 xQD xxR QPreparation6.复合函数复合函数： 称称y=f(g(x)是由是由y=f(u)和和u=g(x) 复合而成复合而成的函数。的函数。1222sincos1co11sins1xuyxyuuxyeyeyuxxyxuu Preparation7.反函数反函数：设设 f :AB，如果存在，如果存在 f1 :R(f) A，则，则称称 f1为为f 的反函数。的反函数。如

14、：如：yex和和ylnx，ysinx和和yarcsinx 3312xxyxyxxeeyyx 的反函数的反函数的反函数?的反函数?的反函数?的反函数?Preparation8. 函数的四个特性函数的四个特性：有界性有界性单调性单调性奇偶性奇偶性周期性周期性Preparation9. 基本初等函数基本初等函数：（1）幂函数）幂函数2313yxyxyxyxyxyxyxPreparation（2）指数函数）指数函数xxxyayeye（3）对数函数）对数函数loglnayxyxPreparation（4）三角函数）三角函数sincostancot11seccsccossinyxyxyxyxyxyxxx（5）反三角函数）反三角函数sincostancotyarcxyarcxyarcxyarcxPreparation10. 初等