第十二章 实数

1、年级：七年级（下） 科目：数学课题名称12.1 实数的概念授课时间课型主备课人第 周 星期 第 节新授课学习目标1. 通过动手操作经历无理数的过程，了解无理数是客观存在的数，了解无理数的发现是人类理性思维的胜利2. 通过对比分析，理解无理数是无限不循环小数，会判别一个数是否是无理数3. 了解数系从整数到有理数、再到实数的扩展过程，理解实数系统的结构，体会分类思想重点难点重点：理解无理数是无限不循环小数难点：会判别一个数是否是无理数学习过程与方法教师活动学生活动设计意图一、 复习引入1. 设问：1) 我们已经学习了有理数，你能举出几个有理数吗？2) 有理数都可以表示为哪种统一形式？3) 是不是所

2、有的数都能表示为分数（，都是整数，且）的形式课题：实数的概念二、 新课讲授1. 操作拼接正方形，引出能否将两个边长为1的正方形剪拼成一个大正方形？怎样剪拼？它的面积是多少？边长如何用代数符号表示？2. 尝试说明是一个无限不循环小数设，得，所以再设（表示整数）代入得3. 请你再举出几个无限不循环小数的例子4. 形成概念1) 无理数2) 实数3) 实数分类三、 巩固练习1. 将下列各数填入适当的括号内：、2. 判断下列说法是否正确，并说明理由：1) 无限小数都是无理数2) 无理数都是无限小数3) 正实数包括正有理数和正无理数4) 实数可以分为正实数和负实数两类3. 请构造几个大小在3和4之间的无理

3、数4. 用“是”、“不是”、“统称”、“包括”、“叫做”填空，并体会这些词的含义1) 分数2) 0 有理数3) 无限不循环小数 无理数4) 实数 有理数和无理数5) 正整数、0和负整数 整数6) 有理数 有限小数或无限循环小数不是，无线不循环小数（如：）就不能表示为该形式如果设该正方形的边长为，那么，即是这样一个数，它的平方等于.这个数表示面积为的正方形的边长，是现实世界中真实存在的线段长度.由于这个数和有关，我们用（读作“根号”）来表示由此可知一定是偶数同理可知也是偶数这时发现，有了共同的因数，这与之前假设中的“ ”矛盾，所以假设不成立，即不是 ，而是无限不循环小数.0.2020020002

4、000020.1234567891011121314无限不循环小数叫做无理数.无理数也有正、负之分.只有符号不同的两个无理数，他们互为相反数有理数和无理数统称为实数 正有理数 有理数 零实数 负有理数 无理数 正无理数 负无理数有理数：无理数：正实数：负实数：非负数：整 数：×PP×不是是叫做包括统称包括前两个问题带领学生复习已有的相关知识；第三个问题设置疑问，引发学生的思考，带着这样的困惑和好奇学习新知探究生活中是否存在无理数探究是什么样的数探究是否存在其他的无理数分类时与有理数分类方法比较与实数分类作比较分析课堂小结你学到了什么？你有什么样的疑问？你有什么收获、体会或想

5、法？你还想知道什么？作业布置 练习册 习题12.1课后反思年级：七年级（下） 科目：数学课题名称12.2（1） 平方根和开平方授课时间课型主备课人第 周 星期 第 节新授课学习目标1. 理解平方根概念及其符号表示2. 知道正平方根与平方根的区别，理解正数的两平方根之间的关系及实数范围内负数没有平方根3. 会根据平方根、开平方的意义和运算性质求完全平方数的平方根算术平方根重点难点重点： 理解开平方和平方运算的互逆关系难点： 在理解开平方和平方运算的互逆关系的基础上运用平方根的运算性质计算学习过程与方法教师活动学生活动设计意图一、 问题引入1. 小丽家有一张方桌，桌面是面积为64平方分米的正方形，

6、这个正方形桌面的边长是多少？2. 思考：上述问题可以归结为“已知一个数的平方，求这个数”，在解决这个问题时，我们联想到了哪一种运算？课题：12.2 平方根和开平方二、 新课讲授1. 概念辨析：强调：平方运算和开平方运算互为逆运算2. 例题分析：例1：求下列个数的平方根，并根据你的解答过程总结：正数、0、负数的平方根有什么不同？（1）0.16 （2） （3）03. 性质归纳：“”是一个数学符号，其意义是：非负数的算术平方根，同时它也表示一个数，这个数的平方等于，即三、 问题拓展1. 思考：由以下计算你能否发现并总结某些规律？1) 的意义是什么？=？2) 的意义是什么？ =？3) 的意义是什么？

7、=？4) 的意义是什么？ =？2. 规律总结：四、 巩固练习1. 下列等式是否正确？不正确的请说明理由并加以改正（1） （2）（3）（4）2. 求下列各数的算术平方根（1）225 （2）0.0001 （3）3. 若与是同一个数的平方根，求的值设正方形左面的边长为分米，得 ，因为，所以已知一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根，即，我们把叫做的平方根，叫做被开方数求一个数的平方根的运算叫做开平方运算正数有两个平方根，且互为相反数零的平方根是0负数没有平方根1) 因为任何一个实数的平方都是非负的，所以负数没有平方根2) 因为任何一对非零相反数的平方都是同一个正数，因此正数有两个不同的平方根，记作

8、“”，它们互为相反数，其中“”表示正的平方根（也可以称作算术平方根），读作“根号”3) 因为0的平方等于0，所以0的平方根就是0，即1) 表示的正平方根，因为，所以2) 表示的正平方根的平方，根据平方根的意义，这里，且3) 表示的正平方根的平方，根据平方根的意义，这里，且体验开平方运算的实际意义和背景非常必要两个结果根据实际情况只取正数在平方根概念中隐含了分类讨论数学思想，在教学中应该加以渗透，从而培养思维的严密性，在课堂练习时也可以适当补充类似的问题，加深对概念的理解通过对的意义和计算结果的讨论，达到对“无意义”的理解，从而总结出成立的前提条件是：“”课堂小结1. 平方根的意义是什么？平方根

9、的性质是什么？2. 开平方运算与平方运算有怎样的关系？求完全平方数的平方根时要把开方数做怎样的变形？作业布置 练习册 习题12.2课后反思年级：七年级（下） 科目：数学课题名称12.2（2） 平方根和开平方授课时间课型主备课人第 周 星期 第 节新授课学习目标1. 经历是无限不循环小数的探索过程，了解无限逼近思想2. 会求一个正数的正平方根，并按指定精确度取近似值3. 会根据一个正数的正平方根求它的负平方根重点难点重点： 会对任意正数进行开方运算，并按指定精确度取其近似值 理解“逐步逼近数学思想”基本原理，对“极限”思想有初步认识难点： 尝试用逐步逼近法探索的近似值学习过程与方法教师活动学生活

10、动设计意图一、 复习引入1. 问题：的意义是什么？根据其意义，你能够猜测有多大？2. 规律总结：当时，二、 新课讲授1. 计算： ； ； ； ； ；2. 思考：（1）观察计算结果，你有什么发现？（2）如何求的百分位？、3. 巩固性问题：（1）请求出的千分位（2）有多大？（精确到千分位）4. 例题分析：例1：求下列各数的平方根的近似值（保留三位小数）（1）8 （2）三、 巩固练习1. 求下列各数的整数部分（1） （2） （3）2. 求下列各数的平方根的近似值（保留四位小数）（1） （2）四、 问题拓展1. 思考：满足的整数有多少个？2. 阅读理解题：用逐次逼近法求平方根的计算步骤是：（1）任意取

11、，作为的第一个估计值（2）由除法，计算作为的第二个估计值探索： 的意义是“面积为2的正方形的边长”；比较面积分别为1、2和4的三个正方形的大小可知：因为面积，所以边长，即的整数部分为11.21 1.441.69 1.962.25由以上计算结果可知：，根据上述规律可得：，所以的十分位为4因为，所以，得的百分位为11 3 8（3）分别有、出发，重复步骤（2），求出、作为的第三个、第四个、第五个的估计值 由此得到、将一个比一个更接近的不同精确度的近似值请用逐步逼近法，求的近似值（保留4个有效数字）在上节课基础上利用拼正方形、比较三个正方形的面积，把面积的大小比较转化为边长的大小比较，渗透了“转化”的

12、数学思想，二在动手操作中可以更加直观地发现“逐步逼近法”的原理，为进一步探究问题打下基础设计利用几个子问题，先求整数部分、再求十分位、最后求百分位，二巩固性问题中继续求千分位部分学生的理解和学习能力较强，为了这部分学生能够更多的收获，同时加强对逐步逼近法的理解课堂小结你学到了什么？你有什么样的疑问？你有什么收获、体会或想法？你还想知道什么？作业布置 练习册 习题12.2课后反思年级：七年级（下） 科目：数学课题名称12.3 立方根和开立方授课时间课型主备课人第 周 星期 第 节新授课学习目标1. 了解立方根与实际生活的联系，通过与平方根类比，理解立方根的概念2. 理解开立方与立方互为逆运算，能

13、根据两者的关系求完全立方数的立方根3. 理解和的含义，并能运用它们解决问题重点难点重点： 理解开立方与立方互为逆运算难点： 能根据两者的关系求完全立方数的立方根学习过程与方法教师活动学生活动设计意图一、 复习、类比、引入1. 我们用 表示面积为5的正方形边长，用来表示 的正方形的边长2. 小杰家中有一个储物柜，是一个容积为27立方分米的正方体，这个正方体储物柜的棱长是多少分米？3. 经过立方运算后结果是27的数还有没有？二、 新课讲授1. 概念辨析：例如：如果，因为 =125，所以= ，也就是说 是125的立方根2. 例题讲解：例1：求下列各数的立方根：1)2)3)4)通过例题1的解决，请归纳

14、开平方与开立方在被开方数取值范围、方根个数等方面有何显著区别？例题2 求值：1) 2)3)4)三、 巩固练习1. 以下说法中正确的有（ ）A. 的平方根是B. 的立方根是C. 的立方根是D. 的平方根是归纳：已知一个数的平方求这个数的运算，交过开平方；类似的，已知一个数的立方求这个数的运算，我们称之为开立方如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，用“”表示，读作“三次根号”，中的叫做被开方数，3叫做根指数求一个数的立方根的运算叫做开立方101. 正数的立方是一个正数，负数的立方是一个负数，零的立方等于零2. 正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零3. 任意一个数都

15、有立方根，而且只有一个立方根，也就是说：1） 2）让学生通过具体实例和抽象类比来理解立方根与平方根概念的联系与区别体会开立方与立方的逆运算关系，会据此求完全立方数、小数、分数的立方根体现了开立方与立方互为逆运算的关系，并利用互逆运算来求一个数的立方根，但限于所得立方根是有理数的情况课堂小结你学到了什么？你有什么样的疑问？你有什么收获、体会或想法？你还想知道什么？作业布置 练习册 习题12.3课后反思年级：七年级（下） 科目：数学课题名称12.4 次方根授课时间课型主备课人第 周 星期 第 节新授课学习目标1. 类比平方根与立方根建立次方根和开方运算的概念2. 体验通过“从特殊到一般”的数学归纳

16、过程，理解次方根的概念，并从中体会分类和类比等数学思想3. 掌握开方运算的运算性质，会根据乘方运算与开方运算的互逆关系求任意实数的奇次方根或非负数的偶次方根，理解负数没有偶次方根重点难点重点： 掌握开方运算的运算性质，会根据乘方运算与开方运算的互逆关系求任意实数的奇次方根或非负数的偶次方根，理解负数没有偶次方根难点： 理解并能初步掌握在建立次方根概念过程中所体现出的、以及在求偶次方根时所必须的“分类讨论思想”学习过程与方法教师活动学生活动设计意图一、 问题引入问题：如果一个数的次方（其中是大于1的整数）等于，你能否类比平方根和立方根的意义说明这个数是多少？二、 问题探索1. 求：1）， ；，

17、；2）， ；， ；3）， ；， 2. 思考：观察以上运算结果，类比平方根与立方根，你能否说明当根指数取不同的值时，的次方根可以分为几类？每一类方根有什么性质？3. 例题分析：例题1 （1）求的5次方根（2）求的6次方根三、 巩固练习1. 计算：1）2）3）4）分析：设这个数为，则可以建立方程，叫做的次方根归纳：1）如果一个数的次方等于（是大于1的整数），则这个数叫做的次方根2）求一个数的次方根的运算叫做开次方 没有实数根 归纳：1）当为偶数时，的次方根有与平方根类似的性质，我们称之为的偶次方根 正数有2个互为相反数的偶次方根，记作“”；其中为的正偶次方根，也叫做算术偶次方根；叫做被开方数，为根

18、指数，读作“次根号” 0的偶次方根等于0， 负数没有偶次方根（即当是，）无意义2）当为奇数时，的地方跟有与立方根类似的性质，我们称之为的奇次方根，记作“”，叫做被开方数，为根指数，读作“次根号”任意实数的奇次方根都存在，并且与有相同的正负性63次方根的概念是平方根与立方根概念的拓展，类比平方根和立方根建立次方根的概念既有助于对概念及其性质的理解又能够在类比过程中加深对平方根与立方根概念的理解正数的偶次方根一定有两个，不要漏掉负的一个求方根时，为了降低难度，可以把开方数中比较大的数分解素因数课堂小结方根平方根立方根偶次方根奇次方根定义表示作业布置 练习册 习题12.4课后反思年级：七年级（下）

19、科目：数学课题名称12.5 用数轴上的点表示实数授课时间课型主备课人第 周 星期 第 节新授课学习目标1. 学习将无理数用数轴上的点表示，理解实数与数轴上的点的对应关系2. 会求无理数的绝对值、相反数，会对实数进行大小比较3. 经历探索同一数轴上两点的距离的过程，感受数形结合思想，获得成功体验，激发学习兴趣重点难点重点： 理解数轴为实数轴，并掌握实数的大小比较方法，理解实数的绝对值、相反数的意义难点： 探索同一数轴上两点的距离学习过程与方法教师活动学生活动设计意图一、 情景引入1. 观察、2. 思考：1) 将上行的有理数用数轴上的点表示出来2) 你能将下行的无理数用数轴上的点表示出来吗？3.

20、讨论：如何将无理数用数轴上的点表示出来？二、 学习新课1. 概念辨析1) 通过事例说明数轴为实数轴问题1：无理数可以在数轴上表示出来吗？说明数轴上存在无理数对应的点，数轴为实数轴问题2：在数轴上表示：2) 用实数轴解释实数的性质：2. 例题分析1) 比较实数的大小例题1 比较下列每组数的大小：1）与 2）与3）与 4）与2) 借用数轴求两点的距离问题：本节课进一步感受到数与点能借助数轴达到完美结合，我们能否不用测量而用数字计算出线段的长？例题2 如图，已知数轴上的四点A、B、C、D所对应的实数依次是、O为原点，求（1）线段OA、OB、OC、OD的长度.（2）求线段BC的长度3. 问题拓展 已知

21、数轴上的四点A、B、C、D所对应的实数依次是、O为原点，求（1）在数轴上描出A、B、C、D.（2）线段OA、OB、OC、OD的长度.有理数无理数操作1：在数轴上表示操作2：在数轴上表示 类比有理数：有理数范围内已有的绝对值、相反数等概念和大小比较方法，在实数范围内有相同的意义一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值绝对值相等符号相反的两个数叫做互为相反数实数的大小比较方法：负数小于零，零小于正数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小.从数轴上看，右边的数总比左边的数大体现数轴的优势：直观、有序通过两个例子说明数轴上存在无理数对应的点操作1选用，根据已学过的知识

22、将它转化为线段长，再在数轴上画出；操作2通过圆的周长将转化为线段长同号的两个无理数，能够同时平方比较平方后的数的大小一是用绝对值的概念解释数轴上对应的实数与距离的关系，学生容易接受二是探索两点的距离与数轴上对应的实数的关系请学生先判断，再引导分析特征，总结规律，形成公式，感受形与数两相依课堂小结1. 数轴为实数轴2. 实数与有理数类比同样有相反数、绝对值，并能进行大小比较3. 通过将实数在数轴上标示出来，通过研究同一数轴上两点的距离，感受数形结合的思想作业布置 练习册 习题12.5课后反思年级：七年级（下） 科目：数学课题名称12.6（1） 实数的运算授课时间课型主备课人第 周 星期 第 节新

23、授课学习目标1. 理解实数的运算法则、性质和顺序2. 能根据相关运算法则、性质和顺序进行实数运算3. 会利用平方根意义化简根式重点难点重点： 掌握实数的运算法则难点： 用实数的运算法则进行简单的计算学习过程与方法教师活动学生活动设计意图一、 复习引入1. 复习：实数的运算法则和运算性质及顺序2. 讨论：，以上算式有什么特征？计算的结果是什么？二、 新课讲授1. 概念辨析：2. 例题分析：例题1 不用计算器，计算：1)2)3)4)例题2 不用计算器，计算：1)2)3)4)3. 问题拓展1) 设，这两个等式为什么成立？2) 不用计算器，计算：1）2）3）三、 巩固练习书 P24/12.6（1）实数

24、的运算法则和运算性质以及顺序与有理数的运算一样有理数的运算法则、运算性质以及运算顺序的规定，在实数范围内仍旧适用，开方与乘方是同级运算原（分配律） 原（除法法则）（交换律平方的意义）（平方根的意义）原（乘方的意义） （平方根的意义）原（平方根意义及除法法则）（分配律）原原原原 原原原可类比合并同类项课堂小结1. 实数的运算2. 实数计算中的简单化简 作业布置 练习册 习题12.6课后反思年级：七年级（下） 科目：数学课题名称12.6（2） 实数的运算授课时间课型主备课人第 周 星期 第 节新授课学习目标1. 知道准确数、近似数、精确数、有效数字等概念的含义2. 掌握表示近似数的精确程度的两种方

25、法，会按指定方法取近似值重点难点重点： 近似值等概念的辨别理解难点： 掌握近似数精确度的两种方法学习过程与方法教师活动学生活动设计意图一、 情景引入1. 我国的“神舟六号”飞船搭载2位航天员进入太空轨道绕地球飞行，飞船的2个舱内有发动机52个，飞船上共有设备600余台，元器件10万多个。讨论：上述信息中哪些数与实际完全符合？哪些数与实际比较接近，但不完全符合？2. 我国科学考察队在2005年对珠穆朗玛峰的高度进行测量，得出它的高度约为8844.43米（这是一个近似数）二、 新课讲授1. 讨论：下列哪些数是近似数？哪些是准确数？1) 上海科技馆的建筑面积约98000平方米2) 我们班里有9为同学

26、的身高为1.65米3) 地球赤道的半径为6378千米4) 我国2004年GDP总量达到159878亿元2. 思考：用四舍五入法得到：小林身高1.6米与小林身高1.60米，两者有什么区别？3. 概念：4. 例题分析：例题1 1）精确到某一位数：按四舍五入取近似值2）用四舍五入法取3485.26的近似值（精确到百位）例2 指定保留几个有效数字：概念：对于一个近似数从左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字例3 下列近似数各精确到哪一位？各有几个有效数字？1）2000 2）0.6183）7.20万 4）例4 月球沿着一定的轨道围绕地球运动，它在近地点时与地球相

27、距约为363300，在远地点时与地球相距约为405500，按下列精确度要求，用科学记数法表示这两个数的近似数：1）精确到万位 2）保留3个有效数字三、 巩固练习书 P27/练习12.6（2）1）2、3、523，个数与实际完全符合精确数2）600、10万，与实际比较接近，但不完全符合近似数在很多情况下，很难取得准确数，或者不必要使用准确数，而可使用近似数，例如：宇宙现在的年龄约为200亿年，长江长约6300千米，圆周率约为3.14这些数中只有9是准确数，其余均为近似数由四舍五入规则可知道：1.6米表示：1.55米小林身高1.65米1.60米表示：1.595米小林身高1.605米所以1.60米比1

28、.6米更加精确对于近似数要考虑它与相应准确数的接近程度（即近似程度）叫精确度精确度表示方式：精确到某一位数、保留几个有效数字 （精确到个位） （精确到0.1，或十分位，或保留一位小数） （精确到百分位）3.142 （ ）3.1416（ ）3485.261）按四舍五入取近似值 （保留五个有效数字） （保留三个有效数字）2）用四舍五入法取3485.26的近似值（保留三个有效数字）1）精确到个位 4个有效数字2）精确到千分位 3个有效数字3）精确到百位 3个有效数字4）精确到百位 3个有效数字1） 2） 通过生活中的实例感受近似数在生活中的广泛应用较难，基础较薄弱不必多纠缠课堂小结1. 准确数、近似

29、数的概念2. 准确度的表示方法：精确到某一位数或保留几个有效数字作业布置 练习册 习题12.6课后反思年级：七年级（下） 科目：数学课题名称12.7（1） 分数指数幂授课时间课型主备课人第 周 星期 第 节新授课学习目标1. 理解分数指数幂的意义2. 能将方根转化为分数指数幂的形式，体会转化思想重点难点重点： 引入分数指数幂，知道有理数指数幂难点： 能把方根化为幂的形式学习过程与方法教师活动学生活动设计意图一、 复习引入1. 计算：1）2）2. 思考：乘方与开方互为逆运算，能否将开方运算转化为某种乘方形式的运算，给运算带来方便？二、 新课讲授1. 将开方运算转化为某种乘方形式的运算：思考：把表示为2的次方幂的形式.可能是整数吗？为什么？假设：成立，那么 则 即 所以 2. 概念：讨论：当、互素时，底数有什么条件限制？规定，叫做分数指数幂，是底数3. 运算性质：指数的取值范围扩