2021版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第8讲函数与方程练习理北师大版

1、高考总复习第8讲函数与方程磴停突7基础题组练1. (2020 河南商丘九校联考)函数f(x)=(x21) #4的零点个数是()A. 1B. 2D. 4C. 3解析：选B.要使函数有意义，则 x24>0,解得x>2或xW 2.由f (x) = 0得x24 =0或x21 = 0(不成立舍去)，即x= 2或x=2.所以函数的零点个数为 2.故选B.2.函数y=x-4 - 2 '的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1 ,2)C.(2,3)D.(3,4)解析:1 x选 B.因为 y= f (x) =x 4 2 =x 1 x 一 22 是R上连续递增的函数，且 f(1) =11

2、x-2<0, f (2) =2-1>0,所以f(1) f(2)<0 ,故函数y = x-4 - 的零点所在的区间为(1 ,2) .故选B.3. (2020 福建晋江四校联考)设函数y= log 3x与y=3 x的图象的交点为(x。，y。)，则x0所在的区间是()A. (0, 1)B. (1 , 2)C. (2, 3)D. (3, 4)解析：选C.令m(x) = log 3x+x 3,则函数m(x) = log 3x+x3的零点所在的区间即为 函数y=log3x与y= 3 x的图象的交点的横坐标所在的区间.因为n(x) = log 3x +x 3递增且连续，且满足 n(2) m

3、(3)<0 ,所以m(x) =log3x+x3的零点在(2 , 3)内，从而可知方程 log 3x+x 3=0的解所在的区间是(2, 3),即函数y = log 3x与y= 3x的图象交点的横坐 标x0所在的区间是(2 , 3).故选C.2x-x2, x>0,4. (2020 河南焦作统考)已知函数f(x)=则函数f (x)在1-ln (x+6) , 6Vx<0,( 6, +8)上的零点个数为()A. 1B. 2C. 3D. 42x -x2, x> 0,解析：选C.由题知函数f(x)=在(6, +8)上有零点，则1-ln (x+6) , 6<x<0x>

4、0,-6<x<0,x 2 或 /、 解得x=2或x=4或x = e6,即函数f (x)在(一6,十8)2 x =01 ln (x+6) = 0,上的零点个数为3.故选C.5. (2020 河北张家口模拟则实数m的取值范围是()A. 0,B.C. (0, 1)ee)已知函数f(x) = |ln x| , g(x) = f (x) mx恰有三个零点,解析：选A. g(x)有三个零点，即y= f (*)与y= mx的图象有三个交点，作出 y=f(x)和mx= ln xc,y=mx的图象如图.当y= mx与y= f(x)相切时，设切点坐标为(x°, In x°),则1-

5、=ml x0解得m= L则当0<m<，时，直线ynmxf曲线y = f(x)有三个交点，即函数g(x)有三个零点.故 ee选A.6 .已知函数 f(x)=Iog2(x+1) + 3x+m的零点在(0, 1上，则实数m的取值范围为解析：由题意知函数 f (x) = log 2(x+1) + 3x+m在定义域上递增，又由函数 f (x)在(0 ,1上存在零点，得f (0) <0,f (1) >0,log 2 (0+1) + 3X 0+m<0, 即log 2 (1 + 1) +3X1+ m>0,解得4w n<0,即实数的取值范围为4, 0).答案：4, 0)

6、7 .已知函数f(x)= 2 x_cos x,则f(x)在0, 2兀上的零点个数为解析：如图，作出 g(x)1 x2 与h(x)=cos x的图象，可知其在0 , 2兀上的交点个数为3,所以函数f(x)在0 , 2兀上的零点个数为3.答案：38 .函数f(x)= 2 11 +2cos兀x( 4W xW6)的所有零点之和为 .解析：可转化为两个函数y= 2 '与y=2cos % x在4, 6上的交点的横坐标的和，因为两个函数均关于 x=1对称，所以两个函数在 x=1两侧的交点对称，则每对对 称点的横坐标的和为 2,分别画出两个函数的图象易知两个函数在x= 1两侧分别有5个交点，所以5X2

7、= 10.答案：109 .关于x的二次方程x2+(mr 1)x + 1=0在区间0 , 2上有解，求实数 m的取值范围.解：显然x=0不是方程x2+ (mi- 1)x+1 = 0的解，0<xW2时，方程可变形为 1mi= x+ L 又因为 y=x + 1在(0 , 1上是减少的，在1 , 2上是增加的，所以y=x +1在(0 , 2xxx上的取值范围是2 , +8),所以1 m> 2,所以me - 1,故m的取值范围是(一8, 1,10 .设函数 f(x)= 1 - (x>0). x(1)作出函数f(x)的图象；一一,、1 1 ,一(2)当 0<a<b,且 f(a

8、)=f(b)时，求一十 匚的值； a b(3)若方程f (x) = m有两个不相等白正根，求m的取值范围.解：(1)如图所示.(2)因为 f(x) = 1-1 x1-1, xC (0, 1, x1-1, xe (1, +8), x故f(x)在(0 , 1上是减函数，而在(1 , 十°°)上是增函数,由 0<a<b且 f(a) =f (b),得 0<a<1<b,11 1 1且a-1=1-b 所以 a+b=2.(3)由函数f(x)的图象可知，当 0Vm<1时，方程f(x) = m有两个不相等的正根.综合题组练1.已知x表示不超过实数 x的最大

9、整数，g(x) =x为取整函数，X0是函数f(x) = ln2.1, 一x的零点，则g(x0)等于()xA. 1B. 2C. 3D. 4一一 ，2,，解析：选 B.f(2) =ln 2 -1<0, f (3) =ln 3 ->0,故 x0 C (2 , 3),所以 g( xo) = xo=32.故选B.2. (2020 湖南娄底二模)若*1是方程xex= 1的解，x2是方程xln x= 1的解，则x区等于()A. 1B. - 11C. eD.e解析：选A.考虑到x1, x2是函数y=ex、函数y= In x与函数y=)的图象的交点 A, B x的横坐标，而 A x1, y , B

10、x2, 4两点关于y = x对称，因此x1x2= 1.故选A. x1x2ax2+ 2x+ a (x<0)3. (2020 湘赣十四校联考)已知函数f (x)=/、 ，有且只有1个零点，ax 3 (x>0)则实数a的取值范围是 .解析：当a>0时，函数y= ax- 3( x>0)必有一个零点，又因为-<0,故a - +2)aa a2x (xw 0),+ a>0,解得a>1;当a=0时，f(x)=恰有一个零点；当 a<0时，若x>0,则-3 (x>0)f(x) = ax-3<0,若 xw0,贝U f(x) = ax2 + 2x+a,

11、此时，f(x)恒小于 0,所以当 a<0时，f(x) 无零点，故答案为 a= 0或a>1.答案：a=0或a>1| x + 5x + 4| , x w 0,4 .已知函数f(x)=若函数y=f(x) a|x|恰有4个零点，则实2|x 2| , x>0数a的取值范围为.解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y=f(x)和y= a|x|的图象可知，若满足条件，则 a>0.当a>2时，在y轴右侧，两函数图象只有一个公共点,此时在y轴左侧，射线y= ax(xw。)与抛物线 y = -x2-5x-4( -4<x< 1)需相切.2消去V，y= - x - 5x-

12、4, 由y= 一 ax得 x2+ (5 a) x+ 4= 0.由 = (5 a) 2 16= 0,解得 a= 1 或 a= 9.a=1与a>2矛盾，a=9时，切点的横坐标为 2,不符合题意.当0vav2,此时，在y轴右侧，两函数图象有两个公共点，若满足条件，则av 1,即 a> 1.故 1 v av 2.答案：(1 , 2)5.已知函数 f (x) = - x2-2x, g(x) =x + , 4x，x>0,x+1, x< 0.求g(f(1)的值;(2)若方程g(f (x) a=0有4个实数根，求实数 a的取值范围.解：(1)利用解析式直接求解得g(f(1) =g(-3

13、) = - 3+1 = 2.(2)令f(x) =t ,则原方程化为 g(t) = a，易知方程f(x)=t在(8, 1)上有2个不同的解，则原方程有 4个解等价于函数y= g(t)( t <1)与y= a的图象有2个不同的交点，作出5函数y= g(t)( t <1)的图象如图，由图象可知，当1wa<4时，函数y=g(t)( t<1)与y = a有25个不同的交点，即所求a的取值范围是1,4.x+ 1 一6 .设函数 f(x) =xCR且 xw1.x- 11111(1)求 f 10 + f 8 +f 6 +f 4 +f(4) +f(6) +f(8) +f(10)的值；(2

14、)就m的取值情况，讨论关于x的方程f (x) +x= m xC2, 3上解的个数.x+11解：(1)根据题意，函数f(x)=-1,则f x1-+1 x11 x1 + x1 -x则 f (x) +f 1 =0, x则 f 白+f 1+f 1+f 1+f(4)+f(6)+f(8)+f(10)=f A+f(10)+f 1+f(8)1086410811+f 6+f+f 4+f(4)"(2)根据题意，设 g(x) = f(x) + x = + x= (x- 1) + + 2, x 1x 1令 t =x1 ,又由 xe 2 , 3,则 t e 1 , 2,2,2t2- 2则设 h(t) = t+1+2,有 h (t) = 1 f2= -p-,分析可得，在区间1 ,蛆)上，h(t)递减，在区间、/2, 2上，h(t)递增；则h(t)在1 , 2有最小值 "欣)=2>/2 + 2,且 h(1) =h(2) =5,则函数h(t)在区间1 , 2上有最大值5,最小值 2v2+2，方程f(x) + x=m的解的个数即为函数 g(x)与直线y=m的交点个数，分析可得，当nK25+2时，函数g(x)与直线y = m没有交点，方程f(x)+x=m无解; 当