江苏数学试题及标准答案(word解析版)

1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学 注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 本试卷共 4 页，包含填空题（第1 题第 14 题）、解答题（第15 题第 20 题）本卷满分160 分，考试时间为120 分钟考试结束后，请将答题卡交回2 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚4 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗5 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、

2、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔参考公式：圆柱的体积公式：V圆柱sh ，其中 s为圆柱的表面积，h 为高圆柱的侧面积公式：S圆柱 =cl ，其中 c 是圆柱底面的周长，l 为母线长一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分 请把答案填写在答题卡相应位置上（ 1）【 2014 年江苏， 1， 5 分】已知集合A2 ， 1，3，4 ， B 1，2，3 ，则 AB _ 【答案】 1 ，3【解析】由题意得A B 1,3 （ 2）【 2014 年江苏， 2， 5 分】已知复数z(52i)2 ( i 为虚数单位 )，则 z 的实部为 _【答案】 21【解析】由题意z(52i)

3、 2252 52i(2i) 22120i ，其实部为 21（ 3）【 2014 年江苏， 3， 5 分】右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 _【答案】 5【解析】本题实质上就是求不等式2n20 的最小整数解 2n20 整数解为 n 5 ，因此输出的 n5 （ 4）【 2014 年江苏， 4， 5 分】从 1，2 ，3，6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数，则所取2 个数的乘积为 6 的概率是 _【答案】 13【解析】从 1,2,3,6这 4个数中任取2 个数共有 C426种取法，其中乘积为6 的有1,6和 2,3 两种取法，因此所求概率为 P21 63（ 5）【 2014 年江苏，

4、5， 5 分】已知函数ycosx 与 ysin(2 x)(0 ) ，它们的图象有一个横坐标为的的值是 _ 3交点，则【答案】6【解析】由题意cossin(2) ，即 sin( 2)1 ， 2kk， (k Z ) ，因为 0，所3( 1)33236以6（ 6）【 2014 年江苏， 6，5 分】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60 株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间80 ，130 上，其频率分布直方图如图所示， 则在抽测的60 株树木中，有株树木的底部周长小于100 cm【答案】 241【解析】由题意在抽测的60 株树木中，底部周长小于100cm 的株数为 (0.015

5、0.025)106024 （ 7）【 2014 年江苏， 7，5 分】在各项均为正数的等比数列 an 中，若 a21 ，a8a62a4 ，则 a6的值是 _【答案】 4【解析】设公比为 q ，因为 a21 ，则由 a8a62a4得 q6q 42a2 ，q 4q 220 ，解得 q22，所以 a6a2 q44 （ 8）【 2014 年江苏， 8，5 分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1 ，S2 ，体积分别为 V1，V2 ，若它们的侧面积相等，且S19 ，则 V1 的值是 _S24V2【答案】 32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为h1r2S1r129r1、h1 ， r2、h2 ，则 2

6、r1 h12 r2 h2 ， hr，又 S2r224 ，所12r3Vr 2 hr 2hr 2rr3以 1，则11 111121r22V2r22 h2r22 h2r22r1r22（ 9）【 2014 年江苏， 9， 5 分】在平面直角坐标系xOy 中，直线 x2 y30被圆 ( x2)2( y 1)24 截得的弦长为 _【答案】 2 555【解析】圆 (x2) 2( y1)24 的圆心为 C (2,1) ，半径为 r2 ，点 C 到直线 x2 y30 的距离为22(1)33，所求弦长为 l2r2d22 49255 d1222555（ 10）【 2014 年江苏， 10， 5分】已知函数f ( x

7、)x2mx 1，若对任意x m，m1 ，都有 f (x)0 成立，则实数 m 的取值范围是 _【答案】2，20【解析】据题意f (m) m2m210，解得20f (m1)(m 1)2m(m1)1 02m（ 11）【 2014 年江苏， 11， 5 分】在平面直角坐标系xOy 中，若曲线yax2b( a ，b 为常数 ) 过点 P(2 ， 5) ，且x该曲线在点 P 处的切线与直线7 x2 y30 平行，则 ab 的值是 _【答案】3【解析】曲线 yax 2b 过点 P(2,5) ，则 4ab5 ，又 y ' 2axb2 ，所以 4ab7 ，由解得a1b，x2x421所以 ab2 （ 1

8、2）【 2014 年江苏， 12， 5 分】如图，在平行四边形ABCD 中，已知， AB8 ，AD5 ，CP3PD ，AP BP 2，则 ABAD 的值是 _【答案】 22【解析】由题意，APADDPAD1BCCPBC3CDAD3AB ，AB，BP444所以 AP132132BP( ADADABAB，AB) (ADAB)AD44216即 2251364 ，解得 AD AB 22 2AD AB161（ 13）【 2014 年江苏， 13，5 分】已知 f ( x) 是定义在 R 上且周期为3 的函数， 当 x0 ，3) 时， f ( x) x22 x2若函数 yf ( x)a 在区间 3 ，4

9、上有 10个零点 (互不相同 )，则实数 a 的取值范围是 _【答案】10 ，22【解析】作出函数 f (x)x22 x1, x0,3)的图象，可见f (0)1 ，当 x 1时，f ( x) 极大1 ，222f (3)7 ，方程 f ( x)a0 在 x 3,4上有 10 个零点，即函数yf (x) 和图象与直线2ya 与函数y a 在 3,4上有 10 个交点，由于函数f ( x) 的周期为3，因此直线f ( x)x22 x1, x0,3)的应该是 4个交点，则有 a(0,1) 22（ 14）【 2014 年江苏， 14， 5 分】若ABC 的内角满足 sin A2 sin B2sin C

10、，则 cosC 的最小值是 _ 【答案】624a2b22a 2b2( a2b )2【解析】由已知 sin A2sin B2sin C 及正弦定理可得 a2b2c ， cosCc22ab2ab3a 22b222ab26ab2 2ab62，当且仅当22a28ab8ab43a2b，即b时等号成立， 所以 cosC3的最小值为642 二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（ 15）【 2014 年江苏，15， 14 分】已知， ， sin525 （ 1）求sin4的值；（ 2）求cos62的值解：（ 1）2， ，sin5 ，

11、cos1sin225 ，55s i ns i nc o s2( c o s1 0c o s s i ns i n )44421 0（ 2）4223sin 22sincos5，cos 2cossin5 ， cos2coscos2sin sin 233146662525（ 16）【 2014 年江苏， 16， 14分】如图，在三棱锥 PABC 中， D ，E ，FPA AC ，PA6，BC8，DF5 （ 1）求证：直线 PA平面 DEF ；（ 2）平面 BDE 平面 ABC解：（ 1） D ，E 为 PC ，AC 中点 DE PA PA平面 DEF ，DE平面33410分别为棱 PC ，AC ，A

12、B的中点已知DEF PA平面 DEF （ 2） D ，E 为 PC ，AC 中点， DE1PA 3E，F 为 AC，AB中点， EF 1BC4 ，22 DE2EF 2DF 2 ， DEF90°， DE EF， DE /PA ，PA AC ， DEAC ， ACEFE ， DE 平面 ABC， DE 平面 BDE，平面 BDE 平面 ABC（ 17）【2014 年江苏， 17，14 分】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，x2y21(a b 0)12分别是椭圆a2b2的左、F，F右焦点，顶点 B 的坐标为 (0 ，b) ，连结 BF2 并延长交椭圆于点A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭

13、圆于另一点C，连结 FC1 （ 1）若点 C 的坐标为412 ，求椭圆的方程；3， ，且 BF23（ 2）若 FC1AB ，求椭圆离心率 e 的值341161解：（ 1）C9922222( 2)222， a2b22a ，a， b1 ，3 39 ， BF b c椭圆方程为 x2y21 （ 2）设焦点212F (c ，0) ，F (c，0) ，C( x ，y) ， A ，C 关于 x 轴对称， A(x ， y) ，2bby，即bxcy bc0B ，F ，A 三点共线，cx 1AB ， xyb1，即xcbyc20 ccFCxca2a 2 c2bc2联立方程组，解得b2c2C2bc2b22， 22yc

14、bcb2c2a 2 c22bc225 b 2c2b2c21，化简得 5c2a2c5C 在椭圆上，a2b2， a5 , 故离心率为5（ 18）【 2014 年江苏， 18，16 分】如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥BC 与河岸 AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆，且古桥两端O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m经测量，点 A 位于点 O 正北方向 60m 处，点 C 位于点 O正东方向170m 处( OC 为河岸 )，tanBCO43（ 1）求新桥 BC 的长；（ 2）当 OM 多长时，圆形保护区的面

15、积最大？解：解法一：（ 1）如图，以 O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系xOy由条件知 A(0, 60) ， C(170, 0)，直线 BC 的斜率 kBC tan BCO4 3又因为 AB BC，所以直线AB 的斜率 kAB3 设点 B 的坐标为 (a,b)，4则 kBC = b04 ， k AB= b603 ，解得 a=80 ，b=120 a1703a04所以 BC=(17080) 2(0120) 2150 因此新桥 BC 的长是 150 m（ 2）设保护区的边界圆 M 的半径为 r m,OM=d m,(0 d60)由条件知，直线BC 的方程为 y4(x 170

16、) ，即 4x 3 y 680 0 ，3| 3d 680 |680 3d 由于圆 M 与直线 BC 相切，故点 M(0， d)到直线 BC 的距离是 r，即 r因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于80 m，556803drd 80d 80，即5，解得 10 d 35所以(60d ) 803dr680(60 d ) 805故当 d=10 时 , r6803d 最大，即圆面积最大所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大5解法二：（ 1）如图，延长 OA, CB 交于点 F 因为 tan BCO= 4 所以 sin FCO= 4 ，cos FCO = 3 355因为 OA

17、=60,OC=170 ，所以 OF=OC tan FCO= 680 CF=OC850 ，3cos FCO34从而 AFOFOA500 因为 OA OC，所以 cos AFB=sin FCO = 4 ，又因为 AB BC，所以 BF=AF35cos AFB=400 ，从而 BC=CF BF=150因此新桥 BC 的长是 150 m3（ 2）设保护区的边界圆M 与 BC 的切点为 D ，连接 MD ，则 MD BC，且 MD 是圆 M 的半径，并设 MD =r m，OM=d m(0 d 60)因为 OA OC，所以 sinCFO =cos FCO ，故由（ 1）知， sin CFO = MDMDr

18、3 所以 r6803d MFOFOM680d553因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于80 m，rd 806803dd 805，解得 10 d 35 ，所以，即r(60d ) 806803d(60d ) 805故当 d=10 时， r68053d 最大，即圆面积最大所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大f (x)exe x 其中 e 是自然对数的底数（ 19）【 2014 年江苏， 19， 16 分】已知函数（ 1）证明： f ( x) 是 R 上的偶函数；（ 2）若关于 x 的不等式 mf (x) e xm1在 (0，) 上恒成立，求实数m 的取值范围；（ 3）已

19、知正数 a 满足：存在a(x3a 1与ae 1的大小，并证明0000x 1，) ，使得 f ( x )3x ) 成立试比较 e你的结论解：（ 1）xR ，f(x)e xexf()， f (x) 是 R 上的偶函数x（ 2）由题意，xxxxxxxx(ee )em1，即m(ee1) e1，x(0，)，ee10，m即e x1对恒成立令x1t对任意恒成立mxxx (0 ，)te (1)，则m2t (1，)ee1ttt1t21 t1(t2t11)111 ，当且仅当 t2 时等号成立，m 1 t1)(tt11133t1（ 3）xx3f'()ee，当x1时f '( x)0f ( x)在(1，

20、)上单调增，令h(x)a(x3x)，3ax( x 1)，xh '( x) a0 ，x1， h '(x)0 ，即 h( x) 在 x(1，) 上单调减，存在 x0e-1 ln aa 1ea 1 e200301a1 e11，) ，使得 f ( x ) a( x3x ) ， f (1) e2a ，即e2eln a e 1ln ea 1(e1)ln aa1 ， 设 m( a ) ( e1) lna a ，1则 m'(a )e 11 e 1 a，aa1当1 e1a e1时， m'(a) 0 ， m(a ) 单调增；当 ae1 时， m'(a)0 ， m(a ) 单

21、调e2e减，因此 m(a) 至多有两个零点，而m(1)m(e)0，当 ae 时， m(a)0， ae 1ea 1 ；当 1e 1ae 时， m(a)0 ， ae1ea 1 ；当 ae 时， m(a)0 ， ae 1ea 1 2e（ 20【） 2014 年江苏，20，16 分】设数列 an的前 n 项和为nn，总存在正整数nam，S 若对任意的正整数m，使得 S则称aHn 是 “ 数列 ”（ 1）若数列 an 的前 n 项和 Sn2n (nN ) ，证明： an 是 “H 数列 ”；（ 2）设 an 是等差数列，其首项a11，公差 d0 若 an 是 “H 数列 ”，求 d 的值；（ 3）证明：

22、对任意的等差数列aHb 和 c ，使得anb c (n N )成立n ，总存在两个 “ 数列 ” nnnn解：（ 1）当 n 2 时， anSn Sn 12n2n 12n 1，当 n1 时， a1S12 ， n1时， 11 2nan 1，n 是“H 数列 ”S a ，当 n时， S a（ 2） n1n(n1)d nn(n1)d，对 n Nnmnn (n1)d 1 (m 1)dS na，即，22， m N 使 Sa25取 n2 得 1 d( m 1)d ，m 212 ，又 m N ， m 1 ， dd ， d0 ， m1 （3）设 n 的公差为n1(n1(21nn 1n1n1d) ，ad，令 ba1)an)a ，对N ， bba ， c (n 1)(a对nNc1c a d，则b ca (n 1)d a，且 b ，c为等差数列， nn1nn1nnn bn 的前 n 项和Tnna1n( n1