高数试卷2(导数及应用)及答案精编版

1、高数测试题二(导数及应用 )1.求极限：limxx cosx;(2)求lim (1cot2x);(3)求2x.(1)3xx2lim (arctan x)x 04 sinx0x2.设 f '' ( x) 在 xf (ah)f (ah)2 f ( a)a 点附近连续，则 limh2_ .h013.讨论 .函数 f ( x)(1) x 在 (0, )的单调性 .x设x sin xcosx，下列命题中正确的是_.4.f ( x)( A ) f (0)是极大值，f ()是极小值(B) f (0)是极小值，f (是极大值)22(C) f (0)是极大值，f ()也是极大值( D ) f (

2、0)是极小值，f (也是极小值2)25.设 f ( x)x 3, x0 ，求： (1)f (0);(2)确定 f ( x) 的单调增减区间 .x arctanx , x0已知函数yx3，求6.( x1)2(1)函数的增减区间及极值 ；函数图形的凹凸区间及 拐点；(2)7. 函数 yx3_ .2lnx3的水平渐近线方程为(A) y2(B)y1(C) y3(D) y08.设 (1,3)是曲线 yax 3bx 21 的拐点，求 a, b.设x1x2，问 ex1和 ex2何者更大，为什么？9.02x12x2210.设 x0，常数 ae，证明：(ax)aa a x .1f ( x)dxf (0).11.

3、设函数 f ( x)在 0,1上连续，在 (0,1)内可导，且 3 23证明 : 在 (0,1)内存在一点，使得 f ' () 0.设在0,1上连续，在内可导，且f (0)试证：至少存在一点12. f (x)(0,1)0.(0,1), 使f '()2 f ()f '()13.设 yf ( x)是方程 y' '2 y' 4 y0的一个解，若 f ( x0 )0，且 f ' ( x0 ) 0，试判定 x0是否是 f ( x)的极值点？如果 x0为 f (x)的极值点，是极大值点 ，还是极小值点？114.求 q，使方程 x 33xq0有两个互异

4、实根，并指出根的值 .15. 在抛物线 y x 2 ( 第一象限部分 ) 上求一点，使过该点的 切线与直线y 0, x 8 相交所围成的三角形的 面积为最大 .答案01.(1) 解xx cosxxx cos x 01cosxx sin xlim4 sin 3xlim4x 3lim12x2x0x0x00x cosx1lim x cosx111 .lim 2 sin x0x024x12x 02412248(2) 解1cot2x)lim (1cos2x)limsin 2xx 2 cos2xlim (2x2sin2xx2sin2xx 0xx0x0lim(sin xx cos x)(sin xx cos

5、 x)sin xx cos xsin xx cos x4limlim3x 0xx0xx0x001cos xcos xxsin x111lim3x223.2 x06(3)解属于 1型，可转化成 elnf ( x) 形式求解 .2ln(arctan x )2lim1112x ln(xlim( x2xarctan x)xarctan x 1 x22 )故 lim (limeeexe .arctan x)xx解因为f ''( x)存在，则f ' ( x)存在，利用洛必达法则 有2.0f ( ah)f ( ah)2 f (a) 0limf ' (ah)f '( a

6、 h)limh22hh0h0limf ' '( ah)f ' '(a h)f ' ' (a).故应填 f ' '( a).2h 01x11解：f( x)1ln(1)3.xx1 x令 g( x)ln(11)11 ，g ( x)1x1(111x) 20xx1xx)2x(1所以函数 g( x)在( 0,)上单减，由于 limln(11 )10xx1x故对任意 x( 0,), g( x)ln 1110x1x从而 f( x)0( x0),函数 f (x)在 (0, )上单增。 故应选 (A )24.解： f ' ( x)sin x

7、x cos xsin xx cos x，显然 f ' ( 0)0， f ' ()0，2又 f " ( x)cos xx sin x，且 f " (0) 10， f " ()20，所以 f (0)是极小值，2f ( )是极大值 .故应选 ( B)2解(1)f( 0)limf ( x)f (0)limx 30,5.xxx 0x0f(0)limf ( x)xf ( 0)limx arctan x0,x 0x0x由 f(0)f(0)，所以 f(0)0.( 2)当x0时, f ( x)3x2；当x0时, f ( x)arctan xx0,01x 2所以 f

8、( x) 的单调增区间为 ( 0,)，减区间为 (,0).解所给函数的定义域为(,1)(1,)6.yx 2 ( x3)令y，得驻点x及x3( x1) 300y6x令y，得x0列表( x1) 40由此可知， 函数的单调区间为(,1)和，单调减少区间为(1,3);极小值为y27(1)(3)4函数图形在区间(内是凸的，在区间， ，内是凹的，拐点为(0,0)(2),0)(0,1)(1)7.解因为 lim ylim (2 ln xx33)3,xx所以 y3 为 y2 lnxx33的水平渐近线 .故应选 (C).8.解y'3ax 22bx， y' '6ax2b，若 (1,3) 为曲

9、线的拐点，则必满足y |x1 3， y' ' |x 10，即ab13a16a2b，解得b.039.解设 yexx(0,2)yx2 ex2 xe xex ( x 2)0x2x 4x3故 y为(0,2)内单减函数 .所以当 0x1x2e x1ex22时， 22 .x1x210.证 因为 yln x是单调增加函数，所以欲证明 (ax) aa a x ，只须证 a ln( ax)( ax) ln a .设 f ( x)( ax) ln aa ln( ax)，则 f ( x)在0,)内连续且可导，又有f(x)ln aaax3因为， a，故，所以函数f ( x)在 0,内单调增加.ln a

10、 1ax1f ( x) 0)而f (0)，所以f ( x)0(0x，0)即a ln( a x) (ax) ln a，也即(ax)aaax.证明因f ( x)在0,1上连续，故由积分中值 定理知， 一点2,1) (0,1)11.(13f (0)f ().使3 2 f (x)dx3则f ( x)在 0,上应用罗尔定理得，至 少存在一点，使得f '( )0.(0,1)证明构造函数F ( x) f ( x)(1x)2，则F ( x)在0,1上满足罗尔定理条件12.至少存在一点，使F ()0即f '() 2 f ()f ' ()(0,1)13.解由于 yf ( x)为 y'

11、; '2 y'4y0的解，从而f ( x) 2 f ( x) 4 f ( x)0特别的，当 f ( x0 )0时，上述方程可以化为f ( x0 ) 4 f (x0 )0f (x0 )4 f ( x0 ) 0由极值得第二充分条件可以得知， x0为的极值点，且为极大值点 . 即 f ( x)在x0点取得极大值 .解设f ( x)x33xq0其定义域为(,)且limf (x)14.xlimf (x).f (x)3x230得驻点x1xx或时，即f (x)单增时，f (x) 0即f ( x)单减1 x 1f ( x) 01 x 1f (1)q2f (1)q2f (1)f (1)故q或2时，方程有两个实根;2 q当时，方程为x33x 2 0根为x1，2.q 21 x2当q时，方程为x33x 2 0根为x1，2.21 x2解设切点为( x0 , x02，则切线方程为y22x0 ( xx0 ),15.) x00x0即y2x0 xx02 , 切线与 x 轴交