平面解析几何的产生

1、1平面解析几何的产生(三)笛卡儿与解析几何汪晓勤(华东师范大学数学系，上海，200062200062)虽然费马的平面与立体轨迹引论在笛卡儿(R.R. Descartes,Descartes, 1596159616501650)的几何学出版(16371637)之前不久已经为巴黎数学界(包括笛卡儿)所知，但直到16791679 年才得以正式出版，此时距作者去世已有1414 年、距几何学出版已有4242 年、距原书成稿已有半个世纪！而笛卡儿著作(原文为法文)则通过荷兰数学家舒腾(F.F. vanvan Schooten,Schooten, 1615161516601660) 的拉丁文版(164916

2、49, 1659-16611659-1661)产生广泛的影响，“笛卡儿几何”成了解析几何的同义词， 笛卡儿成了解析几何惟一的发明者。1818 世纪，法国数学史家蒙蒂克拉(J.J. eMontucla,eMontucla, 1725172517991799)在其经典著作数学史中只字未提费马的解析几何工作；直到1919 世纪初，法国学者波素(CharlesCharles Bossut,Bossut, 1730173018141814)在其数学通史中还只介绍了笛卡儿一人的工作。 经过后世数学史家的研究，费马的工作才得到人们的普遍承认。今天，人们都知道，费马 和笛卡儿曾经各自独立地发明了解析几何。尽管

3、如此，我们无法否认，解析几何作为一门新数学分支的诞生和发展，去卩是主要源 于笛卡儿著作的影响。笛卡儿的几何学是作为其哲学名著方法论之附录出版的。尽管几何学为 解析几何学之滥觞， 但笛卡儿的目的却与我们今天的解析几何课本大相径庭。几何学各卷的标题是：第 1 1 卷：只需利用直线和圆即可作出的问题；第 2 2 卷：曲线的性质；第 3 3 卷：立体与超立体问题(三次及三次以上问题)的作图。前两卷是为第三卷服务的。因此，笛卡儿的目的是研究代数方程的根的几何作图，这也正 是韦达的目标。可以说，笛卡儿的工作是韦达、 甚至更早的阿拉伯数学家奥马 海亚姆(OmarOmar Khayyam,Khayyam, 1

4、048104811221122)的工作的延续。早在 16191619 年，笛卡儿就开始利用抛物线来构造三、 四次方程的根。几何学开篇写道：“一切几何问题均可归结为这样的项：只要知道某些线段的长度，就足以将其作出来。”笛卡儿首先给出一元二次方程的根的作图法。如图1 1,作直角三角形a22NLM ,LM =b , LN，以N为心，NL为半径作圆，交MN于P、Q,则方程z =az b21 1 12 2 2 2的正根为QM a , a b, 方程z = -az b的正根为2 V422数（笛卡儿称之为“假数”）尚未被人们所理解和接受。笛卡儿说，同样的根还可以用其他 许多方法求得。早在 16311631

5、年，笛卡儿就开始关注帕普斯的三线和四线轨迹问题了。在几何学中，严格意义上的解析几何思想出现在接下来的对帕普斯轨迹问题的讨论之中。在卷 1 1 和卷 2 2,笛卡儿解决了四线轨迹问题。如图3 3,设AB、AD、EF、GH是给定的四条直线，其中AB分别交AD、EF和GH于A、E和G。C为一动点。从点C分别向四线引线段CB、PM1a+b2。如图NLM同上，以N为心，NL为半径作QM交LM在点M处的垂线于P、Q,则方程z2= az-b2的两个正根分别为4a1 a -b，PM =1 a - - b。笛卡儿没有提到负根，因为当时负23图 3 3CD、CF、CH，分别与四线构成给定角度（在9090。的特殊情

6、形，即为点到线的距离），其4中CB分别交AD、EF和GH于R、S和T。已知CB CF = CD CH,要求点 C C 的轨迹。笛卡儿取AB为轴（相当于今天的 x x 轴），A为原点。设AB二x,BC = y。则因三角形RAB的三个内角均已知，故由正弦定理可得RB = k,x（其中匕=sin RAB，这si n（NARB）里我们为了叙述方便， 适当改变了笛卡儿的记号）。于是，CR = y kx（或CR = y _ k1x或CR= -y kiX，视点S R、B三点的位置关系而定）。又三角形DRC的三个内角已 知，故由正弦定理可得CD =k2y k,x。因EAd已知，故EB=丨-x（或EB=1 -x

7、， 或EB二 x，视点E、A、B的位置关系而定）。三角形SEB的三个内角均已知，故由 正弦定理可得BS二k3l x，从而得Cy k3l x（或CS二y - k l x，或C = -y kj l x，视点C、B、S的位置关系而定）。三角形SFC的三个内角均已知， 故得CF*4 |y kjl x。类似地，AG已知，故BG = m - x，于是在三角形TBGTBG 中，TB =k5m-x，从而得CT = y k5m-x。最后，在三角形TCH中，由正弦定理得，CH = k| y k5mx ：丨。因此，由CB CF = CD CH得y2= ay _bxy ex _dx2（1 1）为一过原点的圆锥曲线的一

8、般方程。对于x的每一个值，根据（1 1）得y的一元二次方程，利用前面介绍的方法，可用尺规作出方程的根，从而得到相应的点。解出y y,得1b丄1厂2丄丄2y a x i px qx a（ 2 2）22 2这里，笛卡儿只取了算术根，p二b2-4d，q =4c -2ab。笛卡儿指出，若q2-4pa2二0，则四线轨迹为直线；若p = 0，则四线轨迹为抛物线； 若p 0，则四线轨迹为椭圆（b = 0，d -1时为圆）；若p 0，则四线轨迹为双曲线。 这与今天的二次曲线分类方法完全一致。 笛卡儿还讨论了二次曲线的中心、焦点、顶点和通径等性质。笛卡儿接着讨论了五线轨迹问题的特殊情形。若五线相互平行，则轨迹为

9、一直线。如图 4 4,设四条直线GF、ED、AB、IH相互平行，相邻两线之间的距离相等，第五条直线GI与它们垂直。C为动点，过C向各直线引垂线，垂足分别为F、D、B、H、M。已知其中kzkskem -kjkql a=k4 -，环4人叭-kXk6k1k2k5k6me =k4- k?k6Kk2k5k6k4- k?k6(1)5CF CD CH =CB CM AI =a CB CM，要求C的轨迹。笛卡儿取AB为轴（相当于今天的x轴），A为原点，CB = y,CM = x,Al = AE = GE = a，若C在AB和FDCBH11 1GEMAI图 4 4ED之间，则有CF = 2a - y，CD二a

10、- y，CH =y a。于是，所求点C的轨迹方程 为3223,、y2aya y 2a =axy（3 3）后来牛顿（I.I. Newton,Newton, 1642164217071707）把曲线（3 3）称为笛卡儿抛物线（今又称牛顿三叉线）。笛卡儿并未具体作出曲线的图形， 他对于高次曲线的兴趣主要局限在三个方面： 一是推导 曲线的方程；二是通过运动方式来证明曲线的可作性；三是利用曲线作出更高次（适定） 方程的根。韦达感兴趣的是只是适定方程的根的作图，而笛卡儿则将韦达的方法推广到二 元不定方程，从而导致解析几何的诞生。笛卡儿在欧几里得公设的基础上增加了一个公设：“移动两条或两条以上相交曲线，其交

11、点确定了其他曲线。”由此得出方程（3 3）所表示的曲线是可作图的。如图 5 5,已知直线AB和AG相互垂直，G为AG上的固定点，AG =a（ a a 为常数）。KNC为已知曲线，与AB交于点K, L为AB上的点，KL=b（b为常数）。点C为KNC与直线GL的交点。当曲线KNC沿AB上下平移（点L也随之在AB上移动）时，点C的轨迹为一新曲线CE。6图 5 5为了推导曲线CE的方程，笛卡儿取点A为原点，直线AB为坐标轴（相当于今天的x轴）。过曲线上任一点 C C 作CB _ AB，垂足为 B B。设AB = x,BC = y，曲线 KNCKNC 表示为z =f y，其中KB =z。则由三角形的相似

12、性，得1 =f yb，即曲线 CECEa x+ f （ y ）-b的方程为xy -by ab若已知曲线KNC为直线，即f y二ky（ k k 为常数），则曲线CE的方程成为2b11y y xy ay ab（ 4 4）kkk笛卡儿指出（但未证明），上述方程表示双曲线。若给定曲线KNC为二次曲线，则C的轨迹为三次或四次曲线。特别地，当KNC为 以 L L 为心的圆时，轨迹为一蚌线（四次曲线），这条曲线是公元前3 3 世纪古希腊数学家尼科米德（NicomedesNicomedes）在解决三等分角问题时发现的。当KNC为以KL为对称轴的抛物线时，轨迹即为上面所说的特殊的帕普斯五线轨迹一一三叉线（三次曲

13、线）。因此，曲线（3 3）是可作图的。又若给定曲线为三次或四次曲线，则点C的轨迹为五次或六次曲线1,等等。在几何学中，笛卡儿没有给出一般五线问题以及五线以上问题的解，但他对四线 问题的解法并不失一般性。事实上，笛卡儿知道：一般的五线和六线轨迹为三次曲线，七 线和八线轨迹为四次曲线，九线和十线轨迹为五次曲线，等等。笛卡儿的解析几何方法解 决了古希腊数学家无法驾驭的五线及五线以上的轨迹难题。在几何学的最后一卷，笛 卡儿利用较低次曲线的交点来求高次方程的根，严格地说，这已经不是解析几何的内容了。费马找出了反例，给定曲线为y y3二b b2x x时，点C的轨迹为四次曲线7我们今天的初等平面解析几何教材往往包含四个主题 （在直角坐标系中） ：一是推导轨 迹的方程；二是研究一次和二次方程所表示曲线的性质；三是求距离、角度、面积等；四 是作曲线的图形。笛卡儿强调的是第一个主题，也简略涉及了第