常微分方程练习试卷及答案

1、常微分方程练习试卷、填空题。2._ 方程-d = f (xy)经变换_ ，可以化为变量分离方程_.y dx3微分方程-y2-X =0满足条件y(0) =1,y(0) = 2的解有个.dx4.设常系数方程yg yye的一个特解 y*(X)二 e2xexxeX，则此方程的系数5.朗斯基行列式W(t)三0是函数组x/t), x2(t),|1(, xn(t)在 a_x_b 上线性相关的 _条件.6.方程xydx (2x2，3y2-20)dy=0的只与 y 有关的积分因子为 _ ._7.已知X丄A(t)X的基解矩阵为：:吐)的，贝U A(t)工_ ._8.方程组 x、2 0 x 的基解矩阵为_ .柑 5

2、dy33=：x y y9. 可用变换_ 将伯努利方程化为线性方程.10 . 1 是满足方程y2yJ5y：y=1和初始条件_ 的唯一解.11. 方程一的待定特解可取_的形式：12. 三阶常系数齐线性方程y - 2yy= 0 的特征根是_、计算题1.求平面上过原点的曲线方程，该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.dy x + y T2 求解方程dx x - y + 31.方程 X3#仁 0 是(线性、非线性)微分方程d2xdx3.求解方程xx ( )2= 0。dt2dt4用比较系数法解方程.5 求方程W =、sin x的通解.2 26验证微分方程(cosxsinx-xy )dx

3、 y( x )dy = 0是恰当方程，并求出它的通解.7设 A，口 =1，试求方程组d = AX的一个基解基解矩阵(t)，求 =AX2弋 1 一dtdt满足初始条件x(0)=的解.8. 求方程 史=2x-1- 3y2通过点(1,0)的第二次近似解.dx9. 求(矽)3_4乂丫矽8y2= 0的通解dxdx211”pn q10. 若A= |试求方程组x =Ax的解(t),珥。).1,并求expAt.-1 4一性三、证明题1. 若(t),?(t)是XA(t)X的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C,使得(t) =G(t)C.2. 设(x)(乞x0, x：卩)是积分方程y(x)二 y。：2y()

4、2 ,x,x :，订x0的皮卡逐步逼近函数序列n(x)在:，订上一致收敛所得的解，而(x)是这积分方程在，订上的连续解，试用逐步逼近法证明：在，订上(x -(x).3.设二二二都是区间；C|N上的连续函数,且m是二阶线性方程X+P卩+?尸 0的一个基本解组.试证明：(i)丄和押 i 二都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);(ii)厂1和厂二没有共同的零点;(iii)厂和没有共同的零点.4.试证：如果:(t)是dX=AX满足初始条件(0)=的解，那么二exp A(t - to)dt答案一.填空题。1土厉土厉12. 1, 二1.求平面上过原点的曲线方程，该曲线上任一点处的切线与

5、切点和点(1,0)解：设曲线方程为. -J ,切点为(x,y),切点到点(1,0)的连线的斜率为 可得如下初值问题：71曲)=0 - 分离变量，积分并整理后可得 丁二2 2代入初始条件可得一,因此得所求曲线为.dy x + y12.求解方程dx x - y + 3解：由x y=0,求得 x,y = 2 令，lx-y+3=0ly+2,则有二令z，解得=匚,积分得arctan z-丄ln(V z2):，1+z2 2故原方程的解为arctan 2二In . (x 1)2(2)2C.1. 二,非线性 2.U =xy，1 -du=dx 3.无穷多 4.u(f (u)+1)x5.必要6.y37.(t)(t

6、)8.Atlle2t0Ie_5t卫e一9.Zio. c rm 11.1:-一3芒=2,-1计算题的连线相互垂直.y:-.，则由题意In | | C,=0=0，故，故x十1d2xdx3.求解方程xdT(dx)2=0d x dydyT= y 矽解 令丄，直接计算可得匸丄，于是原方程化为几nx+7 = oy- = _2有|或山.,积分后得.丄，即丄-所以 ；_ 是原方程的通解，这里为任意常数4.用比较系数法解方程.解：特征方程为. II,特征根为 .：:J.匕：丄 对应齐方程的通解为I11_.设原方程的特解有形如J-代如原方程可得- -二-；丄-2利用对应系数相等可得-,故.原方程的通解可以表示为(

7、是任意常数)范)= xo(O + x* = t2+Cx+ Q?.5.求方程y、y sin x的通解.解：先解y = y得通解为y二cex, 代入得c (x)exc(x)ex= c(x)exsin x,积分得 c(x)二-1e(sinx cosx) c ,2 26验证微分方程(cosxsin x-xy )dx y( x )dy=O是恰当方程，并求出它的通解解：由于M (x, y)二cos xsin x -xy2,N(x, y)二y(1 -x2),因为= -2xyN所以原方程为恰当方程cyex把原方程分项组合得cosxsinxdx-(xy2dx yx2dy) ydy = 0,或写成 d(-sin2

8、x) d(x2y2) d(y2) = 0,故原方程的通解为sin2xx2y2y2= C .2 2 27设 A 遲:宀可，试求方程组斜AX的一个基解基解矩阵。，求齐AX满足初始条件x(0)=的解.dr令y =c(x)ex为原方程的解，即有c(x) = esin x,1所以 y = cei(sin x - cosx)为原方程的通解.1=（九 +2）（丸 +5） =0,4 九解：特征方程为 det(AE)二-3 -2求得特征值 r =2, 2二5,对应 r-2, 2=-5的特征向量分别为V1J_2,（H.可得一个基解矩阵 G(t)=寫$二.，又因为 %=器;于是，所求的解为:(tH:：J(tpJ(0

9、) J 蔦3e12 11.；1【 _2/1-1-1一et1e2et8.求方程 矽=2乂-1-32通过点(1,0)的第二次近似解.dx解：令0(x) =0，于是X2l（x） = y。12x-1-30（x）dx二x x102x -x,2（x） =y：2x-1 -3；（x）dx2x33x29.求（矽）3- 4xydy8y2二 0dxdx史38y2x=dx円84y矽dx的通解解：方程可化为蚊 P令dx则有P38y2x二4yp(*)，(*)两边对 y 求导得2y(P4碍p（8宀p3）即（p3-4y2）（2屠叭0由2y+2p将 y 代入(*)得4 c2，並-p = 01dy得P二cy2，即方程的 含参数形

10、式的通解为:c2p4c2厂（卫）2，p 为参数;X03221V = X3又由 p3-4y2=0 得p = (4y2)3代入(*)得丫27 也是方程的解n -1,e z L(A_ E)j亠!得expAt =e3tE +t(A-3E)二 e3tr +1丄 0 1 一 1三、证明题1.若叮(t)/r(t)是x、A(t)x的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵 C，使得 t=(t)c.证：叮 e 是基解矩阵，故 门(t)存在，令x(t)(t)?(t)，则X(t)可微且detX(t) =0，易知 T(t)-：(t)X(t).所以？(t)=：(t)X(t)：(t)X (t)二A(t)(t)X(t)：(

11、t)X (t)二A(t)?(t) (t)X (t)而？(t) =A(t)?(t)，所以：:(t)X (t) =0,X (t) =0, X(t)二C(常数矩阵)，故(t)=G(t)C.2.设(x)Crx,x乞-)是积分方程xy(x) = y。+ J ，2yC)均 dX,XEa,Px0的皮卡逐步逼近函数序列n(x)在:，订上一致收敛所得的解，而*(x)是这积分方程在，订上的连续解，试用逐步逼近法证明：在-,:上(X)三：:(x).10.若A=2门冷 4 一试求方程组rn 1x=Ax的解(t), (0)=n = I1并求expAt解: 特征方程-2 -13t1ti2% - 6， 9 = 0_ 3，解

12、得1,2，此时 k=1,n =2。fl(t)=e3区(A-3E)Jid!2-=。3+心1+”2八卜2+t(1+”2)一由公式expAt=11J-t 1 + t 一xx证明：由题设，有(xr y ( r d ,x：o(x) =y,：n(x) = yo2心()d , x,x：,(n =12 ).Xo下面只就区间Xo_X_ 1上讨论，对于：乞XX0的讨论完全一样。X因为|t(x) -：o(x)|_(2k-;(J11 |)d _ M (x -Xo),其中M = maXx2卜(x) | |x |,xoXX所以-(x) 1(x)1乞(2订)一0()|)d L M( -Xo)d二XoXok 1k 1MLkM

13、Lkl- (X)-x)|(X-Xo)(-).!k!而上不等式的右边是收敛的正项级数的通项，故当k-；时，它 o,因而函数序列；(X)在X。乞X乞1上一致收敛于-：(X).根据极限的唯一性，即得(X)三-(x),Xo_X _：.3.设? -都是区间、七七上的连续函数,且是二阶线性方程卩,+p卩+?尸 0的一个基本解组.试证明：(i)丄和都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);(ii)厂1和厂二没有共同的零点;(iii)和“宀没有共同的零点.ML2!(x -Xo)2,其中 r 彗x2，设对正整数n有卜(X) -n(x)忙ML(X - Xo)n,则有X(X)-n(X)|(T () -nv( )l)dX故由归纳法，对一切正整数 k，有X乞L.XoMLC -Xo)nd二ML、n 1(X - Xo)(n 1) !x证明：厂二|和厂二的伏朗斯基行列式为皿)心)因厂T和是基本解组,故：1 ；I-:若存在-使得LJ：,则由行列式性质可得,矛盾即厂工最多只能有简单零点同理对丁二有同样的性质，故(i)得证.若存在.二二f使得/-1.11,则由行列式性质可得 ；為、-，矛盾.即 厂1与丁二无共同零点.故(ii)得证.若存在.二使得.八一,则同样由行列式性质可