高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二1绝对值三角不等式同步配套教学案新人教A版选修4-5

1、1绝对值三角不等式对应学生用书P11绝对值三角不等式(1) 定理1：如果a， b 是实数，则 | a b| |a| | b| ，当且仅当ab0 时，等号成立几何解释：用向量a，b 分别替换 a， b. 当 a 与 b 不共线时，有 | a b| <| a| | b| ，其几何意义为：三角形的两边之和大于第三边 若 a， b 共线，当a 与 b 同向 时， | a b| | a| | b| ，当a 与 b 反向 时， | ab|<| a| | b|.由于定理1 与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式定理 1 的推广：如果a，b 是实数，则 | a| | b| |a&#

2、177; b| |a| | b|.(2) 定理 2：如果 a，b， c 是实数，那么 | a c| |a b| | b c|. 当且仅当 ( a b)( b c) 0时，等号成立几何解释：在数轴上，a， b， c 所对应的点分别为A， B， C，当点 B在点 A，C之间时， | a c| | a b| | b c|. 当点 B不在点 A， C之间时： 点 B 在 A 或 C上时， | a c| | a b| | b c| ；点 B 不在 A， C上时， | a c| <| a b| | b c|.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值对应学生用书P11含绝对值不等式的判断与证明例

3、 1 已知|s|<ss|<，|， | |< .A aBbCc333求证： |( A BC) ( ab c)|< s. 思路点拨 变形重新定理转化为 |A a| 原式 分组|B b| |C c| 得出结论1 / 7 证明 |( A B C) ( a b c)| |( A a) ( B b) ( C c)| |( A a) ( B b)| | C c| |Aa| | B b| | C c|.sss因为 | A a|< 3，| B b|< 3， | C c|< 3，sss所以 | A a| | B b| | C c|< 3 3 3 s.含绝对值不等式的

4、证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式| a| | b|a± b| |a| | b| ，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明1已知 |x|，|y| ，则下列不等式中一定成立的是()abB | xy| abA | xy| a bD | x| | y| abC | x| | y| a b解析： |x|y| .yxab答案： A2设 >0， | xa|< 4 ，| y a|

5、< 6 .求证： |2 x3y 2a3b|< .证明： |2 x 3y 2a3b| |2( x a) 3( y b)| |2( xa)| |3( y b)| 2| x a| 3| y b|<2× 4 3× 6 .绝对值三角不等式的应用 例 2(1) 求函数 y | x 3| | x1| 的最大值和最小值(2) 如果关于x 的不等式 | x 3| | x 4| a 的解集为空集，求参数a 的取值范围 思路点拨 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解2 / 7 解 (1) 法一： | x 3| | x 1| |( x 3) ( x 1)| 4， 4|x 3|

6、 | x1| 4. ymax 4， ymin 4.法二：把函数看作分段函数4，x< 1，y | x 3| | x 1| 2 2x， 1x3， 4， x>3. 4 y4. ymax 4， ymin 4.(2) 只要 a 不大于 | x 3| | x 4| 的最小值，则 | x 3| | x 4| a 的解集为空集，而|x3| |x4| |x3| |4 | | 3 4| 1，xxx当且仅当 ( x 3)(4 x) 0，即 3 x4时等号成立当 3 x4时，| x 3| | x 4| 取得最小值1. a 的取值范围为 ( ， 1 (1) 利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质

7、进行转化，构造绝对值不等式的形式(2) 求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键3 若a ， b R， 且 | a| 3， | b| 2 则 | a b| 的 最 大 值是 _ ， 最 小 值 是_解析： | a| | b| |a b| |a| | b| ， 1 32|a b| 3 2 5.答案：514求函数f ( x) | x 1| | x 1| 的最小值解： | x 1| | x 1| |1 x| | x1| |1 x x1| 2，当且仅当 (1 x)(1 x) 0，即 1 x1时取等号3 / 7当 1 x1时，函数f ( x) | x 1| | x 1|取得最小值2.5若对任意实数

8、，不等式 | x 1| | x 2|>a 恒成立，求 a 的取值范围解： <|x 1|x 2| 对任意实数恒成立，a a<| x 1| | x 2| min . | x 1| | x2| |( x 1) ( x2)| 3， 3|x 1| | x2| 3. (| x 1| | x 2|) min 3. a< 3. 即 a 的取值范围为 ( ， 3) 对应学生用书P121对于 |a| |b| | ，下列结论正确的是()ababA当 a， b 异号时，左边等号成立B当 a， b 同号时，右边等号成立C当 0 时，两边等号均成立abD当 a b>0 时，右边等号成立；当a

9、 b<0 时，左边等号成立解析：当 a， b 异号且 | a|>| b| 时左边等号才成立A 不正确；显然B 正确；当 a b 0时，右边等号不成立，C不正确； D显然不正确答案： B2已知 a， b，c R，且 a>b>c，则有 ()B |ab|>|A |>|b|>|c|bcaD | ac|>|a b|C | a b|>|b c|解析： a， b，cR，且 a>b>c，令2， 1， 6.abc | a| 2， | b| 1， | c| 6， | b|<| a|<| c| ，故排除 A.又 | ab| 2， | bc

10、| 6， | ab|<| bc| ，故排除 B. 又 | ab| 3，| b c| 5， | a b|<| b c| ，排除 C.而 | a c| |2 ( 6)| 8， | ab| 1，4 / 7 | a c|>|a b|.答案： D3对于实数 x， y，若 | x1| 1， | y2| 1，则 | x 2y 1| 的最大值为 ()B 4A 5D 7C 8解析：由题意得，|x 21| |(x 1) 2(y 1)|y|x1| |2(y 2) 2|1 2| y 2| 25，即 |x 2 1| 的最大值为 5.y答案： A4设 | a|<1 ， | b|<1 ，则 |

11、 a b| | ab| 与 2 的大小关系是 ()B |ab| |a |<2A| |a|>2babbD 不可能比较大小C | a b| | a b| 2解析：当 ( a b)( ab) 0时| a b| | a b| |(a b) ( a b)| 2|a|<2.当 ( a b)( ab)<0时，|ab| |a | |(a) ( )| 2|<2.bbabb答案： B5 ( 陕西高考 ) 若存在实数x 使 | x a| | x 1| 3 成立，则实数a 的取值范围是_解析： | x a| | x1| |a 1| ，则只需要 | a1| 3，解得 2 a4.答案： 2

12、a46若 1< <8， 4<b<2，则a | 的取值范围是 _ab解析： 4<b<2 则 0|b|<4 ， 4< | b| 0. 1<a<8， 3<a | b|<8.答案： ( 3,8)7 下列四个不 等式 ： log x10 lgx2(x>1) ；|a |<|a| |b| ；|b aba b| 2( ab0) ； | x 1| | x2| 1，其中恒成立的是_( 把你认为正确的序号都填上 ) 5 / 71解析： log x10 lgxlg x lgx2， 正确；ab0时， | ab| | a| | b| ，不

13、正确；b a ab0时， 与 同号，a bb aba | a b| | a b| 2， 正确；由| x 1| | x 2| 的几何意义知| x 1| | x2| 1恒成立，也正确，综上正确答案：28设 a， bR， >0， | a|< 4 ，| b|< 3.求证： |4 a3b|<3 .22证明： | a|< 4， | b|< 3， |4 a3b| |4a| |3 b| 4| a| 3| b|<4 · 4 3·3 3.9设 f ( x) x2 x b，| x a|<1 ，求证：| f ( x) f ( a)|<2(|a| 1) 证明： f() f() 2 2axaxxa ( x a)( xa 1) ，|f(x) ()| |(x )( 1)|faa xa |x|x 1|<|x 1|aaa|( x a) 2a1| |x a| |2 a 1|x a| 2| a| 1<2| a| 2 2(| a| 1) | f ( x) f ( a)|<2(|a| 1) 10设函数y | x 4| | x 3|. 求(1) y 的最小值；(2) 使 y<a 有解的 a 的取值范围；(3) 使 y a 恒成立的a 的最大值解： (1) 当 x3时， y ( x 4) (